孫 博

(浙江省永康市第一中學(xué) 321300)

一、引言

1.泰勒公式

在初等函數(shù)中，多項式是最簡單的函數(shù).因為多項式函數(shù)的運算只有加、減、乘三種運算.如果能將有理分式函數(shù)，特別是無理函數(shù)和初等超越函數(shù)用多項式函數(shù)近似代替，而誤差又能滿足要求，顯然，這對函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計算都有重要意義.

若任意一個函數(shù)f(x)(不一定是多項式函數(shù))，只要函數(shù)f(x)在a存在n階導(dǎo)數(shù)，總能形式地寫出一個相應(yīng)的n次多項式

定理1(泰勒定理)若函數(shù)f(x)在a存在n階導(dǎo)數(shù)，則?x∈U(a)，有

f(x)=Tn(x)+ο[(x-a)n]，(1)

2.泰勒公式常用的幾個展開式

二、高考中的泰勒公式

例1 (2015年福建高考數(shù)學(xué)第20題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx(k∈R)，

(1)證明：當(dāng)x>0時，f(x)

(2)證明：當(dāng)k<1時，存在x0>0,使得對任意x∈(0，x0)，恒有f(x)>g(x)；

(3)確定k的所有可能取值，使得存在t>0，對任意的x∈(0,t)恒有|f(x)-g(x)|

分析與解答在(1)問中，高考的標準答案是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)上界，進而證明出不等式的成立，證明如下：

令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x，x∈(0，+)，則有

當(dāng)x∈(0，+)時，F(xiàn)′(x)<0，所以F(x)在(0，+)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x>0時，

F(x)0時，f(x)

ex>1+x，當(dāng)x>0時，不等式兩端同時取以e為底的對數(shù)并化簡得x>ln(1+x)，得證.這就是含有高等數(shù)學(xué)知識中泰勒公式身影的一道高考題目，了解題目的起源，會更加透徹的看清題目的內(nèi)涵，其余各問迎刃而解.

(1)求a,b；

(2)證明：f(x)>1.

分析與解答在(2)中，要證明不等式的成立，參考答案給出了構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明的思想方法，這道題目有泰勒公式的背景，可以利用泰勒公式得出的不等式來進一步轉(zhuǎn)化與證明，如下：

因為由泰勒公式得ex>1+x，x>0，

①

以泰勒公式為背景的不等式經(jīng)過轉(zhuǎn)化與變形，便可以在相應(yīng)題目中得以“秒殺”，很大程度上簡化解題步驟.

總之，從以上具體的高考真題實例的探究與發(fā)現(xiàn)中，在高等數(shù)學(xué)視野下，利用泰勒公式來解決高考函數(shù)中的有關(guān)不等式問題主要是實現(xiàn)將超越不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式不等式，既簡化了運算過程，又為高考中的函數(shù)不等式問題的解法注入了新的活力并充分展現(xiàn)了泰勒公式無盡的魅力,對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實起到重要作用.