付 鵬， 胡安峰， 李怡君， 謝康和， 李 龍

(1. 浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058；2. 浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310058)

隨著港口及海洋工程的發(fā)展，樁基礎(chǔ)作為一種有效的基礎(chǔ)形式在跨海大橋、碼頭、近海風(fēng)機(jī)、海上平臺(tái)建設(shè)中得到了廣泛的應(yīng)用。在風(fēng)荷載、波浪荷載、地震荷載等荷載作用下，海洋樁基需要承受巨大的水平動(dòng)荷載。研究其在動(dòng)力荷載作用下的水平振動(dòng)特性具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

近幾十年來廣大學(xué)者對(duì)動(dòng)荷載作用下樁基振動(dòng)問題進(jìn)行了深入的研究。Novak等[1-4]將土體視為均質(zhì)黏彈性介質(zhì)，系統(tǒng)的研究了動(dòng)力荷載作用下樁基水平振動(dòng)問題。Gazetas等[5]基于分象限假定研究了樁-土系統(tǒng)水平振動(dòng)的輻射阻尼。Shadlou等[6]基于彈性動(dòng)力學(xué)理論，分析了成層地基中單樁水平動(dòng)力響應(yīng)。尚守平等[7]，Zheng等[8]將土體視為飽和多孔介質(zhì)，研究了飽和土中樁基水平振動(dòng)問題。

這些研究均是基于完全埋入式樁基礎(chǔ)，然而海洋樁基多采用高樁的形式，上部樁體位于水中，下部樁體埋入海床，其變形和內(nèi)力與完全埋入式樁基有明顯的差異[9-11]。馬宏旺等[12]采用數(shù)值模擬的方法研究了循環(huán)荷載作用下高樁基礎(chǔ)水平動(dòng)力特性。Catal[13-14]將土體視為彈性連續(xù)介質(zhì)，研究了高樁基礎(chǔ)的動(dòng)力穩(wěn)定特性。任青等[15]基于動(dòng)力Winkler模型，提出了考慮豎向荷載的海洋群樁基礎(chǔ)水平振動(dòng)模型。Hu等[16]基于飽和多孔介質(zhì)理論，分析了飽和土地基中高樁基礎(chǔ)的水平動(dòng)力響應(yīng)，探討了埋入比對(duì)樁基振動(dòng)特性的影響。Liu等[17]基于疊加原理，研究了成層飽和土地基中群樁水平振動(dòng)特性。

以上研究都是將高樁基礎(chǔ)埋入水中部分樁體考慮為自由段，沒有考慮作用在樁身上的動(dòng)水壓力。徐漢忠[18]的研究表明動(dòng)水壓力會(huì)對(duì)埋入水中圓柱梁的水平振動(dòng)特性產(chǎn)生顯著影響。本文假設(shè)水體為無黏性不可壓縮流體，考慮樁基與海床土及流體的相互作用，基于傳遞矩陣法，得到了海洋高樁基礎(chǔ)水平振動(dòng)解析解。本文解可為海洋高樁基礎(chǔ)的工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 計(jì)算模型及基本假定

計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示，水深為H1，土層厚度為H2，樁頂受到簡(jiǎn)諧激振力，樁體彈性模量為Ep，樁體密度為ρp，樁長(zhǎng)為H，半徑為r0。

圖1 計(jì)算模型

本文在建立模型時(shí)引入以下假定：①土體為各向同性黏彈性體，水體為無黏性不可壓縮流體；②樁-流體、樁-土體系振動(dòng)為小變形，樁-流體、樁-土完全連續(xù)接觸；③水平振動(dòng)時(shí)，忽略土體的豎向位移；④樁底為固定支座，樁頂自由。

2 控制方程及邊界條件

2.1 振動(dòng)控制方程

(1)流體運(yùn)動(dòng)控制方程

無黏性不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)控制方程是拉普拉斯方程，在柱坐標(biāo)系下可表示為

(1)

式中,φ為速度勢(shì)函數(shù)

(2)土體振動(dòng)方程

根據(jù)彈性動(dòng)力學(xué)理論，不考慮土體豎向位移時(shí)，柱坐標(biāo)下土體振動(dòng)控制方程可表示為

(2)

(3)

式中：ur和uθ為土體徑向和切向位移；λ和μ為土體復(fù)拉梅常數(shù)，μ=G(1+2ξi)，G為土體剪切模量，ξ為土體阻尼比；ρs為土體密度。

土體振動(dòng)方程相關(guān)解可參考文獻(xiàn)[2]，這里不再詳細(xì)說明。

(3)樁水平振動(dòng)方程

(0≤z≤H2)

(4)

(-H1≤z<0)

(5)

式中：up為樁身水平位移；Ep為樁彈性模量；Ip為樁截面慣性矩；mp為樁單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；qs為水平振動(dòng)時(shí)單位長(zhǎng)度樁身所受的土體反力；qf為作用于單位長(zhǎng)度樁身的動(dòng)水壓力。

2.2 邊界條件

(1)不考慮重力波的影響，流體表面有

φz=-H1=0

(6)

(2)流體底面z=0處無豎向速度，有

(7)

(3)流體與樁身接觸面速度連續(xù)，即

(8)

(4)無窮遠(yuǎn)處，速度勢(shì)滿足Sommerfeld輻射條件

(9)

式中：kw為波數(shù)。

土層邊界條件及樁土接觸面連續(xù)條件可參考文獻(xiàn)[2]，這里不再詳細(xì)介紹。

3 方程求解

基于分離變量法，流體速度勢(shì)函數(shù)φ可表示為

(10)

式中，T(t)為時(shí)間因子eiωt，為簡(jiǎn)便起見，在以下推導(dǎo)過程中省略eiωt項(xiàng)。

將式(10)代入式(1)，可解得

R(r)=A1Im(hr)+A2Km(hr)

(11)

Θ(θ)=B1cos(mθ)+B2sin(mθ)

(12)

Z(z)=C1cos(hz)+C2sin(hz)

(13)

式中，Im(hr)和Km(hr)分別為m階第一類、第二類修正Bessel函數(shù)。

結(jié)合邊界條件和樁-流體耦合連續(xù)條件(6)、(7)、(8)、(9)，可有

A1=B2=C2=0,m=1

(14)

(15)

則速度勢(shì)函數(shù)φ可表示為

(16)

作用在樁身上的動(dòng)水壓力為

(17)

式中，ρf為流體的密度。

將式(16)代入式(17)，可得

(18)

將式(18)代入式(5)，則埋入水中部分樁身振動(dòng)方程可表示為

(19)

式(19)的解為

up=λ1cosh(kz)+λ2sinh(kz)+λ3cos(kz)+

(20)

式中：k4=mpω2/EpIp；λ1，λ2，λ3，λ4為待定常數(shù)。

由樁-流體接觸面速度連續(xù)條件，可有

[λ1cosh(kz)+λ2sinh(kz)+λ3cos(kz)+λ4sin(kz)-

(21)

將式(21)兩邊同時(shí)乘于cos(hnz)，并在區(qū)間[-H1，0]上積分，可有

(22)

由式(22)可得

A=δ1λ1+δ2λ2+δ3λ3+δ4λ4

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

則式(20)可表示為

up=

(28)

故對(duì)于埋入水中部分樁身可有

(29)

式中：up,φp，Mp，Qp分別為樁身水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；[T1(z)]=[t1(z),t2(z),t3(z),t4(z)]其中

[t1(z)]=

(30)

[t2(z)]=

(31)

[t3(z)]=

(32)

[t4(z)]=

(33)

由此可得樁頂和流體-土交界面處樁身位移及內(nèi)力的關(guān)系

(34)

同理，樁底和流體-土交界面處樁身位移及內(nèi)力關(guān)系為

(35)

式中，[T2(z)]和[T1(z)]矩陣形式相同，具體參數(shù)取值見文獻(xiàn)[3]

水中段及土中段樁身在流體-土交界面處位移和內(nèi)力連續(xù)，則由式(34)和(35)可得

(36)

其中，

[T]=[T2(H2)][T2(0)]-1[T1(0)][T1(-H1)]-1

當(dāng)樁底為固定約束時(shí)，有

up(H2)=0，φp(H2)=0

(37)

由式(36)和(37)可得

(38)

式中，

[Kp]=

(39)

則樁頂水平動(dòng)力阻抗Kh，搖擺動(dòng)力阻抗Kr以及水平-搖擺耦合動(dòng)力阻抗Khr可分別表示為

(40)

(41)

(42)

4 計(jì)算結(jié)果與分析

4.1 合理性驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文解的正確性，將本文解與文獻(xiàn)[18]給出的圓柱梁與水耦合振動(dòng)解對(duì)比。令H2=0，將本文解退化為水中圓柱梁水平振動(dòng)解，計(jì)算得到水中圓柱梁的梁頂動(dòng)力阻抗。計(jì)算參數(shù)為：H1=5 m，r0=0.5 m，Ep=25 GPa,ρp=2 500 kg/m3，ρf=1 000 kg/m3。對(duì)角頻率ω進(jìn)行轉(zhuǎn)化，橫坐標(biāo)為f=ω/2π。圖2分別給出了根據(jù)本文退化解和文獻(xiàn)[18]解得到的水平動(dòng)力阻抗計(jì)算結(jié)果。可以看出兩者分析結(jié)果完全一致，從而驗(yàn)證了本文解的合理性。

圖2 與文獻(xiàn)[18]解對(duì)比分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文解的合理性，令H1=0，將本文解退化為完全埋入式樁基水平振動(dòng)解，并與文獻(xiàn)[3]解進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算參數(shù)為：H2=20 m，Ep/Es=1 000，νs=0.3，ξ=0.05，ρs=2 190 kg/m3，其余參數(shù)同上。圖3分別給出了根據(jù)本文退化解和文獻(xiàn)[3]解得到的水平動(dòng)力阻抗計(jì)算結(jié)果。可以看出兩者分析結(jié)果完全一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文解的合理性。

(a)

(b)

4.2 樁頂動(dòng)力阻抗特性分析

對(duì)海洋高樁基礎(chǔ)樁頂阻抗特性進(jìn)行分析，主要分析動(dòng)水壓力、水深及樁徑對(duì)樁頂阻抗的影響。其中，樁頂阻抗的實(shí)部代表真實(shí)的剛度，虛部代表樁-土及樁-流體系統(tǒng)能量消散的阻尼。參數(shù)分析中，計(jì)算參數(shù)取值為H2=20 m，H1/H2=0.1，其余參數(shù)同上。

為分析動(dòng)水壓力對(duì)海洋高樁基礎(chǔ)水平動(dòng)力特性的影響，將本文解與不考慮動(dòng)水壓力的解進(jìn)行對(duì)比分析。圖4和圖5分別反映了不同水深及不同樁徑下動(dòng)水壓力對(duì)樁頂水平動(dòng)力阻抗的影響。由圖可見，頻率較低時(shí)，動(dòng)水壓力對(duì)樁頂水平動(dòng)力阻抗影響不大。在較高頻率范圍，考慮動(dòng)水壓力計(jì)算得到的水平阻抗剛度因子小于忽略動(dòng)水壓力計(jì)算得到的水平阻抗剛度因子，且兩者的差距隨頻率增大而增大。當(dāng)頻率較高且水深較深時(shí)，考慮動(dòng)水壓力計(jì)算得到的水平阻抗阻尼因子略微大于忽略動(dòng)水壓力計(jì)算得到的水平阻抗阻尼因子。結(jié)合式(18)可以看出，動(dòng)水壓力隨激振頻率的增大而增大；ω=0時(shí)，動(dòng)水壓力等于0。從而隨著激振頻率的增加，動(dòng)水壓力對(duì)樁頂水平動(dòng)剛度影響越大。這與圖4、5的分析結(jié)果一致。說明在進(jìn)行海洋高樁基礎(chǔ)水平動(dòng)力特性分析時(shí)，需要考慮動(dòng)水壓力作用，以免高估其水平動(dòng)剛度。

圖6～圖8反映了樁半徑對(duì)樁頂阻抗的影響。由圖可見，增大樁徑對(duì)樁頂阻抗提升非常明顯。但是隨著頻率增加，樁徑對(duì)水平阻抗剛度因子影響逐漸減小。這是由于隨著樁徑增加，土體反力及樁身剛度增加，單位長(zhǎng)度樁身質(zhì)量也隨之增加。在低頻范圍內(nèi)，水平阻抗剛度因子主要受樁身剛度及土體反力影響。但是在較高頻率范圍，樁身慣性力對(duì)水平阻抗剛度因子的影響更為顯著。

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

圖9～圖11反映了水深對(duì)樁頂阻抗的影響?？梢钥闯霎?dāng)樁體埋入土中長(zhǎng)度和樁徑一定時(shí)，隨著水深增加，水平阻抗、搖擺阻抗、水平-搖擺耦合阻抗均顯著減小。且隨著頻率增加，樁頂阻抗降低幅度明顯加大。當(dāng)H1/H2=0.1時(shí)，樁頂水平動(dòng)剛度相較于完全埋入式樁基礎(chǔ)降低了45%以上。說明樁基礎(chǔ)的動(dòng)力特性對(duì)上部約束條件非常敏感。

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

5 結(jié) 論

本文考慮動(dòng)水壓力作用和樁-流體耦合振動(dòng)，得到了黏彈性地基中海洋高樁基礎(chǔ)水平動(dòng)力響應(yīng)解析解。對(duì)樁頂阻抗進(jìn)行參數(shù)分析，得出了以下結(jié)論：

(1)頻率較低時(shí)，動(dòng)水壓力對(duì)樁頂水平動(dòng)剛度影響不大，在較高頻率范圍，忽略動(dòng)水壓力會(huì)高估樁頂水平動(dòng)剛度。

(2)頻率較低時(shí)，動(dòng)水壓力對(duì)樁頂水平阻抗阻尼因子影響很小，當(dāng)頻率較高且水深較深時(shí)，忽略動(dòng)水壓力會(huì)低估樁頂水平阻抗阻尼因子。

(3)增大樁徑對(duì)樁頂阻抗提升非常明顯，但是隨著激振頻率增加，樁徑對(duì)水平阻抗剛度因子的影響逐漸減小。

(4)水深的增加會(huì)顯著降低高樁基礎(chǔ)水平阻抗、搖擺阻抗及水平-搖擺耦合阻抗。且隨著頻率增加，樁頂阻抗降低幅度明顯增大。