馬芳武， 梁鴻宇， 趙 穎， 陳實現(xiàn)， 蒲永鋒

(吉林大學，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130025)

多胞材料因其具有獨特的力學性能，近幾年受到軍事、航空航天、汽車等工程領域的關注[1-3]。相比于傳統(tǒng)實體材料，多胞材料開拓了新的設計維度，其內部不同的結構形式、組合排列方式都將影響其性能特征，負泊松比效應就是由其內部特殊的結構形式所導致的一種力學行為。結構的負泊松比效應使其具有更好的抗壓性能與能量吸收性能，對于汽車被動安全性中的碰撞安全以及行人保護方面極具研究價值。因此，在沖擊載荷作用下，如何建立元胞幾何參數(shù)與負泊松比多胞材料動力學響應的關系，從而更有效地提高碰撞過程中的吸能量，保證行人與乘員的安全，成為眾多學者研究的熱點。

圖1 常見的負泊松比材料

常見的負泊松比材料如圖1所示。負泊松比效應在力學行為上的解釋是結構和材料在受到軸向拉伸時，材料在垂直于力的方向上產生膨脹，當受到軸向壓縮時，材料在垂直于力的方向上產生收縮。Lake通過對聚合物泡沫的三軸壓縮和熱處理，制備了具有內凹胞體結構的材料。之后，很多學者對這一現(xiàn)象進行了大量研究。Wan等[4]討論了元胞幾何參數(shù)對內凹蜂窩結構泊松比的影響，得出元胞的內凹程度對泊松比的影響較為顯著；Li等[5]設計了一種新型2D蜂窩結構，并通過仿真實驗得出該結構泊松比對尺寸比例敏感，最小可達-1.05，其剛度性能比六邊形蜂窩更加優(yōu)異；Choi等[6]對內凹泡沫夾芯材料的楊氏模量進行了預測，指出具有負泊松比效應泡沫材料的力學性能與胞元微拓撲結構的改變有關；鄧小林等[7]研究了一種全參數(shù)化正弦蜂窩結構，結果表明，正弦曲線蜂窩結構的輕微拉脹效應可增強其平面內能量吸收能力，相對普通的常規(guī)正六邊形蜂窩結構，具有更好的能量吸收效果；韓會龍等[8]研究了沖擊載荷下星形節(jié)點周期性蜂窩結構的面內沖擊動力學響應特性，給出了星形蜂窩結構密實應變和動態(tài)平臺應力的經(jīng)驗公式，以預測多胞材料的動態(tài)承載能力。盧子興等[9]研究了具有手性和反手性構型的負泊松比蜂窩( 統(tǒng)稱手性系蜂窩) 在不同沖擊速度下的變形模式和能量吸收等動態(tài)力學響應特性，給出了不同沖擊速度下的變形模式。Fu等[10]設計了一種新型負泊松比三維結構，推導了彈性模量與泊松比的公式，并證明其公式具有較高的精度與較寬的應用范圍。Li等[11]將正弦結構引入傳統(tǒng)的負泊松比內凹六邊形蜂窩結構，使能量吸收能力得到增強。Carta等[12]設計了一種具有負泊松比效應的二維多孔材料，并證明其具有各向同性；Liu等[13]研究了薄壁折紋管在軸向沖擊載荷下的屈曲模態(tài)與吸能，得到折角有利于能量吸收以及降低初始峰值力；張新春等[14]對具有負泊松比效應的蜂窩材料進行了面內沖擊特性的研究，得到胞元擴張角的絕對值越大，沖擊端蜂窩材料的平臺應力越高；Zhou等[15]基于遺傳算法對填充負泊松比結構的汽車碰撞吸能盒進行了多目標優(yōu)化，相比于傳統(tǒng)吸能盒，比吸能提高7.19%。可見，目前對負泊松比效應的研究多集中在靜力學特性方面，對于沖擊性能的研究主要集中于內凹六邊形，其他內凹結構的沖擊性能探究相對較少。

本文提出一種內凹三角形負泊松比結構為研究對象(傳統(tǒng)三角形結構進行三條邊的內凹,如圖2所示)，其中，a為水平長胞壁長度；L為元胞高度；c為元胞寬度；h為水平短胞壁高度；b為胞壁厚度；α為底邊內凹角度；θ為側邊內凹角度。在其他幾何參數(shù)不變的情況下,討論元胞內凹角度(側邊內凹角度θ)以及沖擊速度對內凹三角形負泊松比材料面內沖擊性能和能量吸收的影響,建立宏觀動力學響應與內凹角度以及沖擊速度的內在關聯(lián)，這對其在汽車碰撞吸能等部件的材料應用方面具有重要意義。

圖2 內凹三角形負泊松比結構

1 計算模型

1.1 有限元模型

內凹三角形負泊松比材料的沖擊計算模型如圖3所示，L1、L2分別是試件的寬度和高度。試件分別具有相同的元胞長度、元胞寬度、元胞內角以及壁厚等幾何參數(shù)，僅側邊內凹角度不同。本文將側邊內凹角度θ定義為：內凹三角形側邊內凹處外側夾角(如圖2所示)，考慮到壁厚長度，為保持三角形的結構特征，防止左右兩側邊重合，將角度控制在140°～180°。不同內凹角度的單胞示意圖如圖4所示。在本文應用HYPERMESH/LSDYNA聯(lián)合仿真進行材料沖擊動力學特性計算。基體材料采用多線性彈塑性模型，密度ρ=7.85 g/cm3，彈性模量E=205 GPa，泊松比為μ=0.28，屈服應力σcr=440 MPa。應變率系數(shù)c=40 s-1,p=6計算過程中選用殼單元(4節(jié)點四邊形殼單元)進行離散，經(jīng)過反復試算，網(wǎng)格的初始尺寸定為0.5 mm。模型的面外(沿x方向)厚度bx=1 mm。為了保證收斂，在厚度方向取五個積分點，計算中采用單面自動接觸算法。另外，剛性板表面與新型負泊松比材料試件的外表面均視為光滑，兩者接觸無摩擦。邊界條件與文獻[16]相同，即當剛性板沿z向沖擊試件時，試件底端固定，左右兩側自由。同時，為保證變形的平面應變狀態(tài)，試件中所有節(jié)點面外位移均被限制。另外，考慮模型可靠性，有效捕捉變形特征，并保證計算效率，在y、z方向內填充元胞數(shù)目均為12，使動態(tài)響應趨于穩(wěn)定。

(a)模型示意圖

(b)沖擊加載示意圖

(a)θ=140°(b)θ=150°(c)θ=160°(d)θ=170°(e)θ=180°

圖4 不同內凹角度的單胞結構示意圖

Fig.4 Diagrammatic sketch for cellular structure with different concave angles

內凹三角形負泊松比材料的相對密度公式較為復雜，因本文只研究側邊內凹角度的影響，故將其他幾何數(shù)值帶入簡化公式(數(shù)值見表1)，給出了相對密度與側邊內凹角度的關系式。從表1中可以看到，隨著側邊內凹角度的增加，相對密度呈減小趨勢，但改變量很小。

(1)

1.2 模型可靠性

為了驗證有限元模型的可靠性，建立與文獻[14]相同的計算模型，討論內凹六邊形蜂窩材料的面內動態(tài)響應特性。圖5給出了剛性板沖擊速度v=20 m/s時，內凹六邊形蜂窩材料的沖擊變形特性。由圖可見，在基體材料性能、邊界條件和加載條件完全相同的條件下，計算結果與文獻[9]中面內變形模式基本吻合，證明了該模型的可靠性。

(a) 本文結果

(b) 文獻[9]結果

圖6給出了內凹三角形負泊松比材料在面內沖擊作用下的能量曲線，從圖中我們可以看到，在整個沖擊過程中，能量是守恒的，并且沙漏能和滑移能小于總能量的5%，進一步證明了仿真模型的準確性。

圖6 內凹三角形負泊松比材料在面內沖擊下的能量曲線

1.3 臨界速度

在沖擊載荷的作用下，多胞材料的變形表現(xiàn)出局部化變形特征。H?nig等[17]定義了“陷波”波速，當沖擊速度超過陷波波速時，局部變形帶開始形成。陷波波速的計算公式為

(2)

其中，

(3)

(4)

式中，εw為應力第一次達到峰值時相應的名義應變，σ為名義應力，如圖7所示；ρ0為多胞材料的初始密度。

隨著沖擊速度的進一步增加，局部變形帶從沖擊端以沖擊波的形式向前傳播，Tan等[18]給出了變形表現(xiàn)為沖擊波特征時的沖擊波速，即：

(5)

式中，σ0為準靜態(tài)壓縮時的平臺應力；εd為鎖定應變，可由名義應力再次達到初始應力峰值時所對應的應變確定，如圖7所示。

表1 不同模型的幾何參數(shù)

圖7 多胞材料典型的名義應力應變曲線

根據(jù)H?nig和Stronge定義的“陷波”波速vw以及Tan等定義的臨界沖擊速度，通過計算得到vw=28 m/s，vs=114 m/s。將動態(tài)響應劃分成三個區(qū)域，其中區(qū)域1：v=3 m/s

考慮到交通車輛發(fā)生碰撞時的速度工況以及速度區(qū)域的綜合性分析，將沖擊速度取為20 m/s、35 m/s、70 m/s、120 m/s分別進行研究。

2 計算結果和討論

2.1 內凹三角形負泊松比材料的面內沖擊響應

圖8給出了不同速度下內凹三角形負泊松比材料在名義應變ε= 0.4時的面內沖擊變形模式。計算結果表明，側邊內凹角度的不同(內凹角度為180°屬于單邊內凹形式)，材料的變形模式以及產生的負泊松比效應各不相同。在沖擊速度較低(v=20 m/s)時，當內凹角度θ=140°時，從沖擊變形過程可觀察到，隨著結構材料的不斷壓縮，左右胞壁向結構中央收縮，并在元胞節(jié)點處產生塑性鉸，進而促進相鄰元胞產生變形，無明顯的局部變形帶產生；當內凹角度θ=160°時，該結構材料中央?yún)^(qū)域產生剛化現(xiàn)象(即有應力狀態(tài)下，構件壓縮方向的剛度顯著增大)。隨著內凹角度的增加，θ=180°(單邊內凹)時，承受壓縮的結構首先在沖擊端產生第一變形帶，進而在固定端產生第二變形帶，最后兩變形帶交替變形，直至結構完全壓縮密實，結構失效。

在中低速沖擊(v=35 m/s)時，當內凹角度θ=140°時，與低速沖擊時變形基本一致，無明顯的局部變形帶產生，在元胞節(jié)點處產生塑性鉸，進而促進相鄰元胞產生變形。當內凹角度θ=160°時，伴隨著材料的壓縮收縮，該結構材料中央?yún)^(qū)域產生剛化現(xiàn)象。當內凹角度θ=180°(單邊內凹)時，側邊變形相對困難，可以從后面的應力應變曲線看到單邊內凹的平臺應力相對三邊內凹的情況較大，局部變形帶集中在沖擊端與固定端，首先在沖擊端形成第一變形帶，進而在固定端形成第二變形帶，最后兩變形帶交替變形，直至完全壓縮密實，結構失效。

(a)v=20 m/s，θ=140°v=20 m/s，θ=160°v=20 m/s，θ=180°

(b)v=35 m/s，θ=140°v=35 m/s，θ=160°v=35 m/s，θ=180°

(c)v=70 m/s，θ=140°v=70 m/s，θ=160°v=70 m/s，θ=180°

(d)v=120 m/s，θ=140°v=120 m/s，θ=160°v=120 m/s，θ=180°

圖8 內凹三角形負泊松比材料在不同沖擊速度下的變形模式

Fig.8 Deformation modes of concave triangles material with negative Poisson’s ratio under different impact velocities

在中速沖擊(v=70 m/s)時，當內凹角度θ=140°時，首先第一層元胞左右胞壁向結構中央收縮，接下來逐層進行相同的收縮變形，直至固定端開始壓潰，形成以固定端為主的局部變形帶。當內凹角度θ=160°時，其變形特征與θ=140°時相似，但是并沒有明顯的局部變形帶，呈現(xiàn)整體變形。當內凹角度θ=180°(單邊內凹)時，首先在沖擊端形成第一局部變形帶，直至第三層元胞壓潰后在固定端形成第二局部變形帶，但是與35 m/s不同的是第一變形帶一直在持續(xù)壓縮，第二變形帶吸收的能量較少。

在高速沖擊(v=120 m/s)時，慣性效應進一步增強，變形帶集中在沖擊端，模型均呈現(xiàn)“I”型逐層壓潰變形模式。對比圖8中的(a)、(b)、(c)、(d)還可以發(fā)現(xiàn)：隨著側邊內凹程度的減小，頸縮現(xiàn)象更加明顯，并且隨著沖擊速度的增加，頸縮部位更靠近沖擊端。

圖9給出了不同模型側邊的變形模式。通過以上變形分析，我們可以看到側邊內凹程度以及沖擊速度的不同會對內凹三角形負泊松比材料的面內沖擊響應產生很大影響。隨著θ角的增大，橫向收縮越大，負泊松比效應越明顯，對于三邊內凹的模型，由于側邊內凹節(jié)點的存在，左右胞壁迅速向結構中央收縮，填充元胞內部孔隙，產生的負泊松比效應相對較弱；對于僅底邊內凹的模型，側邊相對不易變形，使受力傳至元胞兩側的小平臺(如圖9中虛線圓圈所示)，位于整體兩側的自由邊界元胞向中間聚合，進而帶動各元胞的側邊向中間聚合，負泊松比效應很明顯。

圖10中給出了內凹三角形負泊松比材料沖擊端剛性板的面內沖擊響應曲線。結果表明，內凹三角形負泊松比材料的動態(tài)響應規(guī)律與一般多胞材料相同，都經(jīng)歷了三個變形階段，即彈性區(qū)、平臺區(qū)、密實區(qū)。從曲線上看，同一沖擊速度下，各種內凹形式的平臺應力大致相同，但平臺應力隨沖擊速度的增加而增大。圖11中給出了內凹三角形負泊松比材料固定端剛性板的面內沖擊響應曲線。固定端的動態(tài)響應規(guī)律與沖擊端類似，但是存在起始一段時間應力值為零的應力滯后區(qū)域，θ角越大，即內凹程度越小，該區(qū)域越長，這一區(qū)域的形成主要因為沖擊端受沖擊后，元胞以很高的速率被壓縮，此時受力還沒有傳到固定端，同時，由于負泊松比效應，兩側材料向中間靠攏一同抵抗沖擊，這有利于汽車碰撞過程中降低對汽車的破壞程度。此外，同一沖擊速度下的平臺應力大致相同，但隨沖擊速度的增大而增大。

(a)v=20 m/s/，θ=140°v=20 m/s，θ=160°v=20 m/s，θ=180°

(b)v=35 m/s，θ=140°v=35 m/s，θ=160°v=35 m/s，θ=180°

(c)v=70 m/s，θ=140°v=70 m/s，θ=160°v=70 m/s，θ=180°

(d)v=120 m/s，θ=140°v=120 m/s，θ=160°v=120 m/s，θ=180°

圖9 內凹三角形負泊松比材料的側邊變形模式

Fig.9 Side deformation mode of concave triangles material with negative Poisson’s ratio configuration

(a) v=20 m/s

(b) v=35 m/s

(c) v=70 m/s

(d) v=120 m/s

圖10 內凹三角形負泊松比材料在沖擊端的名義應力應變曲線

Fig.10 Nominal stress-strain curves for concave triangles material with negative Poisson’s ratio configuration at the impact end

(a) v=20 m/s

(b) v=35 m/s

(c) v=70 m/s

(d) v=120 m/s

圖11 內凹三角形負泊松比材料在固定端的名義應力應變曲線

Fig.11 Nominal stress-strain curves for concave triangles material with negative Poisson’s ratio configuration at the supporting end

2.2 平臺應力與能量吸收特性的比較

對于輕質多胞材料，能量吸收率是衡量沖擊動力學性能的重要指標。多胞材料單位質量吸能量(比能量)[19]

(6)

(7)

式中，εcr為屈服應變，為名義壓縮應力達到第一個應力峰值時的名義應變；σ(ε)為隨名義應變而變化的名義應力。

在給定初始沖擊速度的前提下，多胞材料的平臺應力還可以表示為[20]

(8)

式中，v0為給定的初始沖擊速度。

基于式(7)，表2給出了不同沖擊速度下新型內凹三角形負泊松比材料在沖擊端的平臺應力值。可以看到，在沖擊速度較低(20 m/s)時，平臺應力隨θ角增加而增加。當沖擊速度提高時，各種內凹形式的平臺應力大致相同，隨θ角的變化沒有明顯的線性遞變規(guī)律，但是單邊內凹的平臺應力均大于三邊內凹的情況。

表2 不同沖擊速度下的平臺應力

基于式(6)，圖12給出了內凹三角形負泊松比材料單位質量吸收能量隨名義應變的關系。從表3中可以看到，在其他幾何參數(shù)與沖擊速度不變時，隨著內凹角度的增加，在沖擊速度(v=20 m/s)時，吸能量隨θ角的增加而增加，而沖擊速度進一步提高時，吸能量并未呈現(xiàn)線性遞變趨勢，其大小大致相等?；谌呁瑫r內凹的三角形結構，在其他幾何參數(shù)不變的情況下，內凹角度越大，相對密度越小，不利于吸能，但是內凹角度越大，側邊相對不易變形，負泊松比效應有所增強，有利于增加吸能量，所以吸能量與內凹角度之間不是明顯的遞變關系，而是一種相對復雜的波動關系，基于式(8)可以看到隨著初始沖擊速度的提高，相對密度的影響將被放大，因此速度較高時，θ角對平臺應力和吸能量的線性遞變規(guī)律越差?；趦H底邊內凹(θ=180°)的結構，可以看到其吸能量大于三邊內凹的情況。一方面，θ=180°時側邊變形相對困難；另一方面，θ=180°時負泊松比效應很明顯，橫向收縮較大，抵抗變形的能力較強，雖然相對密度稍有下降，但是總體作用體現(xiàn)為吸能量有較明顯的提升。這從一定程度上，也解釋了平臺應力的變化規(guī)律。另外，可以看出，隨著沖擊速度的增加，慣性效應增強，內凹三角形負泊松比材料表現(xiàn)出更強的能量吸收能力。

表3 不同沖擊速度下的吸能量

(a) v=20 m/s

(b) v=35 m/s

(c) v=70 m/s

(d) v=120 m/s

圖12 內凹三角形負泊松比材料的能量吸收特性

Fig.12 Energy absorption characteristics for concave triangles material with negative Poisson’s ratio configuration

2.3 與內凹六邊形負泊松比結構的吸能性比較

在同樣的壓縮高度L2下,針對內凹角度為150°的模型，分別對沖擊速度為20 m/s、70 m/s時，內凹三角形負泊松比結構與內凹六角形負泊松比結構的吸能性進行對比。

圖13中給出了進行對比的內凹六邊形負泊松比結構。圖14為內凹三角形負泊松比材料與內凹六角形負泊松比材料的能量吸收對比。從圖14中可以看出，兩種材料的吸能量大致相等，但是內凹三角形負泊松比材料的吸能行程相對較大，那么能量吸收制動過程就越柔和，被保護結構遭受的損傷就越小，由此可見，在一定條件下，內凹三角形負泊松比結構的吸能性也是很可觀的。

圖13 內凹六角形負泊松比結構

3 結 論

針對具有相同幾何參數(shù),但不同側邊內凹角度θ的新型內凹三角形負泊松比材料，研究了不同沖擊載荷作用下材料的面內動態(tài)沖擊特性，研究結果表明，內凹角度與沖擊速度對新型內凹三角形負泊松比材料的面內變形模式有較明顯的影響。

(1) 在沖擊端，沖擊速度較低時，平臺應力隨θ角的增加而增加，隨著沖擊速度的提高，平臺應力也隨之增大，平臺應力受θ角影響變弱，各種內凹形式的平臺應力大致相同，但單邊內凹的平臺應力均大于三邊內凹的情況。

圖14 內凹三角形負泊松比材料與內凹六角形負

(2) 在固定端，應力滯后區(qū)域較長，且該區(qū)域隨θ角的增大而增長，這有利于汽車碰撞過程中降低對汽車的破壞程度。

(3) 從吸能曲線來看，僅底邊內凹的模型(θ=180°)比吸能大于三邊內凹的情況，并隨著沖擊速度的提高，在名義應變一定的條件下，內凹三角形負泊松比材料表現(xiàn)更強的能量吸收能力。

(4) 從抗沖擊性來看，在元胞其他幾何參數(shù)不變的前提下，θ角對結構抗沖擊性能的影響不是單一的，并非越大越好，需根據(jù)具體工況進行最優(yōu)設計。同時，內凹邊越多，內凹程度越大，負泊松比效應并非越明顯。

(5) 針對內凹角度為150°的模型進行了沖擊速度為20 m/s、70 m/s的吸能比較，兩者的吸能量大致相等，相比于內凹六邊形負泊松比材料，內凹三角形負泊松比材料的吸能行程相對較大，被保護結構遭受的損傷就越小。由此可見，在一定條件下，內凹三角形負泊松比結構的吸能性也是很可觀的。