屈召貴

(四川旅游學(xué)院 信息與工程學(xué)院，四川 成都 610100)

0 引言

隨著半導(dǎo)體集成電路的發(fā)展，以及機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能技術(shù)的不斷進(jìn)步，數(shù)字信號(hào)處理在通信、生物、醫(yī)療、工業(yè)控制、雷達(dá)聲納、能源開采等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。該門課程涉及的理論和技術(shù)已成為電子信息、地質(zhì)勘探、生物醫(yī)療等諸多學(xué)科領(lǐng)域工程技術(shù)人員必掌握的知識(shí)。數(shù)字信號(hào)處理課程作為電類專業(yè)的一門必修課，其重要性不言而喻。其中數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)在信息處理領(lǐng)域應(yīng)用普遍，由于其涉及的知識(shí)面較多，理論知識(shí)復(fù)雜，內(nèi)容抽象，難于理解[1-6]，因此相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí)感到困難。本文基于此提出FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)基本原理、設(shè)計(jì)方法和應(yīng)用MATLAB進(jìn)行實(shí)現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，通過可視化、可聽化的效果，讓學(xué)生掌握FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。

1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的原理分析

1.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的原理分析

一般來說，理想頻響都為分段恒定的，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長(zhǎng)序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長(zhǎng)的，問題是怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去近似無限長(zhǎng)的hd(n)。最直接簡(jiǎn)單的辦法是直接截取其一段來代替。這種截取可以形象地想像為h(n)就好像是通過一個(gè)“窗口”所看到的一段hd(n)，因此，h(n)也可表示為hd(n)和一個(gè)“窗函數(shù)”w(n)的乘積，即：h(n)=w(n)hd(n)。

在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN(n)，當(dāng)然為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，它還可以有其他的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)hd(n)作一定的加權(quán)處理。如圖1所示，對(duì)于理想數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)而言，幅度較大的樣點(diǎn)都集中在對(duì)稱中心附近，這些樣點(diǎn)將對(duì)濾波器的頻率響應(yīng)起到主要作用。如果只允許選擇有限個(gè)樣點(diǎn)作為一個(gè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，當(dāng)然在對(duì)稱中心周圍對(duì)稱選擇得到的對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)與理想濾波器的頻率響應(yīng)最為近似，而且允許取的點(diǎn)數(shù)越多越相近，這是窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的重要思想[10-14]。

圖1 理想數(shù)字濾波器和窗函數(shù)的頻響

1.2 常用的窗函數(shù)及幅頻特性參數(shù)分析

窗函數(shù)的傅式變換W(ejω)的主瓣決定了H(ejω)的過渡帶寬。W(ejω)的旁瓣大小和多少?zèng)Q定了H(ejω)在通帶和阻帶范圍內(nèi)的波動(dòng)幅度。常用的幾種窗函數(shù)有：

矩形窗：

w(n)=RN(n)

Hanning窗：

Hamming窗：

Blackmen窗：

Kaiser窗：

式中Io(x)為零階貝塞爾函數(shù)。

常用的幾種窗函數(shù)幅頻特性參數(shù)如表1所示。

表1 常用窗函數(shù)幅頻特性參數(shù)

2 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟

一般擬設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器性能指標(biāo)通常有通帶截頻ωp，阻帶截頻ωs，通帶衰耗Ap，阻帶衰耗As等參數(shù)。大多數(shù)情況下頻率參數(shù)是用模擬值給出，如采樣頻率Fs，通帶截頻fp，阻帶截頻fs。可通過這些技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出符合線性相位要求的單位脈沖響應(yīng)hn或H(k)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的功能。

2.1 確定窗函數(shù)w(n)的N個(gè)樣點(diǎn)值

(1)選定窗函數(shù)的類型

根據(jù)擬設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶截頻ωs處的衰減小于阻帶衰耗As，選定合適的窗函數(shù)，再選擇過渡帶較窄(越接近理想頻響)的窗函數(shù)。通過查表1，最終確定要選用的窗函數(shù)。

(2)計(jì)算窗函數(shù)的寬度N

根據(jù)給定的參數(shù)ωp、ωs計(jì)算過渡帶ΔB，如式(1)所示:

ΔB=ωs-ωp

(1)

由表1可知，各窗函數(shù)的過渡帶為mπ/N，因此有關(guān)系式(2)、(3)：

(2)

(3)

上述計(jì)算如果給出的是模擬參數(shù)，應(yīng)轉(zhuǎn)換為數(shù)字參數(shù)代入計(jì)算。如果擬設(shè)計(jì)的濾波器為高通、低通濾波器，則可直接用式(1)和(3)計(jì)算窗函數(shù)的寬度N。如果是帶通濾波器和帶阻濾波器，由于其過渡帶有兩個(gè)，因此選擇較窄的過渡帶ΔB代入式(3)計(jì)算，若計(jì)算的N為非整數(shù)時(shí)，需要進(jìn)行向上取整運(yùn)算，以使設(shè)計(jì)出的濾波器在兩個(gè)過渡帶都能滿足要求。

(3)計(jì)算w(n)的N個(gè)樣點(diǎn)值

將N值代入選定的窗函數(shù)表達(dá)式，計(jì)算出w(n)的N個(gè)樣點(diǎn)值。通常用MATLAB提供的窗函數(shù)來確定。各種窗的計(jì)算如表2所示。

表2 MATLAB窗函數(shù)計(jì)算w(n)

2.2 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)計(jì)算hd(n)

hd(n)為理想濾波器的頻響，根據(jù)擬設(shè)計(jì)的濾波器類型計(jì)算Hd(ejωτ)。滿足線性相位條件的系統(tǒng)輸入序列x(n)和輸出序列y(n)之間的關(guān)系如式(4)所示：

y(n)=Ax(n-τ)

(4)

其z變換如式(5)所示：

Y(z)=Az-τX(z)

(5)

令z=ejω，則有式(6)：

H(ejω)=H(ω)e-jωτ

(6)

寫成幅度和相位函數(shù)，如式(7)所示：

Hd(ejω)=H(ω)θ(ω)

(7)

式中θ(ω)=-ωτ，τ=(N-1)/2。

理想濾波器的3 dB截頻ωc可近似位于過渡帶中心，即有式(8)：

(8)

低通濾波器的hd(n)的計(jì)算如式(9)所示，其中，-ωc<ω<ωc，幅度為“1”，其他為“0”。

(9)

由同樣的方法可設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻濾波器的理想頻率響應(yīng)hd(n)。

2.3 根據(jù)hd(n)和w(n)計(jì)算h(n)

由式(9)可知hd(n)為無限長(zhǎng)，實(shí)際應(yīng)用中需加窗截?cái)?，變?yōu)橛邢揲L(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)。其變換關(guān)系如式(10)所示：

h(n)=hd(n)·w(n)

(10)

如低通濾波器3 dB截頻為0.3π，N取33，用海明窗截?cái)嗟谋磉_(dá)式如式(11)所示：

(11)

2.4 驗(yàn)證設(shè)計(jì)的濾波器

根據(jù)求解的h(n)計(jì)算H(ejω)，通過MATLAB程序分析其幅頻特性，主要驗(yàn)證阻帶衰耗是否滿足要求，若不滿足要求，可適當(dāng)改變窗函數(shù)形式或長(zhǎng)度N，重復(fù)上述設(shè)計(jì)過程，以得到滿意的結(jié)果。

3 窗函數(shù)法FIR數(shù)字濾波器實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)

3.1 實(shí)驗(yàn)任務(wù)要求

設(shè)有一段受干擾的音頻信號(hào)，其有用信號(hào)頻率在1.5 kHz以內(nèi)，干擾信號(hào)的頻率為8 kHz。要求設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器提取有用信號(hào)，將干擾信號(hào)衰減抑制在50 dB以內(nèi)，通帶衰耗控制在1 dB以內(nèi)。

3.2 濾波器設(shè)計(jì)

由任務(wù)要求可知，濾波器應(yīng)設(shè)計(jì)為低通濾波器，其指標(biāo)要求：通帶截頻fp為1.5 kHz，通帶衰耗Ap為1 dB，阻帶截頻fs為3 kHz，阻帶衰耗As為50 dB。采樣頻率Fs至少應(yīng)為16 kHz。

(1)求數(shù)字角頻率?？捎?jì)算數(shù)字濾波器的通帶數(shù)字截頻ωp為0.187 5π，阻帶數(shù)字截頻ωs為0.375π。

(2)窗函數(shù)類型。由于阻帶衰耗為50 dB，通過查表1可知，選用海明窗最為合適。

(3)計(jì)算窗函數(shù)的寬度N。由式(3)可計(jì)算，窗函數(shù)的寬度N為43，滿足第一類線性相位條件。

(4)計(jì)算hd(n)。由式(8)可知，ωc=0.281 25π，τ=21。再根據(jù)式(9)，可求出hd(n),如式(12)所式:

(12)

(5)確定FIR濾波器的h(n)。由式(10)可求出h(n)，如式(13)所示：

(13)

3.3 MATLAB驗(yàn)證

用MATLAB分別畫出用于實(shí)驗(yàn)的原始信號(hào)的頻譜圖(如圖2所示，在8 kHz存在干擾信號(hào))、設(shè)計(jì)的線性相位FIR低通濾波器幅頻特性圖(如圖3所示)、濾波后的信號(hào)頻譜圖(如圖4所示)。

圖2 原如信號(hào)頻譜圖

圖3 線性相位FIR低通濾波器幅頻特性

圖4 濾波后的頻譜圖

由圖3可知，設(shè)計(jì)的濾波器阻帶衰減在50 dB以下。由圖4可知，8 kHz的干擾信號(hào)成功被濾出。因此設(shè)計(jì)濾波器符合設(shè)計(jì)要求。通過MATLAB的音頻播放功能檢驗(yàn)濾出后的信息，明顯無干擾聲音。

4 結(jié)論

窗函數(shù)法是FIR數(shù)字濾波器常用的設(shè)計(jì)方法，易于實(shí)現(xiàn)線性相位。其設(shè)計(jì)思路是根據(jù)目標(biāo)濾波器的理想模型，通過加窗或截取的方法得到滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的濾波器，是一種直接逼近方式，逼近程度取決于窗的長(zhǎng)度和窗的類型。實(shí)驗(yàn)以離散傅里葉變換理論為基礎(chǔ)，以MATLAB為工具，從視覺和聽覺等方面直觀感受數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)踐表明大大提高了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)效果。