李英民， 宋維舉， 王肖巍

(重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045)

薄膜結(jié)構(gòu)由于造型美觀自由、透光、節(jié)能等優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于建筑小品或者大跨空間屋蓋結(jié)構(gòu)。但由于其高柔度、低自重，因而對外荷載的作用非常敏感，容易發(fā)生振動[1]，一般情況下薄膜結(jié)構(gòu)在振動過程中的橫向振幅較大，表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性狀態(tài)[2-3]。大幅振動導(dǎo)致的膜結(jié)構(gòu)破壞案例較多，因此，研究薄膜結(jié)構(gòu)的振動性能，把握振動規(guī)律以及影響因素，對其設(shè)計、施工以及日常使用都具有重要意義[4]。針對薄膜結(jié)構(gòu)非線性自振特性解析研究，已有一些研究成果，林文靜等[5]基于小撓度理論給出了圓形薄膜自由振動的理論解；潘鈞俊等[6]根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立了方形膜結(jié)構(gòu)的離散非線性振動方程組，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)在一階振型初始位移下的等效一階頻率的計算公式；劉長江等[7]采用KBM法對矩形膜結(jié)構(gòu)有阻尼自由振動進(jìn)行求解，得到了振動頻率和位移函數(shù)的近似解析式。上述方法基本都是基于小撓度理論或者弱非線性攝動方法對薄膜振動進(jìn)行解析研究，忽略了薄膜結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性的振動特性。

本文通過理論和試驗(yàn)方法研究平坦矩形正交異性薄膜結(jié)構(gòu)四邊固支條件下的強(qiáng)非線性振動特性，運(yùn)用改進(jìn)多重尺度法結(jié)合Galerkin法從理論上求解平坦張拉膜結(jié)構(gòu)非線性振動方程，得到薄膜結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性振動頻率及位移的近似解析函數(shù)，給出了不同振型下薄膜自振頻率隨初始條件的變化關(guān)系。借鑒“彈射法”測量膜結(jié)構(gòu)預(yù)張力的試驗(yàn)方案[8]進(jìn)行膜材自振試驗(yàn)研究，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)多重尺度法的適用性，為膜結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性動力解析研究提供了理論基礎(chǔ)。

1 平坦薄膜強(qiáng)非線性振動理論推導(dǎo)

1.1 控制方程和邊界條件

假設(shè)平坦薄膜沿x軸方向邊長為a，沿y軸方向的邊長為b，如圖1(a)所示。

假定薄膜結(jié)構(gòu)在水平位置處于靜止平衡狀態(tài)，給膜面施加初始法向位移使其連續(xù)振動，如圖1(b)所示。文獻(xiàn)[3]給出了正交異性薄膜非線性自由振動的控制方程組

(1)

(2)

式中:ρ表示膜材面密度；c表示阻尼系數(shù)；σ0x表示x向預(yù)應(yīng)力；σ0y表示y向預(yù)應(yīng)力；w表示w(x,y,t)橫向振動撓度；h表示薄膜厚度；E1表示x向彈性模量；E2表示y向彈性模量；φ表示應(yīng)力函數(shù)。

(a)

(b)

相應(yīng)的邊界條件為

(3)

(4)

假設(shè)滿足邊界條件的位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)為

(5)

(6)

式中:φmn(x,y)、Tmn(t)為未知函數(shù)。

最終，通過參數(shù)代換和Galerkin法可以得到一個非線性偏微分方程。

(7)

1.2 控制方程的改進(jìn)多尺度解

根據(jù)攝動法的基本思想，

(8)

將建筑工程膜材參數(shù)代入ε可估算出ε>>1，則式(8)為強(qiáng)非線性振動微分方程。

引入變換參數(shù)[9]

(9)

將ω2展開為ε的冪級數(shù)

(10)

(11)

式(8)的攝動解形式為

T(t,α)=T0(t0,t1)+αT1(t0,t1)+

α2T2(t0,t1)+…

(12)

式中:t0=t,t1=αt

關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)化成關(guān)于Tn的偏導(dǎo)數(shù)的展開式，即有

(13)

將式(9)、(11)和(13)代入式(8)，并令方程式中α的各冪次的系數(shù)為零，可得：

(14)

(15)

(16)

設(shè)式(14)解可寫成

(17)

將式(17)代入(15)，消除永年項(xiàng)可得

(18)

求解式(18)可得：

(19)

令A(yù)=feiφ/2，代入式(20)并分離虛部和實(shí)部得

(20)

式中:f為平坦薄膜振動幅值。

比較式(20)得角頻率和式(11)可知一階近似條件下

(21)

比較式(20)和(21)即可得到ω1的表達(dá)式，ω1=3f2/4ω0，將其代入式(10)并略去高階項(xiàng)得

(22)

(23)

(24)

積分式(24)可得

(25)

式中:f0為與初始條件有關(guān)的積分常數(shù)。因此可得式(8)的一階攝動解為

(26)

式中:f0和φ0由初始條件確定。給定任意振動初始條件

(27)

式中:T0為初始位移。

對式(26)求一階導(dǎo)并將初始條件帶入即可得到

(28)

求解式(28)可以得到f0和φ0的值。

(29)

將式(29)代入式(5)，得到考慮振動阻尼的平坦矩形薄膜結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性振動位移函數(shù)

(30)

根據(jù)式(30)可以計算出薄膜結(jié)構(gòu)膜面任意一點(diǎn)的位移時程。

1.3 數(shù)值算例

以建筑工程領(lǐng)域常用的織物膜材為例，取ρ=1.2 kg/m2;a=1.2 m;b=1.2 m;c=90 N·s/m3;h=1.0 mm;E1=1.4×106kN/m2;E2=0.9×106 kN/m。

將式(22)結(jié)果與文獻(xiàn)[7]KBM攝動解及文獻(xiàn)[10]精確級數(shù)解進(jìn)行對比，分析振動頻率隨初始位移T0的變化關(guān)系，見圖2。

由圖2可知當(dāng)初始位移較小時，改進(jìn)多尺度解和KBM攝動解及精確級數(shù)解基本吻合，隨著初始位移的增大，系統(tǒng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性，KBM解與精確級數(shù)解的相對差值變大，改進(jìn)多尺度法依然能很好的與級數(shù)解相吻合，證明改進(jìn)多重尺度法對于薄膜結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性振動系統(tǒng)的適用性較好。

圖3是采用改進(jìn)多尺度法計算的各階振動振幅的變化趨勢三維圖，從圖3可知，隨著振動階數(shù)的增加振幅是減小的，從最大幅值分布三維圖形可以看出，當(dāng)為驗(yàn)證理論方法的有效性，參考已有“彈射法”測量建筑膜結(jié)構(gòu)預(yù)張力試驗(yàn)編制了張拉膜結(jié)構(gòu)振動特性試驗(yàn)方案[11]。

圖2 振動頻率隨振幅變化曲線

Fig.2 Amplitude-frequency response curve

圖3 各階振動振幅變化趨勢圖

m>5,n>5時，振動幅值基本已經(jīng)接近于零，即薄膜的振動響應(yīng)主要聚集在低階振型，高階振型貢獻(xiàn)很小。

2 平坦薄膜振動試驗(yàn)研究

由于膜材試件數(shù)量所限，本試驗(yàn)主要針對不同預(yù)張力下的薄膜振動響應(yīng)進(jìn)行研究，其它因素如膜材厚度，膜材尺寸等對薄膜振動響應(yīng)的影響分析將后續(xù)開展。

2.1 試驗(yàn)試件

試驗(yàn)選用正方形國產(chǎn)ZZF膜材試件，膜材的密度為950 g/m2；厚度為0.72 mm；徑向彈性模量為1 590 MPa；緯向彈性模量為1 360 MPa；正向拉伸強(qiáng)度為4 000 N/5 cm；反向拉伸強(qiáng)度為3 700 N/5 cm。試件幾何邊長為2.5 m，四端進(jìn)行帶寬為100 mm的切縫處理，膜材試件四角處分別裁掉邊長為650 mm的小正方形，然后對四邊做直徑400 mm倒圓角處理，處理后膜材四邊進(jìn)行鎖邊和鉆螺栓連接孔，膜面設(shè)置三個測點(diǎn)，具體圖示見圖4。

2.2 張拉與測量裝置

采用改進(jìn)的“十字形螺桿式膜材張拉裝置”，其平面尺寸設(shè)計為3 800 mm×4 160 mm，中心正方形區(qū)域?yàn)? 200 mm×1 200 mm，其高度為1 600 mm，整個試驗(yàn)支架和斜撐用60 mm×60 mm的方鋼管焊接而成，用M20螺桿進(jìn)行張拉。為模擬理論推導(dǎo)時四邊固支邊界條件。張拉裝置中心正方形區(qū)域設(shè)置試驗(yàn)架，試驗(yàn)架對邊均勻?qū)ΨQ布設(shè)4個螺栓孔，由試驗(yàn)架上四個螺栓在膜面下方托起方形鐵框(尺寸為1 200 mm×1 200 mm)，膜面上方設(shè)置相同尺寸方形鐵框，使其與膜面下方的方形鐵框完全重合，在膜面上方的方形框之上壓重鐵塊，使膜面上下方形框夾緊膜材，即可得到四邊近似固支的矩形膜材測量區(qū)域。

試驗(yàn)測量裝置主要包括測力計與位移傳感器。試驗(yàn)選用HP-10K數(shù)顯式推拉力計置放于張拉螺桿與薄膜夾板之間，進(jìn)行膜材張拉力的測定。采用英國激光距離傳感器ZLDS100來測量膜面的振動，具體布置見圖5。

圖5 張拉與測量裝置布置圖

2.3 加載方案

試驗(yàn)中，采取分級張拉形式，張拉時薄膜x，y方向的拉力值相等，預(yù)張力級別分別為1.0 kN、2.0 kN、3.0 kN、4.0 kN、5.0 kN、6.0 kN、7.0 kN、8.0 kN。每一預(yù)張力級別下，用鼓風(fēng)機(jī)通過送風(fēng)裝置豎向?qū)δっ孢M(jìn)行瞬間沖擊后立刻關(guān)閉風(fēng)機(jī)，以此模擬膜面自由振動初始能量輸入。用數(shù)字風(fēng)速計測得接近膜面的風(fēng)速平均值為11.2 m/s，為減小試驗(yàn)誤差，每一預(yù)張力工況，風(fēng)機(jī)進(jìn)行重復(fù)沖擊數(shù)次。最終初始位移和最大振幅均取數(shù)次平均值。送風(fēng)裝置見圖6。

圖6 送風(fēng)裝置

3 試驗(yàn)結(jié)果及驗(yàn)證分析

以風(fēng)機(jī)瞬時沖擊膜面產(chǎn)生的變形為初始位移，帶入理論計算式，分別求解平坦薄膜振動基頻與最大振幅，由于風(fēng)力較小，施加給膜材的初始能量較小，作用時間短，很難激發(fā)起膜材的高階振動，因此在進(jìn)行幅值計算時只考慮前兩階振型。圖7是ZZF膜材試件的三個測點(diǎn)處振動幅值與振動頻率的理論計算和試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比圖。由圖7可知，理論計算與試驗(yàn)結(jié)果相對誤差較小。理論計算所得幅值和頻率均大于試驗(yàn)結(jié)果，原因是理論計算中的振型函數(shù)來源于板殼理論，振型函數(shù)與實(shí)際振動狀態(tài)相比偏飽滿，造成理論計算時膜面剛度偏大，此外薄膜是一種柔性材料，簡單的振型函數(shù)不能精確的反映實(shí)際復(fù)雜的振動情形，所以頻率與振幅都較試驗(yàn)值偏大。

(a) C1測點(diǎn)

4 結(jié) 論

通過對平坦張拉膜結(jié)構(gòu)自由振動的理論和試驗(yàn)研究，主要得出以下結(jié)論：

(1) 采用改進(jìn)多重尺度法得到的平坦薄膜自振頻率與振幅響應(yīng)與精確級數(shù)解接近，隨著初始位移的增加，薄膜振動表現(xiàn)出較強(qiáng)的幾何非線性，改進(jìn)多重尺度法相比傳統(tǒng)KBM攝動法而言，其適用性不受初始位移的限制。

(2) 借鑒板殼理論選取振型函數(shù)研究柔性膜結(jié)構(gòu)的振動會存在一定的誤差，簡單的三角振型函數(shù)不能精確的反映薄膜實(shí)際的振動情形，由于假設(shè)的振型函數(shù)偏于飽滿，導(dǎo)致理論計算剛度偏大，所以理論值存在偏大的情況。

(3) 本文的理論工作為后續(xù)研究張拉膜結(jié)構(gòu)風(fēng)致動力災(zāi)變問題提供了一定的理論基礎(chǔ)，并且通過試驗(yàn)結(jié)果對比得到理論推導(dǎo)過程中由于簡化計算而導(dǎo)致的誤差原因，后續(xù)理論研究中可采取更為準(zhǔn)確的振型函數(shù)來描述膜結(jié)構(gòu)的振動形態(tài)。