陸青

[摘? 要] 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在中考中通常以綜合題的形式出現(xiàn)，深刻領(lǐng)悟考題的突破思路，掌握解題的具體策略是提高解題效率的關(guān)鍵，文章以一道二次函數(shù)綜合題為題，剖析解題思路，總結(jié)解題方法，提出相應(yīng)的解題建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);考題;解析式;最值;存在性

考題呈現(xiàn)

考題? 如圖1所示，已知直線l的解析式為y=-x+3，與坐標(biāo)系的x軸和y軸分別交于點(diǎn)B和C，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B和C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），回答下列問(wèn)題.

（1）試求拋物線的解析式;

（2）如果點(diǎn)M是拋物線x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸，與直線BC相交于點(diǎn)N，試求線段MN的最大值;

（3）在問(wèn)題（2）所述條件成立的情況下，分析線段MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBN是以BN為腰的等腰三角形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的具體坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路突破

本題目主要考查二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，分為三個(gè)小問(wèn)，可以依據(jù)題目分三步開(kāi)展解題突破，下面給出每一步的思路分析及對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)解.

第一步：巧構(gòu)方程組，突破解析式

該問(wèn)求解拋物線的解析式，一般的思路是先設(shè)出拋物線的解析式，然后依據(jù)已知條件，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，從而構(gòu)建方程組，通過(guò)解方程組的方式求得解析式的系數(shù). 審題可知：已知拋物線上點(diǎn)A的坐標(biāo)，因此還需要求得其他兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能構(gòu)建求解全部系數(shù)的三元一次方程組. 分析可知直線l：y=-x+3與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，并且兩個(gè)交點(diǎn)分別位于坐標(biāo)系的x軸和y軸上，因此可以通過(guò)令x=0和y=0的方式代入直線方程來(lái)求解點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而完成三元一次方程組的構(gòu)建.

（1）解：對(duì)于直線l的解析式y(tǒng)=-x+3，令x=0，解得y=3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），再令y=0，解得x=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）. 因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)均在拋物線上，故必然滿足解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，分別將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，可得三元一次方程組a+b+c=0，

9a+3b+c=0，

c=3， 解得a=1，b=-4，c=3，所以拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

第二步：構(gòu)建解析方程，突破線段最值

該問(wèn)求動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的線段最值，在初中階段，利用所學(xué)知識(shí)求解最值問(wèn)題有以下幾種方式：①利用非負(fù)性求最值;②利用函數(shù)的單調(diào)性求最值;③利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)來(lái)求解最值. 在該問(wèn)中，我們已知MN∥y軸，其隱含深意是點(diǎn)M和N的橫坐標(biāo)值是一致的，即x=x. 因需求線段MN的最大值，就可以將MN的長(zhǎng)度直接表示為點(diǎn)N的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，即MN=y-y. 整理后發(fā)現(xiàn)該式為一個(gè)二次函數(shù)，因此可以通過(guò)分析二次函數(shù)性質(zhì)的方式獲得最值的情形. 因此該思路構(gòu)建的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并構(gòu)建與之關(guān)聯(lián)的點(diǎn)N的坐標(biāo);二是確定坐標(biāo)關(guān)鍵系數(shù)的取值范圍，為后續(xù)二次函數(shù)的值域分析作鋪墊.

（2）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-4m+3），又因直線BC的解析式為y=-x+3，MN∥y軸，x=x，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m+3），點(diǎn)B和C位于拋物線上，點(diǎn)M為拋物線x軸下方一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以m的取值范圍為1

MN

=-m+3-（m2-4m+3）= -

m-2+，該式為MN關(guān)于m的開(kāi)口向下的拋物線，分析可知當(dāng)m=時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取得最大值，且最大值為.

第三步：分類探討情形，突破存在性問(wèn)題

該小問(wèn)為本考題的難度最大之問(wèn)，具有一定的拓展性，屬于壓軸題中常見(jiàn)的“存在性問(wèn)題”，對(duì)于該問(wèn)我們可以采用如下處理方式：首先假設(shè)存在這樣一點(diǎn)使得各條件均滿足，然后利用該條件去驗(yàn)證，如果能求出，就表明假設(shè)成立，如果有矛盾，則表明不存在，假設(shè)錯(cuò)誤.

在第（2）小問(wèn)條件成立的情形下可以確定點(diǎn)N和M的坐標(biāo)，問(wèn)題分析在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)數(shù)值，從而可假設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，題目要求使得△PBN是以BN為腰的等腰三角形，其中隱含著等腰三角形頂點(diǎn)討論問(wèn)題，即存在頂點(diǎn)為B和N兩種情形，可采用分類討論的方式加以確認(rèn)分析.

知識(shí)歸納

上述是典型的以直線與拋物線相綜合的函數(shù)問(wèn)題，考題的三個(gè)小問(wèn)分別涉及函數(shù)解析式的求解、線段的最值分析以及函數(shù)問(wèn)題中等腰三角形存在性的討論. 其中的分析思路和解題方法具有一定的指導(dǎo)意義，下面對(duì)其總結(jié)歸納.

1. 確定二次函數(shù)的解析式

總體來(lái)看，可以將考題第（1）問(wèn)歸結(jié)為利用一般式求解二次函數(shù)的解析式，其本質(zhì)還是求解解析式中的待定系數(shù)，通常情況可以按照如下步驟進(jìn)行：首先將一般式設(shè)為y=ax2+bx+c，其中a≠0，待定系數(shù)的個(gè)數(shù)決定了需要求得曲線上點(diǎn)的個(gè)數(shù);然后將點(diǎn)的坐標(biāo)或?qū)?yīng)值代入上述一般式，從而構(gòu)建出相應(yīng)的方程組，代入兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)建的就是二元一次方程組，代入三個(gè)點(diǎn)就是三元一次方程組;獲得相應(yīng)的系數(shù)值后，只需要將其代入所設(shè)一般式即可獲得二次函數(shù)的解析式.

2. 分析二次函數(shù)中的最值

函數(shù)中的最值問(wèn)題具有多種類型，求線段的最值只是其中最常見(jiàn)的一種，上述第（2）問(wèn)所采用的是構(gòu)造函數(shù)的方法，即構(gòu)造關(guān)于線段的函數(shù)模型. 我們知道數(shù)學(xué)上的函數(shù)模型是一種強(qiáng)大的解題工具，其性質(zhì)不僅可以分析單調(diào)性問(wèn)題，繪制相應(yīng)的圖像，還可以求解最值問(wèn)題. 在解題時(shí)我們可以利用條件構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)模型，然后研究函數(shù)模型的性質(zhì)，包括其單調(diào)性和值域，從而獲得定義域下的合理取值. 而另一種分析最值的方法為線段公理法，該方法相對(duì)較為簡(jiǎn)潔，即利用公理“兩定點(diǎn)之間，線段最短”或公理“垂線段最短”，解題時(shí)只需要基于相應(yīng)的幾何知識(shí)直接求解滿足情形的最值點(diǎn)即可.

3. 討論函數(shù)與幾何存在性

考題的第（3）問(wèn)求解二次函數(shù)中等腰三角形存在性的問(wèn)題，屬于函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合問(wèn)題. 求解該類問(wèn)題最為有效的策略是構(gòu)造方程，同時(shí)輔助構(gòu)圖的方式，該策略的特點(diǎn)是問(wèn)題分析直觀明了，計(jì)算討論精確簡(jiǎn)捷. 函數(shù)中等腰三角形存在性問(wèn)題需首要分析的是三角形的等腰情形，確定等長(zhǎng)線段，對(duì)于不明情形可以采用分類討論的方式，即假設(shè)其頂點(diǎn)，借助尺規(guī)作圖， 分別確定滿足情形的底邊上的點(diǎn)，而在求解點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)可以考慮結(jié)合等腰三角形腰相等的性質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)的方程，通過(guò)解方程求值.

教學(xué)建議

1. 關(guān)注考題的思路講解

中考對(duì)于二次函數(shù)的考查通常以綜合題的形式出現(xiàn)，相對(duì)較為復(fù)雜，在解題時(shí)除了需要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要掌握一定的解題技巧和思路. 如上述考題第（2）問(wèn)分析線段長(zhǎng)的最值，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)建關(guān)于線段長(zhǎng)的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)加以分析. 而第（3）問(wèn)分析等腰三角形存在性的問(wèn)題，采用分類討論的方式，首先確定等腰三角形的頂點(diǎn)，然后基于其性質(zhì)構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)方程，通過(guò)解方程求解. 因此，教師應(yīng)將解題思路的講解作為重要任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生明晰解題思路，掌握具體的解題步驟，形成自我的解題策略.

2. 滲透考題的解題思想

初中數(shù)學(xué)的解題分析實(shí)際上是在解題思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的，即運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想來(lái)完成解題思路的構(gòu)建. 如上述考題在解題時(shí)除數(shù)形結(jié)合思想外，還運(yùn)用了方程思想、構(gòu)建思想. 即運(yùn)用思想方法，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)分析模型的性質(zhì)來(lái)達(dá)到突破解題的目的. 考慮到數(shù)學(xué)的思想方法理解上較為抽象，在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)借助具體的內(nèi)容來(lái)逐步滲透，引導(dǎo)學(xué)生掌握運(yùn)用思想方法解題的技巧和步驟，深刻體會(huì)思想方法在解題中的便利性，逐步提升學(xué)生的解題思維，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的發(fā)展.