徐芬

[摘? 要] 教師對“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)的高度. 宏觀角度講，這種理解水平體現(xiàn)在教者對章、單元、一節(jié)課的整體設(shè)計上;從微觀角度講，這種理解水平表現(xiàn)在教師對例題、練習(xí)等具體問題的分析引導(dǎo)上. 文章從微觀角度，以代數(shù)中常見的兩個計算題和兩個應(yīng)用題為例，探討教師應(yīng)該怎樣進(jìn)行深度理解，才能帶領(lǐng)學(xué)生觸及問題本質(zhì)，提升學(xué)生的學(xué)科能力.

[關(guān)鍵詞] 深度理解;問題本質(zhì);數(shù)學(xué)學(xué)科能力

章建躍博士提出，“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”是教師專業(yè)發(fā)展的基石. 章博士特別指出，“教師下功夫于中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其結(jié)構(gòu)體系的理解. ”筆者多年的教學(xué)體會是，教師的這種理解水平，從宏觀角度講，體現(xiàn)在教者對章、單元、一節(jié)課的整體設(shè)計上;從微觀角度講，表現(xiàn)在教師對例題、練習(xí)等具體問題的分析引導(dǎo)上. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要從關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果轉(zhuǎn)變到不僅關(guān)注結(jié)果而且關(guān)注學(xué)習(xí)過程、方法、態(tài)度與價值觀. 當(dāng)教師真正關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程時就會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力的“缺陷”折射出的是教師教學(xué)時未能達(dá)到應(yīng)有的高度，未能做到深度理解、揭示本質(zhì).

案例1

1. 問題呈現(xiàn)

八年級的學(xué)生學(xué)習(xí)“分式”一章時，做了這樣一道練習(xí)題：

先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題.

=1-，=-，=-…

（1）計算：++++=__________;

（2）探究：+++…+=__________（用含有n的式子表示）;

（3）若+++…+=，求n的值.

對全年級近504名同學(xué)的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)85%的同學(xué)答對了第（1）題和第（2）題，3個題目全部正確的比例不到65%，即超過30%的同學(xué)沒有完成第（3）題. 筆者與答對了第（3）題的部分同學(xué)交流，問他們當(dāng)時是怎樣想到的，基本是因?yàn)樵谛W(xué)學(xué)習(xí)時老師講過此問題，加上（1）（2）兩題做了鋪墊. 不到65%的正確率與命題時預(yù)設(shè)的75%的正確率相差較大.

2. 成因分析

從學(xué)生的答題情況來看，有近15%的同學(xué)得了0分，這部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相當(dāng)令人擔(dān)憂，其中不乏棄學(xué)的學(xué)生. 近三分之一的學(xué)生錯解了第（3）題. 錯解大部分是這種情形：-+-+-+…+-=. 從學(xué)生作答的過程可以看出，學(xué)生受到（1）（2）兩小題的啟發(fā)而想到了兩分?jǐn)?shù)相減，但是沒有注意到變形后所得到的式子是原式的2倍. 筆者分析產(chǎn)生這一錯誤的原因，認(rèn)為有部分學(xué)生是非智力因素的問題，比如粗心，觀察得不仔細(xì)，沒能發(fā)現(xiàn)問題與問題之間的差異，學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，沒有進(jìn)行驗(yàn)算等. 筆者認(rèn)為，學(xué)生解此題時未能注意到“差別”，沒能正確“遷移”，其背后的原因是學(xué)生分析問題和解決問題的能力未達(dá)到應(yīng)有的水平. 那么，分析錯誤成因能給我們的課堂教學(xué)帶來什么樣的思考呢？

3. 引發(fā)思考

陜西師范大學(xué)羅增儒教授在解讀與分析“教學(xué)應(yīng)是一種學(xué)術(shù)活動”時說：“教學(xué)既是科學(xué)又是藝術(shù). ”筆者的理解是，數(shù)學(xué)首先是科學(xué)，教學(xué)有方法. 課堂上教師是主導(dǎo)，教師首先要深度理解教學(xué)內(nèi)容，要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程及學(xué)生思維能力的提升，再用恰當(dāng)?shù)幕顒右I(lǐng)學(xué)生探尋問題的本質(zhì)，從而提升學(xué)生的學(xué)科能力. 本題中，其“本質(zhì)性”的內(nèi)容是什么呢？作為教師我們知道，第（3）題方程的左邊是數(shù)列之和，其通項(xiàng)是. 對初中生而言，就是要發(fā)現(xiàn)方程左邊的每一項(xiàng)或者說每個數(shù)的組成規(guī)律，且能用字母表達(dá)出這個規(guī)律，然后根據(jù)第（1）題的解題經(jīng)驗(yàn)把一個數(shù)寫成兩個數(shù)的差，進(jìn)而求和. 實(shí)際上，用字母表示數(shù)已經(jīng)隱含在題目之中了，但學(xué)生未必能意識到. 本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個：一是觀察并理解第（2）題中的每個數(shù)都可以表達(dá)成，第（3）題中的每個數(shù)都可以表達(dá)成. 第二個關(guān)鍵點(diǎn)是每個分?jǐn)?shù)都可以寫成兩數(shù)差的形式，即=-，=

-. 教師引導(dǎo)學(xué)生體會用字母表示數(shù)的意義，感受從“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)思想方法. 這兩個關(guān)鍵點(diǎn)就是教師課堂教學(xué)時要帶領(lǐng)學(xué)生探索的“本質(zhì)性”內(nèi)容. 教學(xué)中還可以進(jìn)行拓展，如=

-，再讓學(xué)生自己舉出一組數(shù)并求和. 從能力角度分析，上述問題有兩個層級：學(xué)生根據(jù)第（1）（2）兩題的解題經(jīng)驗(yàn)，猜測到新的結(jié)論并驗(yàn)算后得到第（3）題的解法，這是一個合情推理的過程，是較弱能力層級;思考后發(fā)現(xiàn)=-，=

-是通分的逆向運(yùn)用，發(fā)生了逆向思維，是演繹推理，屬于較高的能力層級. 顯然，課堂教學(xué)中不能僅僅停留在較弱的能力層級上，教師既要注意到，絕不是所有的學(xué)生都能輕而易舉地完成這個推理思考過程，教師還要站在較高的高度上引領(lǐng)學(xué)生的思維向更加深刻、靈活、批判的方向發(fā)展，課堂教學(xué)的發(fā)力點(diǎn)要彰顯本質(zhì)性內(nèi)容.

本題也可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決，如圖1～圖4所示，其中圖中的正方形的邊長均為1.

于是圖1～圖4陰影部分的面積分別為：

1-=，-=，-=，…，-=.

又+++…+可以理解為圖4中正方形的面積減去陰影部分的面積，所以+++…+=1-=.

所謂深度理解，就是教師要多角度地理解教學(xué)內(nèi)容，再用恰當(dāng)?shù)姆绞绞┙蹋@樣才能體現(xiàn)出“教學(xué)應(yīng)是一種學(xué)術(shù)活動”.

“分式通分”的教學(xué)片段：確定分式，，的最簡公分母.

一般的教學(xué)流程是，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起研討. 第一步，確定最簡公分母的系數(shù)，即取各分母中系數(shù)的最小公倍數(shù);第二步，取所有字母及其最高次冪;第三步，第一步和第二步結(jié)果的乘積即為最簡公分母. 觀察學(xué)生的作業(yè)會發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生恰恰是不會找各分母中系數(shù)的最小公倍數(shù). 理論上，確定數(shù)的最小公倍數(shù)是小學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，現(xiàn)在進(jìn)入“式”的學(xué)習(xí)，于是這里就可以把數(shù)和式進(jìn)行統(tǒng)一，尋找最小公倍數(shù)時就不用去畫短除法了. 教學(xué)中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生做如下思考：把系數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，用字母來表示質(zhì)因數(shù)，那么最簡公分母就是所有字母及其最高次冪的積. 由此，便做到了數(shù)和字母的統(tǒng)一，也是“特殊”和“一般”關(guān)系的表現(xiàn)，從而彰顯了問題的本質(zhì). 這樣的教學(xué)方式能讓學(xué)生有豁然開朗的感覺，也能讓他們再次加深“對字母表示數(shù)”意義的認(rèn)識，避免簡單模仿式的、程序化式的學(xué)習(xí)，從而發(fā)生“深度學(xué)習(xí)”.

教師對教學(xué)內(nèi)容的深度理解就是要透過表象看本質(zhì)，用自己打開了的思維去打開學(xué)生的思維. 教師的作用是引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成挖掘問題本質(zhì)的思考習(xí)慣，切忌一算了之.

案例3

九年級上冊“一元二次方程應(yīng)用題”教學(xué)片段.

題目呈現(xiàn)：把一個邊長為40 cm的正方形硬紙板進(jìn)行適當(dāng)裁剪，折成一個長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）.

（1）略.

（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方體盒子，若折成的長方體盒子的表面積為550 cm2，求此時長方體盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）.

應(yīng)用題教學(xué)時，很多教師會有這樣的困惑：講了很多，學(xué)生也練習(xí)了很多，可就是不怎么會. 背后有哪些原因呢？學(xué)生解決應(yīng)用題時的第一大障礙是閱讀困難，即無法用自己的理解描述題意;第二大障礙是選擇模型障礙，即不確定是借助方程、函數(shù)還是不等式（組）來解決問題. 這道應(yīng)用題表面上看字?jǐn)?shù)不多，學(xué)生閱讀起來并不困難，但實(shí)質(zhì)是考查學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想及空間想象能力. 字面上看，是把平面圖形裁剪后成為立體圖形，即平面圖形問題→立體圖形問題，其實(shí)質(zhì)是考查學(xué)生的“逆向”思考能力，即立體圖形問題→平面圖形問題，這是解決此問題的關(guān)鍵所在. 畫立體圖形的平面展開圖時會出現(xiàn)如圖5所示的四類情況，從而便理解了題目中“只需求出符合要求的一種情況”的這一要求.

再如，某服裝店花3000元購進(jìn)一批服裝，按50%的利潤定價，無人購買，決定打折出售，但仍無人購買. 結(jié)果又一次打折才售完. 經(jīng)結(jié)算，這批服裝共盈利645元. 若兩次打折相同，則每次打?? ? ? ? 折.

學(xué)生知道用“換元法”可以快速地解決某些方程，而“換元法”的本質(zhì)就是“整體代入”思想. 如果學(xué)生有了“整體”的概念，那么解決此應(yīng)用題就會得心應(yīng)手. 在這里，“花3000元購進(jìn)一批服裝”可以理解成“花3000元購買了一件服裝”，那么理解整個題目的難度系數(shù)立即降低了許多，問題便可迎刃而解.

教師是主導(dǎo). 教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在課堂教學(xué)的整體設(shè)計和教學(xué)組織上，也更多地體現(xiàn)在教師對各種具體問題的剖析上，體現(xiàn)在如何引導(dǎo)學(xué)生把本質(zhì)的內(nèi)容即數(shù)學(xué)思想方法挖掘出來. 在挖掘、探索的過程中，學(xué)生的思維品質(zhì)會自然而然地得到提升. 教師對具體問題的理解、分析和深度解讀，就如一顆顆珍珠，引導(dǎo)學(xué)生的過程就如一條金鏈，金鏈串上珍珠將閃出耀眼的光芒. 教師的理解有深度了，那教學(xué)就會有高度.