艾中玲

（桃源縣架橋鎮(zhèn)中心小學(xué)，湖南 常德 415700）

“三維”是指聯(lián)想思維、求同思維和求異思維。聯(lián)想思維一般是由于某人或者某事而引起的相關(guān)思考。求同思維（也叫集中思維）,是一種有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式。求異思維（也叫發(fā)散思維）,是指大腦在思維時呈現(xiàn)的一種擴散狀態(tài)的思維模式[1]。

我們發(fā)現(xiàn)，在課堂上許多學(xué)生并未真正學(xué)懂數(shù)學(xué)的原因在于學(xué)生不懂得構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決實際數(shù)學(xué)問題[2]。所謂數(shù)學(xué)模型是指現(xiàn)實世界的研究對象,運用數(shù)學(xué)工具,通過數(shù)學(xué)語言表述出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種基本概念,都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實原型作為背景而抽象出來的。各種數(shù)學(xué)公式、定理、計算方法、理論體系等,都是具體的數(shù)學(xué)模型。通過對問題分析轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)抽象、模型構(gòu)建、求解檢驗使問題獲得解決的方法稱為數(shù)學(xué)建模法，而只要建模正確，運用模型解答問題的過程縝密細致，一般都可使問題迎刃而解。

現(xiàn)在，根據(jù)元認知理論對這一思維過程進行認識，并通過探討學(xué)生的思維活動,總結(jié)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“六步思維推進法”：

實際問題→分析抽象→選定模型→建立模型→數(shù)學(xué)問題及數(shù)學(xué)解→實際解及所用技術(shù)→檢驗。

在以上“六步”的思維推進中，雖然每步不是嚴格可劃分的，但每一步或每兩步之間都隱藏著、交織著復(fù)雜的思維活動，而且所需的思維方式又不盡相同，所以，我們課題組對這樣的高級思維活動進行了仔細的觀察、思考和研究，初步歸納如下：

在“分析抽象→選定模型→建立模型”過程中，聯(lián)想思維是先導(dǎo)，也占主導(dǎo)地位。

當遇到具體問題時，對問題進行分析、抽象，將其數(shù)學(xué)化，聯(lián)系所學(xué)的知識、聯(lián)想類似的其他問題、聯(lián)想已用過的模型及其名稱、聯(lián)想到的模型與此問題有無相關(guān)性等等，通過豐富的聯(lián)想，就可以把記憶中儲存的相關(guān)信息聯(lián)系起來，涌現(xiàn)出可能的多種模型，最終得出是否建模及建立什么模型的結(jié)論。在這個思維過程中可能要完成多次聯(lián)想，而由于問題的多樣化，聯(lián)想的方法也不同，主要有接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、對比聯(lián)想等。舉例來說：

（圖1）

（圖2）

在人教版小學(xué)五年級上冊第6單元，學(xué)習(xí)多邊形的面積，我們選用了如下例子考察學(xué)生的思考過程，可以運用哪些思維方法。如圖1，正方形A1B1C1D1是以正方形ABCD各邊中點為頂點的正方形，正方形A2B2C2D2是以正方形A1B1C1D1各邊中點為頂點的正方形...，依此下去，這些小正方形中能否有一個正方形的面積是大正方形ABCD的十分之一呢？為什么？

這首先需要由特殊到一般作接近聯(lián)想。在解答前，讓學(xué)生思考：可能聯(lián)想到的知識點有哪些呢？哪些知識點對解決問題很有幫助？這是啟發(fā)學(xué)生的聯(lián)想思維，對具體問題是否可以建模、建立怎樣的模型的思考。當學(xué)生回答出：正方形的面積、三角形的面積、分數(shù)知識、圖形之間面積的關(guān)系、圖形的分割、平移、翻轉(zhuǎn)后,進一步啟發(fā)他們聯(lián)想到同一正方形內(nèi)的4個角的三角形與正方形面積的關(guān)系模型：聯(lián)想到圖形的分割就可得出此模型，如圖2所示陰影部分。從而得出由外而內(nèi)正方形面積的關(guān)系模型：再推出正方形面積遞減關(guān)系規(guī)律、建立分數(shù)遞減序列模型，即：等。通過這些聯(lián)想就基本完成了①、②步，接下來就要對其中的模型進行篩選，以便真正建立起有利于解決問題的模型，即第③步。而這一步的實現(xiàn)則可能是相似聯(lián)想和對比聯(lián)想的過程，也可能滲透求同和求異思維。

在“建立模型→數(shù)學(xué)問題及數(shù)學(xué)解→實際解及所用技術(shù)”過程中,先求同，后求異。

在思考“建立什么模型，如何建模？”時，我們需要排除干擾，聯(lián)系因果關(guān)系，將知識逐漸“聚焦”，方向不斷明朗，這就是前面所述“有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式”，即求同思維。對于確定選用哪個模型及建模方法的思考，常常需要先思考常規(guī)建模方法，常規(guī)方法不能解決問題時，考慮建立別具一格的模型，也許能快速、美妙、恰當并富有創(chuàng)新性地解決問題，特別是在著手解決“疑難、高難”問題過程中更是這樣，即運用求異思維，引伸出類似或相關(guān)的更多、更好、更有效、更妙趣橫生的模型以解決復(fù)雜問題。

對于上面的例子，有那么多的模型，選用哪一個呢？或說哪一個對解決問題最有用呢？我們要能排除多個模型的干擾，優(yōu)選出一兩個，就要分析清楚問題的因果關(guān)系，將條件和結(jié)果聯(lián)系起來，這樣就會排除掉其他，而得到最有用的模型：由外而內(nèi)正方形面積關(guān)系模型：進一步推出外，正方形面積遞減關(guān)系規(guī)律、分數(shù)遞減序列模型：在這一分數(shù)序列中，會有出現(xiàn)嗎？沒有！學(xué)生一下就豁然開朗了。這就是具體問題的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)解：原來，原本的問題就是要在分數(shù)遞減序列中看是否存在這個分數(shù)。

這里，求同思維就解決了此問題，但我們的學(xué)生思維活躍，產(chǎn)生許多求異思維的模型，并解決了問題。例如就照圖2那樣，一直用三角形分割下去，每產(chǎn)生一個正方形就分成四個三角形，依次找出了大正方形與小正方形中的三角形個數(shù)關(guān)系、大小關(guān)系，等等。還有更多奇異的想法，都相應(yīng)解決了問題。這就是“后求異”思維的應(yīng)用。