郭小春

時(shí)滯不確定線性系統(tǒng)最優(yōu)濾波

郭小春

泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 山東 泰安 271021

針對(duì)線性時(shí)滯不確定系統(tǒng),應(yīng)用重組觀測(cè)分析和完全平方方法,提出了一種簡(jiǎn)單有效的最優(yōu)濾波算法。首先將時(shí)滯濾波問題轉(zhuǎn)化為非時(shí)滯問題,然后通過求解Lyapunov方程以及與原系統(tǒng)維數(shù)相同的+1個(gè)Riccati矩陣方程,給出濾波器的設(shè)計(jì),最后通過一個(gè)仿真實(shí)例說(shuō)明該算法的正確性和有效性。

時(shí)滯系統(tǒng); 線性; 濾波

線性最優(yōu)濾波理論是現(xiàn)代控制理論中的一個(gè)基本問題，對(duì)于無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)，著名的Kalman濾波理論已經(jīng)提出了圓滿的解決方法，其結(jié)果是基于微分或差分Riccati方程設(shè)計(jì)濾波器[1]。然而對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的估計(jì)問題，經(jīng)典的Kalman濾波方法已經(jīng)不再適用。因此，幾十年來(lái)，線性時(shí)滯系統(tǒng)濾波的研究已經(jīng)引起了專家學(xué)者關(guān)注，并且已提出許多方法[2-5]，例如線性矩陣不等式方法、狀態(tài)擴(kuò)維方法和無(wú)限維理論等方法。

不確定性廣泛存在于通信系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)擁塞控制等許多工程領(lǐng)域，眾多學(xué)者已對(duì)不確定線性系統(tǒng)最優(yōu)濾波問題提出了不同算法[6-8]。針對(duì)觀測(cè)方程中有相互獨(dú)立的隨機(jī)不確定線性系統(tǒng)，Nahi設(shè)計(jì)出了遞推的線性最小方差濾波器[6]。后來(lái)Hadidi等人擴(kuò)展了Nahi的工作，研究了觀測(cè)中的不相互獨(dú)立的隨機(jī)不確定線性系統(tǒng)的濾波問題，同時(shí)給出了濾波器的設(shè)計(jì)算法[7]。Hermoso Carazo等人針對(duì)狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲都是有色噪聲的情況研究了不確定系統(tǒng)的濾波問題，設(shè)計(jì)出了理想的濾波器[8]?？紤]帶有隨機(jī)參數(shù)不確定的線性時(shí)變系統(tǒng)，應(yīng)用線性矩陣不等式方法，通過計(jì)算一個(gè)凸優(yōu)化問題，Wang和Balakrishnan提出了魯棒Kalman濾波算法，保證了每一步估計(jì)誤差的方差最小，同時(shí)進(jìn)一步論證了當(dāng)狀態(tài)矩陣是時(shí)不變且均方穩(wěn)定的情況下，該算法是收斂的[9]。應(yīng)用類似方法，Wang和Balakrishnan又進(jìn)一步研究了隨機(jī)不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman濾波問題[10]。不一而足[11-13]。以上所考慮的系統(tǒng)都是非時(shí)滯系統(tǒng)。對(duì)觀測(cè)中含有定常時(shí)滯的線性系統(tǒng)，應(yīng)用新息分析理論，有效地解決了最優(yōu)濾波問題[14-16]。然而，觀測(cè)中含有定常時(shí)滯的線性不確定系統(tǒng)的濾波問題仍需進(jìn)一步研究。

針對(duì)觀測(cè)中帶有多個(gè)定常時(shí)滯的線性不確定系統(tǒng)，本文將研究最優(yōu)濾波問題。應(yīng)用完全平方和觀測(cè)重組方法，通過計(jì)算+1個(gè)Riccati方程和一個(gè)Lyapunov方程，設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器。

為了描述方便，在本文中，給出了如下的符號(hào)記號(hào)：

（1）表示矩陣轉(zhuǎn)置

（2）R表示實(shí)維歐氏空間

（4）[·]表示數(shù)學(xué)期望

（5）符號(hào)⊕表示塊對(duì)角矩陣

（6）{·}為列向量

1 問題闡述

設(shè)帶有l(wèi)個(gè)時(shí)滯觀測(cè)的離散時(shí)不變系統(tǒng)

k=-d，=0,1,…,

并滿足如下三個(gè)假設(shè)：

假設(shè)1：Prob{(k)=1}=且Prob{(k)=0}=1-.其中為已知常數(shù)。

假設(shè)2：噪聲()，(j)()和初始狀態(tài)(0)為互不相關(guān)的零均值白噪聲，且方差分別為

假設(shè)3：時(shí)滯d，=0,1,…,滿足0=0<1<…d.

本文問題如下：

注1：本文所研究的問題廣泛存在于信號(hào)檢測(cè)、通訊、網(wǎng)絡(luò)控制等各種工程領(lǐng)域[7,12]。

注2：對(duì)1，原始系統(tǒng)(1)-(2)為非時(shí)滯不確定系統(tǒng),濾波器的設(shè)計(jì)問題已存在完善的結(jié)果[4,5]。因此，本論文主要討論k≥d時(shí)的濾波器的設(shè)計(jì)問題。

2 濾波器設(shè)計(jì)

2.1 重組觀測(cè)

為了設(shè)計(jì)時(shí)滯系統(tǒng)的濾波器，首先重組觀測(cè)序列，目的是將時(shí)滯觀測(cè)轉(zhuǎn)化成非時(shí)滯觀測(cè)。注意到y(),=1,…,是狀態(tài)(k)在時(shí)刻量測(cè)，包含有時(shí)滯d，為了使時(shí)滯觀測(cè)轉(zhuǎn)化成非時(shí)滯觀測(cè)，導(dǎo)出重組觀測(cè)方程

y()=H()()+v()，=+1,…,1 (3)

下面引理闡述了原始觀測(cè)序列與重組觀測(cè)序列的聯(lián)系。

2.2 主要結(jié)果

讓

為狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣。

根據(jù)上面討論，給出如下結(jié)果。

其中：

和

并且：

將(1)代入(11)，整理得

其中

且有Δ(-1,)=-(-1,)H-(-1,)。

對(duì)式(13)右邊完全平方，利用(10)，得

因?yàn)槭?14)中第二項(xiàng)與(-1,)和(-1,)無(wú)關(guān)，所以選擇(-1,)和(-1,)使上式第一項(xiàng)、第三項(xiàng)為零，從而極小化式(14)，得證式(7)和(8)。

為了計(jì)算濾波器，需進(jìn)一步給出估計(jì)誤差(|,)的計(jì)算。

引理3：估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣(|,),k<≤k-1，=+1,…,滿足

其中初始值為(0|0,+1)=0和(k|k,+1)=(k|k,)，并且P(-1,)和W(-1,)分別由(9)和(10)給出。

證明根據(jù)(7)、(8)和(14)，結(jié)論易得。

注4：顯然，由于時(shí)滯的存在，傳統(tǒng)的Kalman方法不適合于系統(tǒng)(1)-(2)。利用重組觀測(cè)和完全平方方法，定理1給出了線性最優(yōu)濾波器的設(shè)計(jì)算法。

注意到，o1時(shí)，原始系統(tǒng)(1)-(2)變成了[11]中考慮的系統(tǒng)模型(2.1)-(2.2)。進(jìn)一步觀察濾波器(17)經(jīng)過簡(jiǎn)單的變換即為[11]中所得到的濾波器(3.20)。

3 數(shù)值例子

本節(jié)給出一個(gè)數(shù)值例子闡明論文提出方法的有效性。

假設(shè)噪聲(),(0)()和(1)()是互不相關(guān)的白噪聲，方差為0.3，進(jìn)一步假設(shè)=0.93。 應(yīng)用MATLAB仿真軟件，根據(jù)定理1，線性最優(yōu)濾波器的仿真結(jié)果將展示在圖1和圖2中?？梢郧逦乜闯鰻顟B(tài)估計(jì)曲線能夠很好地跟蹤原始狀態(tài)，進(jìn)一步說(shuō)明了所提出新算法的有效性。

圖 1 信號(hào)1的濾波器跟蹤性能

Fig.1 Filter tracking performance of the signal1

圖 2 信號(hào)x2的濾波器跟蹤性能

4 結(jié)語(yǔ)

利用完全平方和重組觀測(cè)技巧，本文研究了觀測(cè)中含有不確定參數(shù)的線性定常時(shí)滯系統(tǒng)的線性最優(yōu)濾波問題。通過重組觀測(cè)，使一個(gè)時(shí)滯濾波問題轉(zhuǎn)化為非時(shí)滯濾波問題，進(jìn)一步應(yīng)用完全平方技巧，使線性最優(yōu)濾波器的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算+1個(gè)與原系統(tǒng)有相同維數(shù)的Riccati方程和一個(gè)Lyapunov遞推等式。該方法無(wú)需狀態(tài)擴(kuò)維，計(jì)算簡(jiǎn)單。

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Optimal Filtering Wave for Uncertain Linear Time –Delay System

GUO Xiao-chun

271021,

A simple and effective optimal filtering algorithm is proposed for linear uncertain systems with time delay by using recombinant observation analysis and complete square method. First, the time-delay filtering problem is transformed into a non-time-delay problem, then the design of the filter is given by solving the Lyapunov equation and the+1 Riccati matrix equation with the same dimension as the original system, and finally, the correctness and the effectiveness of the algorithm are explained by a simulation example.

Time-delay system; Linear; filtering wave

[TP13]

A

1000-2324(2019)04-0656-05

2018-1-18

2018-6-20

郭小春(1973-),女,碩士,高級(jí)實(shí)驗(yàn)師,主要研究方向?yàn)闀r(shí)滯系統(tǒng)控制. E-mail:gxc99gxc@126.com