張宸畋

（重慶市第十一中學(xué)校，重慶 400000）

數(shù)學(xué)(mathematics)，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門科目，在某個(gè)方面來說它是屬于一種形式科學(xué)[1]。其中的幾何概型是一種概率的模型。在這個(gè)模型中，隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無限個(gè)的，并且每個(gè)基本結(jié)果的可能性都是相同的。幾何概率的學(xué)習(xí)能夠促使我們更好地解決生活中遇到的一些問題，特別是在大數(shù)據(jù)信息化快速發(fā)展的時(shí)代，數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)代信息技術(shù)的有效結(jié)合，并借助使用計(jì)算機(jī)或云計(jì)算進(jìn)行隨機(jī)模擬，可以得到我們想要的結(jié)果。同時(shí)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也為高校學(xué)生繼續(xù)研究概率論和計(jì)量理論奠定了基礎(chǔ)。

一、幾何概型的定義和特點(diǎn)

（一）定義

如果在我們的生活中，每件事情發(fā)生的概率僅與該事件本身的屬性（如面積、長(zhǎng)度、重量）等因素成正比，則這種概率模型我們稱之為幾何概率模型[1]。

例如，一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們將了解每個(gè)基本事件從特定區(qū)域幾何隨機(jī)挑選的，在每一個(gè)點(diǎn)被送往的機(jī)會(huì)是相同的，和一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生僅僅理解為到達(dá)指定區(qū)域中的點(diǎn)。該區(qū)域可以是一條線段，也可以是平面圖形，更可能是三維圖形，這樣處理隨機(jī)的試驗(yàn)的方法，稱為幾何概型。

幾何概型與古典概型相反，是將等可能事件的概念從有限個(gè)向無限個(gè)的蔓延，幾何概型與古典概型的區(qū)別在于有無限個(gè)的試驗(yàn)結(jié)果。

（二）特點(diǎn)

幾何輪廓有兩個(gè)主要特征。一個(gè)是無窮大，也就是說，實(shí)驗(yàn)中可能會(huì)出現(xiàn)無限多的基本事件（結(jié)果）。第二種可能性是每個(gè)基本事件都有相同的發(fā)生概率。

二、幾何概型在生活中應(yīng)用廣泛

在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)學(xué)無處不在，而幾何概型也廣泛應(yīng)用于社會(huì)的方方面面，農(nóng)業(yè)和工業(yè)生產(chǎn)、體育和科技活動(dòng)、人們的日常生活等方面都能夠見到幾何概型的身影。

（一）簡(jiǎn)單的幾何概型的應(yīng)用

1.剪彩活動(dòng)

剪彩的要求是把3米長(zhǎng)的彩段剪成兩段，每段不能少于1米，那么能夠達(dá)到這個(gè)要求的概率是多少呢？為了研究方便，我們用長(zhǎng)度為3米的線段AB來代替彩段，設(shè)剪斷點(diǎn)為點(diǎn)P，那么點(diǎn)P落在線段AB上每個(gè)點(diǎn)的可能性都是一樣的，根據(jù)剪彩要求點(diǎn)P離A點(diǎn)的距離和點(diǎn)P到B點(diǎn)的距離都不小于1米，首先我們可以在線段AB上隨機(jī)選兩點(diǎn)，分別為C點(diǎn)和D點(diǎn)，使得線段AC和線段DB的長(zhǎng)度都為1米，這樣P點(diǎn)只能落在CD區(qū)間上，記“彩段被剪成兩段，每段長(zhǎng)度不小于1米”為事件B，那么事件B的概率就是線段CD的長(zhǎng)度與線段AB長(zhǎng)度之比，也就是1/3。從這個(gè)事件，我們看出事件的概率是部分長(zhǎng)度與整條長(zhǎng)度之比[2]。這個(gè)概率與幾何度量有關(guān)，這個(gè)就是幾何概型。

2.公司選址

資料顯示，在城市ABCD中，是一個(gè)30m×40m的矩形區(qū)域，而黃金地區(qū)域是以點(diǎn)A為圓心，20m為半徑的四分之一圓區(qū)域。那么公司選址恰好選在黃金地段的概率有多大呢？我們把公司看作一個(gè)點(diǎn)M，那么點(diǎn)M落在整個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)的可能性都是相等的，我們記公司選址恰好選在黃金地段為事件B。從這個(gè)問題我們可以看出，事件的概率應(yīng)該是部分區(qū)域的面積與整個(gè)區(qū)域的面積之比，而這個(gè)部分區(qū)域的面積恰好是四分之一圓面積，而整個(gè)面積為矩形面積，這個(gè)計(jì)算結(jié)果是π/12。

（二）復(fù)雜的幾何概型的應(yīng)用

1.約會(huì)馬云

假如一個(gè)老板與馬云約在晚上8點(diǎn)到9點(diǎn)之間會(huì)面，先到者等候另一個(gè)人20分鐘后可以離開，那么這位老板和馬云能會(huì)面的概率是多大呢？假設(shè)到達(dá)的時(shí)間分別為8點(diǎn)x分和8點(diǎn)y分，那么x、y必須滿足大于等于0，且小于等于60。所以老板和馬云兩人能會(huì)面的充要條件是∣x-y∣≤20。以有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，那么滿足條件的區(qū)域與整個(gè)矩形面積之比就是兩人會(huì)面的概率。

對(duì)于復(fù)雜的二維幾何概型，我們解決過程中可以做到以下幾點(diǎn)：

（1）構(gòu)造變量

（2）集合表示

（3）作出區(qū)域

（4）計(jì)算求解

2.在獎(jiǎng)品的誘惑面前要冷靜

現(xiàn)實(shí)生活中我們經(jīng)常看到這樣的場(chǎng)景，比如在一所小學(xué)的入口處設(shè)置了一個(gè)游戲（如圖），以吸引許多上學(xué)和放學(xué)的小學(xué)生過來消費(fèi)。具體游戲規(guī)則是這樣的，小學(xué)生每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤就要付5角。如果指針與陰影重合，則獎(jiǎng)勵(lì)5角；如果連續(xù)重合2次，則獎(jiǎng)勵(lì)鉛筆盒為1個(gè)；如果重復(fù)3次，則獎(jiǎng)勵(lì)文具盒1個(gè)；如果重復(fù)4次，則獎(jiǎng)勵(lì)游戲手柄一臺(tái)。許多學(xué)生被高價(jià)值的獎(jiǎng)品所吸引并參與到這個(gè)游戲中，但很少有人獲得獎(jiǎng)品。為什么？

這個(gè)問題我們可以用幾何概率來解釋。由于指針位于圓的陰影部分，圓周周長(zhǎng)為100cm，圓周上陰影部分的每條弧長(zhǎng)為2cm。指針的幾何形狀和對(duì)稱性知道指針落在陰影上的概率是：

通過公式計(jì)算，同學(xué)玩一次游戲得到獎(jiǎng)品的概率為0.08.而且每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤都是屬于獨(dú)立的事件。A?B 表示事件， A 與B 表示同時(shí)發(fā)生，則P(A ?B)= P(A)? P(B)，設(shè)Ai={指針與陰影連續(xù)重合i次}，則：

從計(jì)算結(jié)果可以看出，贏一個(gè)獎(jiǎng)品的概率很小，得到一個(gè)鉛筆盒的概率只有0.0064，所以如果你想得到一個(gè)游戲機(jī)，這幾乎是一個(gè)幻想。根據(jù)小概率原則，一場(chǎng)比賽只贏一次幾乎是不可能的，所以，這是一個(gè)騙局。

三、結(jié)束語

高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著廣泛的實(shí)用背景，我們學(xué)習(xí)幾何概型，理解幾何概型，不僅僅是為了學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)計(jì)算方法，更是為了學(xué)以致用，把握一種生活技能，培養(yǎng)一種生活態(tài)度，學(xué)會(huì)一種思維方式，讓自己生活得更理智、更輕松、更成功！