孫靜茹

摘 ?要：該文主要對(duì)中值定理在不等式證明過(guò)程中的應(yīng)用問(wèn)題做簡(jiǎn)單介紹。在應(yīng)用泰勒中值定理證明不等式時(shí)，給出了泰勒公式中展開點(diǎn)選取的4種情況，同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好地運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式。這一方法促進(jìn)了學(xué)生在具體的應(yīng)用場(chǎng)景中，更加深入地理解中值定理，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的掌握，提升了其知識(shí)遷移和分析綜合能力。

關(guān)鍵詞：泰勒中值定理 ?不等式證明 ?理論知識(shí)

中圖分類號(hào)：O172 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-3791（2019）07（a）-0117-02

不等式證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，與應(yīng)用題及計(jì)算題相比，其在函數(shù)構(gòu)造和證明思路上存在較大難度，研究不等式證明對(duì)發(fā)展學(xué)者的數(shù)學(xué)思維、邏輯思維具有重要作用。不等式證明的方法有很多，但初等證法往往需要較高的技巧。泰勒中值定理和積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中具有舉足輕重的地位，以它為工具能較好地研究函數(shù)形態(tài)，有些用常規(guī)方法難以證明的不等式，可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用泰勒和積分中值定理將其進(jìn)行巧妙的構(gòu)造，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。

1 ?應(yīng)用泰勒中值定理證明不等式

泰勒中值定理建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與這個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，而利用泰勒中值定理證明某些抽象函數(shù)的不等式是比較難理解的，探究其原因主要是因?yàn)樘├展街姓归_點(diǎn)的選取，那么能否找到一個(gè)有效的方法和技巧來(lái)掌握泰勒公式中的展開點(diǎn)呢？通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，這是有一定規(guī)律的，下面就各種情況的范圍和特點(diǎn)做出說(shuō)明，以便更好地利用泰勒中值定理證明不等式。

1.1 展開點(diǎn)選取區(qū)間的中點(diǎn)

這是比較常見的一種情況，在泰勒公式中取適當(dāng)值，通過(guò)兩式相加減，并對(duì)這些項(xiàng)進(jìn)行縮放，便可將多余的項(xiàng)去掉而得到所要的不等式，下面以實(shí)例說(shuō)明。

由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性。若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮用廣義積分中值定理，如在證明例5時(shí)，可以先估計(jì)定積分的值再證明不等式比較簡(jiǎn)單。

偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)“數(shù)學(xué)的生命力在于聯(lián)系”，數(shù)學(xué)中存在著概念之間的親緣關(guān)系。因此，探索數(shù)學(xué)中各種各樣的聯(lián)系是指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要思想。在應(yīng)用中值定理證明不等式時(shí)，我們?nèi)菀姿季S定式，今后應(yīng)當(dāng)注重研究中值定理之間的聯(lián)系，以便更好地應(yīng)用中值定理解決不等式的證明問(wèn)題。中值定理在微積分中占有重要的地位，深入挖掘滲透在定理中的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于啟迪思維、培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉新波.數(shù)學(xué)分析選講[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009：53-56.

[2] 吉米多維奇.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題全集[M].合肥：安徽人民出版社，2005：208-284.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010：123-144.

[4] 白永麗，張建中.略談積分中值定理及應(yīng)用[D].平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，2003.