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        基于流量脈動系數(shù)的齒輪泵齒廓的主動設(shè)計及特性分析

        2019-09-17 11:34:10
        液壓與氣動 2019年9期
        關(guān)鍵詞:齒頂齒輪泵齒廓

        (1.南京工程學院 機械工程學院, 江蘇 南京 211167; 2.中南大學 機電工程學院, 湖南 長沙 410083;3.廈門理工學院 機械與汽車工程學院, 福建 廈門 361024)

        引言

        齒輪泵具有體積小、重量輕、轉(zhuǎn)速范圍大、自吸性能好等優(yōu)點,被廣泛應用于機床、冶金、礦山、航天等機械產(chǎn)品的液壓系統(tǒng)中。齒輪泵輸出流量脈動大的缺陷(流量脈動高達15%~27%)限制了齒輪泵的使用范圍[1-3]。目前,降低齒輪泵流量脈動的方法主要有[4]:采用級聯(lián)齒輪泵,通過二級并聯(lián)齒輪泵的輸出流量進行疊加,可使齒輪泵的總體輸出流量脈動下降,三級以上的并聯(lián)齒輪泵可使流量脈動下降的更多,但制造和裝配的難度更大;采用平衡式復合齒輪泵,由于平衡式復合齒輪泵內(nèi)部各齒輪的相位相錯, 使得其流量脈動有所下降;采用非對稱漸開線齒輪泵,采用非對稱漸開線齒形齒輪泵,其瞬時流量的脈動頻率增高,振幅自然有所下降。另外,還有通過增設(shè)濾波器、采用雙模數(shù)齒輪、采用新型結(jié)構(gòu)等降低齒輪泵的流量脈動,但效果均不明顯[1,5]。綜上所述,有些降低齒輪泵流量脈動的方法效果不明顯,而有些方法雖然降低了齒輪泵的流量脈動,但是其結(jié)構(gòu)較為復雜,使得齒輪泵的加工成本增加。

        利用主動設(shè)計方法,可以在設(shè)計階段對齒面?zhèn)鲃有阅苓M行直接、有效的控制,以此獲得齒廓曲線方程或基本產(chǎn)形齒條方程。近年來,基于功能需求或預定嚙合性能或給定運動規(guī)律的齒廓主動設(shè)計已經(jīng)成為齒輪領(lǐng)域的研究熱點。YE等[6]以傳動性能指標最優(yōu)為設(shè)計條件,建立了基本產(chǎn)形齒條的齒廓方程,并以線接觸斜齒輪為例,研究了設(shè)計參數(shù)對共軛齒廓曲率半徑、齒面潤滑油膜最小厚度的影響。LIN等[7]引入嚙合角函數(shù)的概念,建立了描述平面齒輪共軛齒廓幾何特征的通用數(shù)學模型,并設(shè)計了圓形及非圓齒輪齒廓。田興等[8]采用少齒數(shù)的非對稱漸開線直齒輪主動設(shè)計方法,計算了不同齒數(shù)齒輪副的參數(shù)以及齒輪副嚙合所能達到的最大重合度。王建等[9]提出了一種基于壓力角函數(shù)的高重合度齒輪的主動設(shè)計方法。陳廣艷等[10]根據(jù)齒面印痕的偏移,識別相應的當量錯位,并將其反饋到齒面設(shè)計中,提出了弧齒錐齒輪的主動設(shè)計方法。

        本研究將主動設(shè)計引入到齒輪泵設(shè)計領(lǐng)域,以齒輪泵的流量脈動系數(shù)作為設(shè)計變量,建立了基于流量脈動系數(shù)的齒廓齒廓的數(shù)學模型,給出了齒廓約束限制條件,通過預設(shè)定齒輪泵的流量脈動系數(shù),可以實現(xiàn)對齒輪齒廓進行直接、有效的控制。

        1 基于流量脈動系數(shù)的齒廓主動設(shè)計的數(shù)學模型

        1.1 基于極距和壓力角函數(shù)的齒輪齒廓的數(shù)學描述

        如圖1所示,坐標系∑1(x1,o1,y1)與主動齒輪相固連,坐標系∑2(O2,x2,y2)與從動齒輪相固聯(lián),∑0(O0,x0,y0)為固定坐標系,定義極距λ表示齒輪嚙合點P1到節(jié)點P的距離,α為壓力角函數(shù),其可表示為轉(zhuǎn)角φ的一次函數(shù),即:

        (1)

        其中,C0和C1分別為壓力角函數(shù)的系數(shù),C0的取值范圍為0

        圖1 基于極距和壓力角函數(shù)的齒輪嚙合坐標系

        若采用λd表示當嚙合點位于主動齒輪的齒根圓和節(jié)圓之間時的極距,采用λa表示當嚙合點位于主動齒輪的齒頂圓和節(jié)圓之間時的極距,由文獻[9]可知,下式成立:

        (2)

        主從動齒輪的齒廓方程可表示為[9]:

        (3)

        (4)

        其中,u表示齒輪傳動比,r1表示主動齒輪的節(jié)圓半徑,E和F可表示為:

        E=sin(C0+C1φ)-sinC0

        F=sin(C0-C1φ)-sinC0

        當φ取正值時,式(3)和式(4)分別代表從動齒輪齒根和主動齒輪齒頂部分的方程,反之,當φ取負值時,式(3)和式(4)分別代表從動齒輪齒頂和主動齒輪齒根部分的方程。

        1.2 齒輪泵流量脈動系數(shù)的數(shù)學模型

        流量脈動系數(shù)的值越大,表示出口處流量脈動越嚴重,反之越平緩。流量脈動系數(shù)δ可表示為:

        (5)

        式中, (Qsh)max, (Qsh)min分別表示瞬時流量的最大值以及最小值。

        圖2為齒輪泵的工作原理圖,由文獻[11]可知,主從動齒輪包圍壓油腔的齒面所掃過的容積dV1和dV2可分別表示為:

        (6)

        (7)

        其中,re1,rc1分別表示主動齒輪的齒頂圓半徑和嚙合半徑,re2和rc2分別表示從動齒輪的齒頂圓半徑和嚙合半徑,B為齒輪齒寬。

        在dt時間內(nèi),齒輪泵排出油液的體積為主從動齒輪掃過的容積之和,即dV1=dV1+dV2,則瞬時流量可表示為:

        (8)

        根據(jù)齒輪泵中主從動齒輪的齒數(shù)、模數(shù)和壓力角分別相等,式(8)可進一步簡化為:

        (9)

        其中,r表示兩齒輪的節(jié)圓半徑,λ表示極距,是φ的函數(shù)。

        圖2 齒輪泵工作示意圖

        由式(9)可知,齒輪泵的瞬時流量隨著極距λ或轉(zhuǎn)角φ呈拋物線規(guī)律變化。當嚙合點與節(jié)點重合時,即當λ=0時,瞬時流量最大,其最大值可表示:

        (10)

        圖3為齒輪嚙合示意圖,其中B點和E點分別表示嚙合起始點和脫離嚙合點,兩齒輪在B點進入嚙合并開始排油,到C點時排油結(jié)束,而在C點和E點之間的過程,第1對輪齒不參與排油,此為1個周期,以后各對輪齒都重復上述周期。根據(jù)文獻[11],外嚙合齒輪泵瞬時流量的最小值發(fā)生在齒輪剛進入嚙合開始排油的時刻,由式(3)和式(9)可知,其最小值可表示為:

        (11)

        其中,φB為B點所對應的φ角值。

        圖3 齒輪嚙合示意圖

        將式(10)、式(11)帶入式(5)可得,齒輪泵的流量脈動系數(shù)可表示為:

        1.3 基于流量脈動系數(shù)的齒廓數(shù)學描述

        將式(12)進一步變換并代入式(3)和式(4),齒廓方程可表示為:

        φ≥0

        φ≤0

        (13)

        φ≥0

        φ≤0

        (14)

        1.4 齒廓約束限制條件

        齒廓的形成與壓力角函數(shù)系數(shù)的C1和C0的取值有很大關(guān)系,若C1和C0的取值不當則齒廓會出現(xiàn)尖點或交叉,因此必須限制C1和C0的取值,以避免發(fā)生齒頂變尖和齒廓交叉。

        圖4為一個輪齒齒頂部分(分度圓和齒頂圓之間)的兩側(cè)齒廓,虛線為輪齒中心線,由圖4可知,當齒廓k0與中心線相交時,齒頂圓上的齒寬為0,即齒頂變尖。此時的流量脈動系數(shù)即為最小值δmin。

        圖4 齒廓曲線示意圖

        由圖4可知,齒頂圓的直角坐標方程為:

        (15)

        聯(lián)立式(3)和式(15),可得C1和C0的關(guān)系式為:

        Ecos[C0+(1+C1)φ]=C1(cosφ+sinφ) (16)

        其中,φ為齒輪轉(zhuǎn)角,其值為φ=90/z。

        根據(jù)式(16),對C1賦值,可求出C0的值。將C0和C1分別帶入式(12),可得δmin為:

        (17)

        因此,要避免齒頂變尖,預先給定的流量脈動系數(shù)的限制條件為δ>δmin,即:

        (18)

        齒輪1上點的曲率為:

        (19)

        由式(19)可知,當曲率為正時,齒廓為凸齒廓,因此齒廓出現(xiàn)尖點的條件為曲率半徑為0,即:

        (20)

        即通過式(18)和式(20)即可確定壓力角函數(shù)系數(shù)C0和C1的取值范圍。同理可知,式(18)和式(20)對齒輪2同樣成立。

        2 設(shè)計實例

        圖5 流量脈動系數(shù)曲線

        C0π/6π/7π/8π/9C1[0.01,0.7)[0.08,1.3)[0.1,1.6)[0.2,2)

        根據(jù)圖5,選擇C0=π/6,π/7,π/8的曲線,預先給定齒輪泵的流量脈動系數(shù)分別為δ=10%,11%,12%,則對應的C1的值分別為0.18,0.4,1.09,將其帶入式(13)和式(14),可分別得到主動齒輪和從動齒輪齒廓的方程。圖6為繪制的3種流量脈動系數(shù)下的齒輪齒廓曲線,為了便于比較,圖6還給出了相同參數(shù)(除壓力角不同外,其壓力角為α=20°)的漸開線齒輪的齒廓曲線。

        由圖6可知:在分度圓和齒頂圓之間,隨著流量脈動系數(shù)的增大,齒輪的輪齒寬度逐漸增大,且均小于漸開線齒輪輪齒的齒寬;在分度圓和齒根圓之間,隨著流量脈動系數(shù)的增大,齒輪的輪齒寬度逐漸減小,且均大于漸開線齒輪輪齒的齒寬,有利于提高齒輪的齒根彎曲強度。

        圖6 齒廓曲線對比

        3 齒輪泵結(jié)構(gòu)設(shè)計及特性分析

        3.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計

        本研究設(shè)計的齒輪泵屬于低壓齒輪泵,故齒輪泵采用三片式結(jié)構(gòu)。基于流量脈動系數(shù)的齒輪泵的參數(shù)為:C0=π/6,C1=0.18,流量脈動系數(shù)δ=10%。如圖7所示的整體結(jié)構(gòu)圖,主要由泵體、齒輪、前端蓋、軸承、骨架油封等零部件組成,齒輪與軸之間采用平鍵連接。泵體、前、后端蓋材料為QT500-7球墨鑄鐵,齒輪材料為40Cr,軸材料為45鋼,軸承為SF-1無油潤滑軸承或滾針軸承。圖8和圖9分別為加工出的齒輪和裝配好的齒輪泵。

        1.前蓋 2.定位銷 3.密封圈 4.從動輪 5.滑動軸承 6.從動軸 7、8.平鍵 9.主動軸 10.滾動軸承 11.主動輪 12.殼體 13.后蓋 圖7 齒輪泵整體結(jié)構(gòu)圖

        圖8 加工出的齒輪

        設(shè)計參數(shù)取值功率P/kW0.21額定轉(zhuǎn)速n/r·min-11450額定壓力F/MPa2.5傳動比u1.0額定流量Q/L·min-14總效率η80%使用壽命/h5000齒寬B/mm8

        圖9 裝配好的齒輪泵

        3.2 特性分析

        1) 瞬時流量

        齒輪泵的瞬時流量可以從微觀的角度反映出齒輪泵的吸油排油過程。將齒輪泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(11)和式(12)可得,齒輪泵瞬時流量的最大值和最小值分別為4.373 L/min和3.936 L/min。為了便于比較,本研究同樣計算出了相同參數(shù)的漸開線齒輪泵的最大和最小瞬時流量,分別為4.373 L/min和3.964 L/min。與漸開線齒輪泵相比,所設(shè)計的齒輪泵的最小瞬時流量增加了6.6%,最大瞬時流量和漸開線齒輪泵相同,上述結(jié)果表明,所設(shè)計齒輪泵的瞬時流量波動幅度、嚙合沖擊和運轉(zhuǎn)平穩(wěn)性均優(yōu)于漸開線齒輪泵。

        2) 幾何排量

        齒輪轉(zhuǎn)動1周,吸油和排油各1次,齒輪泵的排量可表示為:

        q=zVn

        (21)

        其中,Vn表示1對輪齒在1次嚙合過程中所排出液體的體積,可利用下式求得:

        (22)

        利用數(shù)值計算方法,可得齒輪泵的排量為:

        (23)

        將齒輪參數(shù)分別帶入式(23),可得所設(shè)計出齒輪泵的排量為2.759 mL/r。根據(jù)文獻[12],可計算出相同參數(shù)的漸開線齒輪泵的排量為2.733 mL/r。與漸開線齒輪泵相比,所設(shè)計齒輪泵的排量增加了0.9%。

        3) 平均流量

        平均流量表示排油量的平均值,可以從宏觀的角度反映齒輪泵的吸排油過程,可表示為:

        Qm=q·n

        (24)

        利用上式計算可得所設(shè)計齒輪泵和漸開線齒輪泵的平均流量分別為4 L/min和3.963 L/min。通過對比可知,所設(shè)計出的齒輪泵的平均流量比漸開線齒輪泵增加了0.9%。

        4) 流量脈動系數(shù)

        將齒輪泵瞬時流量的最大值和最小值分別代入式(5),可計算得到所設(shè)計齒輪泵和漸開線齒輪泵的流量脈動系數(shù)分別為10%和15.5%。為了便于和理論結(jié)果進行比較,利用MATLAB軟件,對齒輪泵的最大和最小瞬時流量、流量脈動系數(shù)在(0, 8 ms)內(nèi)進行了仿真,如圖10所示。表3同時給出了其具體數(shù)值。為了進行比較,本研究利用如圖11所示的齒輪泵試驗臺在額定轉(zhuǎn)速和額定壓力下進行了測試,測試時間5 min,測試結(jié)果如表3所示。

        a.本研究設(shè)計的齒輪泵 b.漸開線齒輪泵圖10 仿真曲線

        齒輪泵最大瞬時流量Qmax/L·min-1最小瞬時流量Qmin/L·min-1平均流量Q/L·min-1流量脈動系數(shù)δQ/%本研究設(shè)計的齒輪泵仿真值4.3733.9034.13810.5實驗值4.2543.8394.0499.75漸開線齒輪泵仿真值4.3733.7084.04115.2實驗值4.1563.6373.88912.5

        圖11 齒輪泵測試試驗臺

        由表3可知:

        (1) 從仿真結(jié)果來看,兩齒輪泵最大瞬時流量相同,本研究所設(shè)計齒輪泵的最小瞬時流量比相同參數(shù)的漸開線齒輪泵增大了5.3%,平均流量增大了2.4%,流量脈動系數(shù)減小了29.6%;

        (2) 從試驗結(jié)果來看,本研究所設(shè)計的齒輪泵的最大瞬時流量、最小瞬時流量比漸開線齒輪泵分別增加了2.3%和5.3%,流量脈動系數(shù)減少了22%;

        (3) 本研究所設(shè)計的齒輪泵的流量脈動系數(shù)的初始給定值為10%,仿真得出的數(shù)值為10.5%,試驗測得的值為9.75%,均在誤差允許的范圍內(nèi),說明了本研究設(shè)計方法的正確性。

        4 結(jié)論

        傳統(tǒng)的降低齒輪泵流量脈動的方法是以結(jié)構(gòu)復雜為代價的,齒輪泵的結(jié)構(gòu)和工藝在各類液壓泵中結(jié)構(gòu)最簡單的優(yōu)點近乎喪失。本研究從齒輪齒廓的設(shè)計入手,推導了采用極距和壓力角函數(shù)描述的齒廓方程,以齒輪泵的流量脈動系數(shù)作為設(shè)計變量,建立了基于流量脈動系數(shù)的齒廓主動設(shè)計的數(shù)學模型。其優(yōu)點是將齒輪泵的流量脈動系數(shù)作為一個給定值,即在設(shè)計的同時,就已經(jīng)知道了流量脈動系數(shù)的大小。研究成果可為緩解齒輪泵的流量脈動提供理論依據(jù)和技術(shù)支持,并為齒輪泵的設(shè)計提供一個新的思路和更為廣闊的研究空間。

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