王 濤， 劉德貴， 黃 輝

(西南科技大學 土木工程與建筑學院，四川 綿陽 621000)

斜拉索是斜拉橋的主要受力構件之一，橋面重量及橋面上荷載大部分通過拉索傳遞到橋塔。斜拉索具有剛度小、阻尼小、質量小的特點，容易在各種激勵下發(fā)生振動。關于拉索各種類型振動的性質與理論分析方法等，可以參考文獻[1]。

斜拉橋在風或車輛荷載作用下，橋面會發(fā)生一定幅度的振動，拉索端點的位移激勵會帶動拉索發(fā)生振動，斜拉索受到的端點位移激勵分量通常包括沿拉索橫向的強迫激勵與沿拉索軸向的參數(shù)激勵，其中，強迫激勵可能導致拉索發(fā)1∶1主共振，參數(shù)激勵可能導致拉索發(fā)生2∶1參數(shù)共振(1∶1與2∶1為端點位移激勵達到的頻率值與拉索自振頻率值的比例)。 文獻[2]中將斜拉橋中拉索在端點位移激勵下發(fā)生的振動命名為“索-梁相關振動”。

Fujino等[3]首次觀察到了日本一座人行斜拉橋上索-梁相關振動導致的2∶1參數(shù)共振，結合觀察到的實際現(xiàn)象建立了簡化索-梁組合結構的理論模型與實驗模型，研究了拉索在端點位移激勵下，面內與面外振動。陳水生等[4-5]在他們的研究中建立了拉索在端點位移激勵下非線性振動理論模型、拉索-質量塊耦合非線性振動模型，考慮了索的垂度、幾何非線性、拉索橋面端點位移激勵等因素，推導了斜拉索的在端點位移激勵作用下的非線性振動方程；使用理論方法結合數(shù)值分析，詳細地研究了斜拉索的在端點位移激勵下的強迫振動與參數(shù)振動特性。

陳丕華等[6]通過實驗模型研究了斜拉索在平面內的參數(shù)振動特性。趙躍宇等[7]使用理論方法建立了索-梁組合結構的簡化理論模型，討論了簡化索-梁組合結構中拉索發(fā)生索-梁相關振動的共振穩(wěn)定性。王志騫等[8]分析了索-梁組合結構理論模型的非線性振動性質并研究了其振動控制措施。

康厚軍等[9]收集了前期各個學者的研究資料，總結了目前關于斜拉橋拉索在端點位移激勵下非線性振動研究的現(xiàn)狀。依據(jù)現(xiàn)有的研究成果可以發(fā)現(xiàn)，對于斜拉橋的索-梁相關振動，目前已有的研究中普遍使用單索、索-質量塊或簡化的索-梁組合結構理論模型來開展研究，取得了較多的理論性成果。但由于斜拉橋全橋為多根拉索與梁的組合，發(fā)生索-梁相關振動時拉索與梁、塔振動相互作用的機理更為復雜(如：多索與梁、塔相互動力作用，索與相鄰索的動力作用等等)，因此，理論模型幾乎無法開展斜拉橋全橋尺度下發(fā)生索-梁相關振動時拉索的非線性振動研究。

Caetano等[10-11]以韓國Jindo大橋(主跨343 m)為研究對象，通過理論分析、數(shù)值計算、模型振動臺實驗，研究了斜拉橋的索-梁相關振動現(xiàn)象。Calcada等[12]在葡萄牙Salgueiro Maia大橋(主跨246 m)上進行現(xiàn)場測試，研究了重載汽車通過時主梁與拉索的振動情況。孫測世等[13]建立了象山港大橋(公路斜拉橋，主跨688 m)的全橋縮尺實驗模型，分析了斜拉橋在模擬外激勵各種工況下的索-梁相關振動的特性。

全橋模型實驗往往只能針對某個特定的橋梁研究，而實橋測試由于研究經(jīng)費、實橋運營等因素的限制，測試工況往往難以達到要求，難以得到較為明確的研究結果。使用精細的數(shù)值計算來模擬研究斜拉橋全橋的索-梁相關振動不存在上述問題。因此，文獻[9]也指出，由于技術手段的限制，前期關于斜拉橋全橋在索-梁相關振動作用下的非線性振動研究成果相對較少，目前需要進一步結合數(shù)值計算技術發(fā)展，開發(fā)斜拉橋全橋計算系統(tǒng)，建立計算模型，深入探討各種橋型、各種工況下，索-梁相關振動導致的拉索非線性振動特性。

翟婉明等[14]詳細研究了列車-橋梁耦合動力作用下，橋梁結構以及車輛的振動響應。但目前車-橋耦合振動主要關注的是橋梁結構動力響應的評價，沒有重點分析列車動力作用導致的索-梁相關振動對拉索的影響。雷虎軍等[15]開發(fā)了車橋耦合振動算法，研究了拉索的局部振動效應，但研究中動力時程積分使用了傳統(tǒng)的線性有限元算法，拉索的應力剛度不會隨著受力的增加而變化。

本文以筆者建立的基于CR列式(Co-rotational Formulation)非線性有限元動力時程積分算法為基礎，編制了非線性動力有限元計算程序(計算中使用平面桿、梁單元)，程序算法具有簡潔、高效的特點[16]。筆者在文獻[17]中，進一步驗證了本文所使用有限元程序的正確性，并將桿、梁模型的CR列式非線性動力有限元程序應用推廣到了3維空間。

在本文研究中，首先，使用2維動力非線性有限元程序研究了斜拉橋模型在簡諧激勵、自由振動狀態(tài)下的非線性振動特性，依據(jù)前期各個學者研究得到理論原理解釋了索-梁組合結構中拉索發(fā)生的1∶1主共振、2∶1參數(shù)共振、亞諧波共振等非線性振動現(xiàn)象。然后，使用開發(fā)的車-橋耦合振動算法，在全橋有限元模型的基礎上，計算了不同工況的列車-橋梁耦合動力作用下拉索的非線性振動情況。最后研究結果表明：對于承受荷載較大的大跨度鐵路斜拉橋，全橋結構剛度較大，列車導致的動力作用不容易達到索-梁相關振動的拉索共振條件(1∶1主共振或2∶1參數(shù)共振)，拉索不會發(fā)生大幅度非線性振動。文獻[1，3]中的研究報道也驗證了發(fā)生大幅度索-梁相關振動的橋梁往往多為小跨度、拉索與橋梁質量較小自振頻率都較高的橋梁而無大跨度鐵路斜拉橋。

1 計算原理

1.1 基于CR列式的非線性有限元法

基于流動坐標 的CR列式幾何非線性有限元計算方法具有計算速度快、力學概念簡潔的特點，通常不必計算、推導復雜的單元非線性大位移剛度矩陣，更適用于模擬柔性結構，特別是索結構的大幅度非線性振動。本文使用了2維桿、梁單元模型進行了計算。

如圖1所示，按照CR列式原理，在單元上附加一流動坐標系X1Y1，坐標原點始終位于單元i節(jié)點上，X1軸始終沿單元節(jié)點ij方向，Y1軸始終垂直于X1軸。當單元節(jié)點發(fā)生位移與轉角時，單元變形后流動坐標系位置由圖1(a)變?yōu)閳D1(b)。

(a) 單元變形前

更新局部坐標系位置，通過坐標的變化可以計算得到單元伸長，計算扣除剛體轉動，即可得到單元節(jié)點的實際轉動量。桿單元為梁單元的退化情況，只需計算局部坐標系下單元伸長即可。計算得到的是單元節(jié)點“幾何精確”意義的實際位移，進一步可以得到單元的實際內力。然后，計算不平衡力與切線剛度矩陣，使用Newton-Raphson 方法迭代，就能得到結構的幾何非線性靜力狀態(tài)。

1.2 基于CR列式的非線性有限元動力時程積分

本文在CR列式的非線性靜力計算的基礎上，進一步開發(fā)了非線性Newmark-β有限元動力時程積分方法。其基本假定與普通的Newmark-β法相同，可以寫為

(1)

(2)

其中各個積分參數(shù)的具體表達式與意義可參見文獻[16]?？紤]幾何非線性時，結構t+Δt時刻的振動方程為

F[u(t+Δt)]+Fe[u(t+Δt)]

(3)

將式(1), (2)代入式(3)，得到：

(a0M+a1C)u(t+Δt)+R[u(t+Δt)]=

F[u(t+Δt)]+Fe[u(t+Δt)]+

(4)

由式(4)可知，非線性有限元Newmark-β動力時程積分實際上是在每一個積分時間步內求解非線性方程(4)。式(4)左端R為有限元總體節(jié)點內力向量，它是總體節(jié)點位移向量u的非線性函數(shù)，與靜力計算原理相同，本文程序中使用CR列式非線性有限元計算原理來計算得到結構內力向量R。式(4)右端，F(xiàn)表示結構承受的總體節(jié)點外力向量，F(xiàn)e表示結構初始單元力導致的等效總體節(jié)點外力向量，當計算中考慮幾何非線性時，它們都是位移u的非線性函數(shù)。

使用Newton-Raphson法迭代求解式(4)。在迭代過程中使用的切線剛度矩陣為

K=a0M+a1C+KK

(5)

式中：M,C,KK分別為將節(jié)點坐標更新到當前迭代步位置上時，結構的總體質量矩陣、總體阻尼矩陣、線性靜力計算時計算的總體剛度矩陣。

非線性有限元動力時程計算具體流程與算法驗證可參考文獻[2，16-17]。

1.3 列車-橋梁耦合振動計算模型

與文獻[19]相同，如圖2所示，本文高速列車使用了4軸2維列車模型。

圖2 一節(jié)列車車廂模型

列車的車廂的振動模型為

(6)

式中，Mv,Cv,Kv分別為列車車廂的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，它們的取值可以參考文獻[14-15，19]。

實際計算中以標準高速客運列車動車組8節(jié)車廂編組為一輛列車，計算不同速度下列車通過橋梁的動力響應。本文算例中的鐵路斜拉橋為多線鐵路橋，所以程序中設計了能包含多輛列車同時(正向、逆向、不同行駛速度)過橋的計算模型。為了考慮不同列車的不同速度，程序設計中使用統(tǒng)一時間步長，通過計算調整時間步長使列車空間步長小于0.2 m。

軌道不平順選用美國六級譜，計算中使用2維模型，因此只有列車沿軌道運行的高低不平順

(7)

式中：Sv(Ω)為軌道的不平順功率譜密度函數(shù)[cm2/(rad/m)]，Av為粗糙度常數(shù)(cm2·rad/m)；Ωc為截斷頻率(rad/m)；k為安全系數(shù)，可根據(jù)要求在0.25～1.0之間選取，一般取為0.25；模擬算法使用文獻[14]中給出的方法，使用美國六級譜計算的軌道不平順算例如圖3所示。

圖3 美國六級譜軌道高低不平順模擬結果

對于橋梁模型動力時程計算的阻尼，通常將結構的阻尼矩陣簡化為質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]的線性組合，即：

C=aM+bK

(8)

式中，a,b可由橋梁結構前2階振型的阻尼比和其相應的自振頻率表示

(9)

式中，wi,wj分別為第i階和j階振型的自振頻率，xi,xj是對應的阻尼比。計算中i,j分別取1,2階全橋整體模型的自振頻率，對應阻尼比參考文獻[1]中斜拉橋阻尼比建議為0.1%，為了體現(xiàn)更明顯的振動效果，這里均取為0.05%。

綜上所述，對于式(4)，式(6)給出的橋梁有限元模型非線性振動方程以及列車振動方程，本文采用與文獻[14-15，19]中相同的車、橋分離迭代法求解，其一般的基本步驟為

步驟1 計算列車運行速度每一節(jié)車廂的輪對當前時間步t時刻在橋梁上的位置。

步驟2 以t-1時刻的橋梁運動狀態(tài)作為初始值，疊加t時刻的軌道不平順值，得到t時刻等效軌道不平順。

步驟3 根據(jù)t時刻軌道不平順求車輛輪軌力。

步驟4 使用線性Newmark-β法計算t時刻車輛響應。

步驟5 使用本文非線性Newmark-β法計算t時刻橋梁響應。

步驟6 根據(jù)t時刻橋梁響應，重復步驟2～步驟6，直到輪軌和橋梁的振動幾何、力學關系滿足要求(一般迭代3次即可達到收斂條件)，再進行下一時間迭代。

2 斜拉橋全橋索-梁相關振動特性研究

本文研究使用作者開發(fā)的基于CR列式動力非線性有限元程序(使用2維桿、梁單元)建立了斜拉橋全橋計算模型。

2.1 全橋有限元模型

本文選取有代表性的武漢天興洲公鐵兩用大跨度斜拉橋為研究對象，認為列車為大橋的主要動力荷載，所以計算中只考慮了列車作用。建立簡化的2維有限元全橋模型研究全橋結構發(fā)生豎向振動時，拉索在端點位移激勵下發(fā)生索-梁相關振動時的振動特性。

實際斜拉橋的橫向剛度較大，實際運營中列車作用下斜拉橋發(fā)生的振動主要是豎向平面內振動，所以，本文模型應當是合理的。關于天興洲大橋的各個計算參數(shù)以及結構構造可以參考文獻[20]。

天興洲大橋全長1 092 m，主跨540 m。為雙塔三索面三主桁斜拉橋，拉索最長為271.8 m，最短為88.9 m。使用本文程序建立的全橋有限元模型如圖4所示。

圖4 天興洲大橋平面有限元模型

根據(jù)文獻[20]以及向橋梁設計單位咨詢得到斜拉橋設計參數(shù)，由于為有限元模型為2維平面模型，天興洲大橋斜拉橋3索面中只取其中1索面，橋塔、主梁按照其幾何、物理屬性的1/3簡化(取為原截面積、豎向剛度的1/3)，列車荷載也按照1/3取值。拉索編號從左到右為1～48號拉索。X0Y0為總體坐標系。

主梁、橋塔使用平面梁單元模擬，塔梁連接使用桿單元模擬，拉索使用分段直桿單元模擬。橋塔上靠近中跨、邊跨最長的3根拉索分為40段，其他拉索分為20段， 全橋共1 202個節(jié)點，1 421個單元。橋塔與輔助墩底部約束全部自由度，主梁兩端底部節(jié)點約束Y0方向，為了計算需要，跨中底部節(jié)點約束X0方向。重力加速度取G=9.8 m/s2。模型阻尼比設為0.05%，阻尼矩陣取全橋前2階振型計算。

為了考察全橋整體結構的振動特性，首先建立全橋有限元模型(拉索不分段)。先考慮幾何非線性計算結構在自重下的靜力狀態(tài)，再計算自振特性，計算結果如圖5所示。

圖5 全橋前8階模態(tài)(拉索不分段)

Fig.5 The first 8 modes of global bridge (The cables were not divided)

從圖5可以看出,全橋結構2維低階模態(tài)以主梁的振型為主。由于拉索不分段，所以圖中的模態(tài)反映了全橋整體結構的振動特性。

模型計算結果中，天興洲大橋有限元模型(拉索不分段)X0Y0平面內1、2階模態(tài)(主梁對稱豎彎、主梁反對稱豎彎)頻率分別為0.378 Hz,0.590 Hz。

在文獻[20]中使用天興洲大橋3維空間有限元全橋模型(拉索不分段)計算得到橋梁在X0Y0平面內1,2階模態(tài)(主梁對稱豎彎、主梁反對稱豎彎)頻率分別為0.370 3 Hz, 0.597 7 Hz，與本文結果較為接近，這說明本文的近似處理接近天興洲大橋的實際情況，本文2維模型的模態(tài)計算結果是較為可靠的。

使用拉索分段的天興洲大橋全橋模型，先考慮幾何非線性計算結構在自重下的靜力狀態(tài)，再計算在自振特性，得到模態(tài)計算結果如圖6所示。

圖6 全橋前8階模態(tài)(拉索分段，靜力變形有放大)

Fig.6 The first 8 modes of global bridge(The cables were divided and the static shape was amplificatory)

由圖6可以看出，當拉索使用分段模型時，拉索的局部振動模態(tài)與整體結構的振動模態(tài)是混合在一起的。圖6中全橋第1階模態(tài)的振型接近圖5中全橋第1階模態(tài)的振動而兩者頻率有所差別，這是由于圖6中的模態(tài)包含了拉索的局部模態(tài)造成的。

由于使用拉索分段模型計算動力特性時全橋拉索局部振動與整體結構振動難以區(qū)分，所以，為了對比拉索的局部自振頻率與全橋整體結構自振頻率，本文使用圖5中拉索不分段有限元模型來得到全橋整體自振頻率， 使用理論公式單獨計算拉索的自振頻率。有垂度拉索的自振頻率計算公式為

(n=1,2,…)

(10)

式中：l為拉索兩端距離，H為索力；m為拉索每延米質量；E為彈性模量；A為拉索截面積；θ為拉索傾角；g為重力加速度。

根據(jù)計算可以得到拉索在自重作用下的成橋索力，使用式(15)得到所有拉索的前n(n=1,2,3…)階自振頻率。全橋為對稱結構，全橋整體前10階自振頻率(拉索不分段模型計算)與1～32號拉索的前2階自振頻率對比如圖7所示。

圖7中J1～J10的橫線表示全橋第1～10階自振頻率值。由圖中可以看出，斜拉橋較長拉索的自振頻率較為接近全橋的低階頻率。

圖7 各個拉索前2階自振頻率與全橋前10階自振頻率對比

Fig.7 Comparison between the first 2 orders natural frequency of the cables and the first 10 orders natural frequency of global bridge

僅根據(jù)自振頻率的對比還不足以判斷斜拉橋是否容易在列車動力荷載作用索-梁相關振動作用下發(fā)生大幅振動。斜拉橋整體結構導致的索-梁相關振動具體性質還需進一步分析。

2.2 橋梁結構大幅振動導致的索-梁相關振動特性

為了確定拉索發(fā)生大幅索-梁相關振動的共振條件，這里首先考察斜拉橋全橋發(fā)生大幅共振時拉索的非線性振動特性。本文有限元方法可以考慮結構在靜力作用的初始位移，在后文的結果中扣除初始位移僅提取動力作用下的動位移結果。

如圖4所示，X0Y0為總體坐標系，為了得到拉索的局部振動計算結果，以每根拉索中連接拉索兩端的直線方向(主梁端指向橋塔端)為X軸方向，Y軸方向指向拉索上方(與X軸垂直)，建立各個拉索的局部坐標系，在后面的計算結果分析中，按需求分別提取拉索的1/2點、1/4點(靠近主梁端)沿拉索局部坐標系Y方向的振動計算結果來觀察拉索的1階、2階大幅振動狀態(tài)。

如圖8所示，在斜拉橋全橋模型中跨1/2點處施加簡諧激勵P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N激勵頻率為0.369 Hz，與圖6中全橋拉索分段模型1階自振頻率值相同。首先，考慮幾何非線性計算斜拉橋在自重作用下的靜力狀態(tài)，然后，計算非線性動力時程，共計算8 000步，時間步長0.06 s。

圖8 斜拉橋上的動態(tài)力

分別計算得到斜拉橋主梁跨中1/2點在總體坐標系Y0方向的振動時程圖、頻譜圖如圖9所示。

(a) 主梁中跨1/2點振動時程圖、頻譜圖(非線性)

(b) 主梁中跨1/2點振動時程圖、頻譜圖(線性)

圖9(a)為使用非線性Newmark-β法動力時程計算得到的結果?？梢钥闯?，外激勵接近全橋1階頻率，全橋結構發(fā)生1階振型的共振，中跨1/2節(jié)點振幅隨時間迅速增大，但由于全橋結構的振動幾何非線性作用，結構響應頻率與振幅有關，振幅不會一直增加，而是呈現(xiàn) “拍振”的非線性振動性質?？缰泄?jié)點40振幅達到約1.5 m以上時，發(fā)生了拍振現(xiàn)象，共振振幅開始周期性漲落。

圖9(b)為使用線性Newmark-β法動力時程計算結果，與圖9(a)計算結果不同，線性動力時程計算中由于結構剛度矩陣不變，當外激勵與全橋自振頻率接近的時候，全橋結構會發(fā)生共振，根據(jù)振動理論，共振振幅會持續(xù)增加直至結構阻尼確定的上限。

對比圖9(a)與9(b)可以發(fā)現(xiàn)，當全橋結構振動達到約1.5 m的時候結構才會進入較為明顯的非線性振動狀態(tài)。所以，對于斜拉橋，如果發(fā)生較大幅度振動，應當使用非線性動力時程積分算法。

使用圖8加載模型，非線性動力時程計算得到斜拉橋各個拉索的1/2點在局部坐標系Y方向最大振幅如圖10所示。

圖10 斜拉橋各個拉索1/2點最大振幅

由于全橋為對稱結構，激勵在跨中1/2點，所以圖10左右對稱。由圖10可以看出，由于全橋在外激勵作用下發(fā)生了1階共振，邊跨最長拉索在索-梁相關振動的作用下發(fā)生較大幅度的振動，其他較長拉索也發(fā)生了較大幅度振動。

得到拉索1的1/2點在拉索局部坐標系Y方向的振動時程圖、頻譜圖如圖11所示。

圖11 拉索1的1/2點振動時程圖、頻譜圖

由于拉索1的1階自振頻率(0.425 Hz)較為接近全橋自振頻率(0.369 Hz)，且由理論與已有研究結論可知，對于頻率較低的長索，索-梁相關振導致的強迫激勵下非線性振動響應區(qū)間通常較寬，可以判斷拉索在索-梁相關振動的作用下發(fā)生了強迫激勵下的1∶1主共振。

激勵在斜拉橋跨中，但邊跨較長拉索發(fā)生了較為明顯振動，這說明，不同于簡化索-梁組合結構，在實際斜拉橋全橋尺度下，外激勵注入的能量通過主梁、橋塔進行了傳遞，導致自振頻率達到共振條件的拉索都發(fā)生了大幅振動。

如圖12所示，為了激發(fā)全橋發(fā)生2階共振(全橋2階)，根據(jù)圖6的全橋模態(tài)，在斜拉橋主梁跨中1/4點施加簡諧力P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N，勵頻率為0.590 Hz(與圖5中全橋2階頻率值相同)，計算步設置與圖8中相同。

圖12 斜拉橋主梁跨中1/4點上的簡諧力

得到斜拉橋跨中主梁1/4點(節(jié)點31)在總體坐標系Y0方向的振動時程圖、頻譜圖如圖13所示。

從圖13中時程圖可以看出，主梁1/4點在外激勵作用下發(fā)生了較大幅度振動，最大振幅接近0.4 m，跨中主梁1/4點振動頻率接近全橋的2階自振頻率，簡諧激勵激發(fā)了全橋發(fā)生2階大幅非線性共振。

各個拉索的1/2點沿拉索局部坐標系Y方向最大振幅如圖14所示。

圖13 跨中主梁1/4點振動時程圖、頻譜圖

圖14 斜拉橋各個拉索1/2點最大振幅

從圖14中可以看出，編號為8,25,40,57號拉索發(fā)生了大幅振動，最大振幅達到了約3 m，這些拉索的1階自振頻率依次分別為0.575 Hz, 0.583 Hz, 0.583 Hz, 0.575 Hz，其中8與25號這一組拉索沿左橋塔對稱布置，40與57號這一組拉索沿右橋塔對稱布置，這兩組拉索沿全橋對稱布置。它們的1階自振頻率都接近于全橋的2階振動頻率，都在索-梁相關振動的作用下發(fā)生大幅度振動，且它們附近的拉索由于自振頻率接近都發(fā)生了較大幅度的振動。

提取拉索8的1/2點在拉索局部坐標系Y方向的振動時程圖、頻譜圖如圖15所示。

圖15 拉索8與拉索25的1/2點振動時程圖、頻譜圖

觀察圖15中的時程圖，可以發(fā)現(xiàn)拉索1/2點發(fā)生了大幅振動，而頻譜圖則說明拉索的大幅振動為1階振動，所以，根據(jù)理論原理判斷，較大振幅的拉索都發(fā)生了1階的1∶1主共振。

以上計算結果表明，當天興洲大橋全橋發(fā)生2階共振時，全橋的2階共振頻率接近全橋中某些拉索的共振區(qū)(對比圖7)，外激勵注入能量同樣通過主梁、橋塔傳遞，導致沿全橋與之頻率接近的拉索發(fā)生大幅度的非線性1∶1主共振。由于主梁的位移響應較大，所以拉索的共振振幅較大。

2.3 最長拉索的1∶1主共振

在天興洲大橋上，跨中拉索(第32號拉索)最長且中跨無輔助墩，所以本文認為中跨拉索更容易在索-梁相關振動作用下發(fā)生振動。

已知跨中最長拉索(32號拉索)的1階自振頻率為0.430 Hz。如圖16所示，在32號拉索主梁端節(jié)點上(節(jié)點39)施加簡諧激勵P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N激勵頻率為0.43 Hz(與拉索32的1階自振頻率值相同)，動力時程計算時間步長取0.05 s，計算6 000步。

圖16 拉索32端點上的簡諧力

由于外激勵簡諧力頻率接近拉索的1階自振頻率，所以根據(jù)非線性振動理論，拉索會在索-梁相關振動的作用下發(fā)生1∶1主共振。

計算得各個拉索的1/2點在拉索局部坐標系Y方向最大振幅如圖17所示。

圖17 斜拉橋各個拉索的1/2點振動最大振幅

從圖17中可以看出，由于外激勵接近跨中以及邊跨拉索的1階自振頻率，最長的幾根拉索在端點位移激勵作用下發(fā)生了大幅振動。

得到拉索32在拉索局部坐標系Y方向、斜拉橋主梁跨中1/2點沿總體坐標系Y0的振動時程圖、頻譜圖如圖18所示。

觀察圖18，從時程圖可以看出，拉索發(fā)生了大幅振動，從頻譜圖可以判斷拉索發(fā)生了1階的1∶1主共振。由于斜拉橋整體結構的能量傳遞效應，拉索32及其附近與之自振頻率接近的拉索都發(fā)生了索-梁相關振動導致的較大幅度的1階主共振。

由于外激勵位于主梁跨中，主梁位移響應相對較明顯，達到約0.05 m。外激勵與斜拉橋全橋自振頻率有一定的差別，所以跨中振動幅度較小端點位移激勵幅值較小。

(a) 主梁1/2點振動時程圖、頻譜圖

(b) 拉索32的1/2點振動

Fig.18 The time-history curve and spectrogram of the 1/2 point cables and 1/2 point of middle span

2.4 最長拉索的2∶1參數(shù)共振

為了考察斜拉橋中跨的最長拉索可能發(fā)生的參數(shù)振動情況。與圖16中施加簡諧力相同，簡諧力頻率設置為0.43×2=0.86 Hz(為拉索32的1階自振頻率值的2倍)。

由于外激勵頻率接近拉索1階頻率的2倍，拉索上可能發(fā)生1階參數(shù)共振同時發(fā)生的2階主共振。計算得各個拉索的1/2點與1/4點在拉索局部坐標系Y方向最大振幅如圖19所示。

(a) 各個拉索的1/2點振動最大振幅

(b) 各個拉索1/4點振動最大振幅

Fig.19 The largest amplitude of the 1/2 point and 1/4 point of the cables in the cable-stayed bridge under external excitation

根據(jù)圖19(a)，可以看出，在簡諧外激勵作用下，拉索32,33的1/2點發(fā)生了較大幅度的振動，得到它們在拉索局部坐標系Y方向的振動時程圖、頻譜圖如圖20所示。

圖20 拉索與主梁1/2點振動時程圖、頻譜圖

根據(jù)圖20，從時程圖可以看出，拉索1/2點發(fā)生了大幅振動，從頻譜圖可以看出，拉索的大幅振動為1階振動。所以，可以判斷拉索在端點位移激勵下發(fā)生了1階的2∶1參數(shù)共振。

得到拉索32的1/4點在拉索局部坐標系Y方向的振動時程圖、頻譜圖如圖21所示。

圖21 拉索32的1/4點的振動時程圖、頻譜圖

根據(jù)圖21，可以看出拉索32的1/4點發(fā)生了較大大幅振動，從頻譜圖可以看出振動的主要較大響應頻率約為0.83～0.86 Hz(本文認為，頻率成分復雜應當是由于非線性振動效應造成)，接近拉索1階自振頻率的2倍，因此可以判斷拉索在頻率為0.86 Hz的端部簡諧力作用索-梁相關振動導致了拉索發(fā)生了較大幅度的2階的1∶1主共振。

對于拉索32，對照觀察圖20與圖21(拉索1/2點與1/4點大幅振動)，可以發(fā)現(xiàn)，拉索上同時發(fā)生了1階的2∶1參數(shù)共振與2階1∶1主共振。但由圖20可知，拉索1階的1∶1參數(shù)共振的振幅隨激勵時間增加較為緩慢(盡管外激勵條件較為理想，但拉索在約200 s時1/2點的振動幅度才有較為明顯的增加)，而2階主共振的振幅隨簡諧激勵持續(xù)時間迅速增大(拉索1/4點的振幅在約20 s內達到了振幅峰值)。發(fā)生1∶1的2階主共振拉索為31,34，發(fā)生2∶1參數(shù)共振的拉索僅有拉索32與33。

綜上所述，可以判斷，對于斜拉橋跨中最長拉索，在端點簡諧激勵接近拉索1階自振頻率2倍時，拉索上會同時發(fā)生1階的2∶1參數(shù)共振與2階1∶1主共振，但2∶1參數(shù)共振相對不容易發(fā)生，拉索的大幅振動以2階1∶1主共振為主，具體表現(xiàn)為：拉索1/4點的振幅隨激勵時間迅速增大，1/2點振幅隨時間增長緩慢。因此，本文認為，在實際大跨度斜拉橋的索-梁相關振動分析中應主要考慮拉索上發(fā)生的1∶1主共振(1階或n階)，可以不主要考慮2∶1參數(shù)共振的作用。

2.5 非跨中拉索的主共振與參數(shù)共振

選取斜拉橋中跨1/4點附近，拉索24作為考察對象。如圖22所示，在拉索24主梁上端點處(節(jié)點31)施加簡諧力如圖22所示。

圖22 斜拉橋上的簡諧力

計算已知拉索24的1階自振頻率為0.633 Hz。簡諧激勵為P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N激勵頻率取為0.633 Hz，動力時程計算時間步長取0.05 s，計算6 000步。得各個拉索的1/2點在拉索局部坐標系Y方向最大振幅如圖23所示。

圖23 外激勵作用下拉索的1/2點

由圖23可以看出，拉索24及其沿全橋分布與之頻率相近的拉索(拉索9,41,58)都發(fā)生了較大幅度的振動。

得到拉索24、41的1/2點在拉索局部坐標系Y方向的振動時程圖、頻譜圖如圖24所示。

圖24 拉索24與41的1/2點振動時程圖、頻譜圖

由圖24可以判斷，由于簡諧激勵的頻率接近拉索24的1階自振頻率，拉索24及全橋與之頻率接近的拉索在主梁、橋塔的能量傳遞效應下都發(fā)生較大幅度的1階的1∶1主共振。

為了考察拉索24是否可能發(fā)生的2∶1參數(shù)共振，將圖20中的簡諧力頻率設置為1.266 Hz(拉索24的1階頻率的2倍)，計算得各個拉索的1/2點與1/4點在拉索局部坐標系Y方向最大振幅如圖25所示。

(a) 各個拉索1/2點最大振幅

(b) 各個拉索的1/4點最大振幅

Fig.25 The largest amplitude of the 1/2 point and 1/4 point of the cables in the cable-stayed bridge under external excitation

從圖25中可以看出，在外激勵作用下各個拉索的1/2點與1/4點均未發(fā)生較大幅度的振動。這說明，由于遠離跨中時，結構剛度更大，結構的非線性效應更為明顯，較高頻率簡諧外激勵造成的主梁振動更小，阻尼對拉索大幅高頻率振動的抑制作用更為明顯，索-梁相關振動不容易導致拉索發(fā)生2∶1參數(shù)共振或1∶1主共振。

3 列車-橋梁耦合動力作用下斜拉橋索-梁相關振動特性

在第3節(jié)中，我們通過施加理論上的理想外部激勵討論了鐵路斜拉橋索-梁相關振動達到大幅振動(1∶1主共振，2∶1參數(shù)共振)的共振條件。可以認為，對于大跨度鐵路斜拉橋，在實際運營過程中，如果列車作用能達到或接近上述共振條件則會導致拉索發(fā)生較大幅度索-梁相關振動。所以，這里使用拉索分段的全橋模型，通過車橋耦合振動計算來考察橋梁是否會發(fā)生拉索大幅振動的情況。

首先計算1列列車以90 km/h通過橋梁時，各個拉索1/2點的最大響應如圖26所示。

圖26中可以看出，由于全橋對稱，所以拉索的最大響應也是基本對稱的，最長的拉索1和拉索32響應最大。這里，提取跨中主梁1/2點、拉索1和拉索32的1/2點的列車過橋動力時程計算結果如圖27所示。

從圖26與圖27都可以看出，列車以90 km/h速度通過橋梁沒有導致拉索大幅響應。圖27中可以看出，列車通過橋梁的等效外激勵頻率也較低，本文認為，列車作用更接近一個靜力過程。

圖26 列車作用下橋梁各個拉索1/2點最大響應(v=90 km/h)

Fig.26 The largest amplitude of the 1/2 point and 1/4 point of the cables in the cable-stayed bridge by a train(v=90 km/h)

(a) 跨中1/2點節(jié)點振動時程圖、頻譜圖

(b) 拉索1 的1/2點的振動時程圖、頻譜圖

(c) 拉索32的1/2點振動時程圖、頻譜圖

Fig.27 The time-history curve and spectrogram of 1/2 point main girder and the 1/2 points of cable No.32 and No.34

得到分別使用線性計算與非線性計算時，對于拉索32，一列列車過橋造成的拉索索力增量變化如圖28所示。

圖28中可以看出，使用線性與非線性動力時程計算差別很小。這說明對于大跨度鐵路斜拉橋，結構較難進入明顯的非線性動力狀態(tài)，如圖9計算結果，主梁跨中達到1.5 m振幅時，才得到全橋明顯的非線性振動狀態(tài)，因此，使用線性計算能提升計算速度也能得到滿足工程計算要求的結果。

天興洲大橋最多可以承受4列高速列車通過，為了得到較為極端情況下的結果，這里計算4列列車同時、同向行駛通過天興洲大橋(列車的車輛荷載按照規(guī)范折減)，且將列車的行駛速度設置為200 km/h，得到計算結果如圖29所示。

(b) 主梁跨中1/2點振動時程圖、頻譜圖

(c) 拉索1振動時程圖、頻譜圖

(d) 拉索32振動時程圖、頻譜圖

Fig.29 Calculation results of vibration of the main girder and cable by four trains on same directions(v=+200 km/h)

由圖29可以看出，在較為極端的情況下，4輛列車以200 km/h速度同時通過天興洲大橋也未造成拉索大幅振動。由于荷載較大，拉索1的最大振幅約為0.08 m，斜拉橋跨中1/2點振動幅度約為0.16 m。

對照圖9計算結果，也說明全橋結構在相對較小幅度的振動狀態(tài)時，斜拉橋的受力狀態(tài)是接近線性的。列車過橋同樣接近一個靜力過程，橋梁、拉索的振動頻率都較低。考慮實際情況中不會出現(xiàn)4列列車同時以較高速度通過的情況，所以實際列車荷載作用下拉索與橋梁的振動響應幅值、頻率也應當是更小的。

計算雙車對開工況，正向行駛列車為圖4模型中從左到右行駛(v=+120 km/h)，逆向行駛車輛為從右到左(v=-90 km/h)，計算結果如圖30所示。

從圖30中可以看出，雙車對開導致的拉索最大響應也較小，最大約0.04 m。32號拉索的振動時程圖與單車過橋相比只是形狀與最大幅值有一定的變化，但無大幅振動發(fā)生。

實際情況中單列車通過的情況最多，所以這里計算1列列車以不同速度(60 km/h～200 km/h)通過斜拉橋，拉索32的1/2點振動時程圖如圖31所示。

圖31中，由于列車速度不同，所以X方向坐標是第一輪對運行距離，Y方向為不同速度取值，Z方向為拉索32的1/2點振動位移。 從圖31可以看出，當列車速度提高以后列車的等效動力外激勵頻率有一定的提高，列車的動力沖擊作用變大，拉索的振動幅值有一定的增加，但總的來說拉索的響應幅值較小、頻率較低。

綜上所述，本文研究結果表明，對于大跨度重載鐵路斜拉橋，列車過橋更接近于一個靜力過程，橋梁不會進入非線性振動狀態(tài)，列車的動力作用不會達到本文第4節(jié)研究中導致拉索大幅振動的外激勵條件。

(a) 各個拉索最大響應

(b) 主梁跨中1/2點振動時程圖、頻譜圖

(c) 拉索32振動時程圖、頻譜圖

圖30 雙車對開(v1=+120 km/h，v2=-90 km/h)主梁與拉索振動計算結果

Fig.30 Calculation results of vibration of the main girder and cable by two trains on opposite directions(v1=+120 km/h,v2=-90 km/h)

(a) emf圖

(b) TIF圖

(c) bmp圖

圖31 不同列車速度下拉索32的1/2點位移響應

Fig.31 The time-history curve of the 1/2 point of cable No.32 by a train at different speeds

4 結 論

本文通過建立算法與模型，針對天興洲大橋進行了一系列的計算與分析，得到結論如下：

(1) 對于大跨度鐵路斜拉橋，正常運營較難使結構進入明顯的非線性振動狀態(tài)。計算結果表明，全橋結構主梁跨中振幅達到約1.5 m的時候才會進入較為明顯的非線性振動狀態(tài)，這個振幅數(shù)值對于全長為1 100 m的大跨度斜拉橋系統(tǒng)來說，是弱非線性振動狀態(tài)，但橋梁實際運營過程中顯然不會出現(xiàn)1.5 m的振動幅度，所以使用線性動力時程積分計算結構在正常使用狀態(tài)下的動力響應結果也是可靠的。

(2) 斜拉橋中索與梁振動的“相關”特性實際上是一個能量傳遞的過程。當斜拉橋上存在導致大幅索-梁相關振動的外激勵時，外激勵對斜拉橋系統(tǒng)注入能量，而能量通過主梁、橋塔傳遞到拉索上。具體的現(xiàn)象為：全橋結構振動時發(fā)生的索-梁相關振動導致某根拉索發(fā)生共振時，沿全橋分布的與之頻率接近的拉索也會發(fā)生較大幅度振動，這種非線性振動類型通常為1∶1主共振，2∶1參數(shù)共振不容易發(fā)生。

(3) 當外激勵作用位置在主梁上某拉索端點附近，激勵頻率與拉索1階自振頻率值接近2∶1的關系時，拉索容易發(fā)生2階的1∶1主共振(短時間內振幅達到峰值)，而1階2∶1參數(shù)共振不容易發(fā)生，但當激勵持續(xù)時間較長時，拉索上2階主共振與1階參數(shù)共振可能同時發(fā)生。因此，在實際大跨度斜拉橋的分析中，可以只考慮拉索在索-梁相關振動作用下發(fā)生的1∶1主共振，不需考慮2∶1參數(shù)共振。

(4) 保持外激勵幅值不變，外激勵頻率越高，激勵位置越遠離跨中、靠近橋塔，外激勵越不容易使索-梁相關振動導致拉索發(fā)生大幅振動。因此，在實際分析中應當主要關注大跨度斜拉橋中跨和邊跨最長拉索的索-梁相關振動情況。

(5) 研究表明，在一般情況下，列車對大跨度鐵路斜拉橋的作用更接近一個靜力過程，不會達到拉索大幅索-梁相關振動的外部激勵條件(1∶1主共振、2∶1參數(shù)共振)。這說明，重載大跨度鐵路斜拉橋由于其本身設計剛度較大，結構質量以及規(guī)模較大，列車不會導致斜拉橋發(fā)生大幅度的非線性索-梁相關振動。