福建省德化第一中學(362500) 吳志鵬

在解決含參函數(shù)問題時，經(jīng)常要對參數(shù)進行分類轉化，怎樣分類，以什么標準進行分類，這是化解含參函數(shù)問題的難點也是關鍵點，只有突破這個關鍵點才能有效地解決相關的問題.下面我就一部分含參函數(shù)的分類標準的選擇作如下歸納.

一、利用函數(shù)圖象位置的特殊性，確定分類標準

函數(shù)的解析式或函數(shù)圖象會因為參數(shù)的改變而發(fā)生變化，因此我們在確定參數(shù)的分類標準時，常常要去尋找使得函數(shù)產(chǎn)生變化的那些特殊點、特殊值或者是一些特殊的位置，因為它們是函數(shù)解析式或函數(shù)圖象產(chǎn)生變化的臨界點或臨界值.

1.參照特殊值，確定分類標準

例1設函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|，對于?x∈?，f(x)≥2，求a的取值范圍？

分類思路函數(shù)的解析式中含有|x-1|和|x-a|兩個絕對值，當a=1，兩個式子相同，此時為函數(shù)的一種特殊情況即f(x)=2|x-1|，所以a=1是使函數(shù)解析式、圖象產(chǎn)生變化的一個臨界值，據(jù)此我們可確定函數(shù)的分類標準即按a＜1，a＞1，a=1三種情況來進行分類．

解析當a=1時，f(x)=2|x-1|不滿足題設條件，舍去;當a＜1時，f(x)=|x-1|+|x-a|根據(jù)去絕對值符號的法則可得：

由函數(shù)的圖象可知：f(x)min=1-a，要使f(x)≥2對于?x∈?都成立，只需1-a≥2，即a≤-1，又因為a＜1，所以a≤-1;當a＞1時，f(x)=|x-1|+|x-a|，去絕對值符號可得：

由函數(shù)的圖象可知：f(x)min=a-1，要使f(x)≥2對于?x∈?都成立，只需a-1≥2，即a≥3，又因為a＞1，所以a≥3.所以對于?x∈?，f(x)≥2，a的取值范圍是a≤-1或a≥3．

變式討論函數(shù)2a)x+1的單調性．

分類思路由于

f′(x)=x2-(3a+1)x-(2a2+2a)=(x-2a)[x-(a+1)],此時導函數(shù)有兩個零點2a和a+1且不能確定大小關系，令2a=a+1即a=1，找到了區(qū)分零點大小的依據(jù)，a=1即為參數(shù)分類標準的一個臨界值，由此而確定出函數(shù)中參數(shù)要按：a＞1，a=1，a＜1三種情況進行分類．

結論：當a＞1時，f(x)在(-∞,a+1)，(2a,+∞)單調遞增，在(a+1,2a)單調遞減；當a=1時，f(x)在?上單調遞增；當a＜1時，f(x)在(-∞,2a)，(a+1,+∞)單調遞增，在(2a,a+1)單調遞減．

2.根據(jù)特殊點，確定分類標準

例2已知f1(x)=1-ax，f2(x)=(1-x)a-1，以max{m,n}表示兩數(shù)m,n中較大者，設f(x)=max{f1(x),f2(x)}，試求f(x)的解析式?

分類思路兩個函數(shù)均為一次函數(shù)，其圖象是兩條平行直線或重合直線，此時兩直線在y軸上的截距對應的點成了區(qū)分函數(shù)值大小的一個臨界點，自然成了確定參數(shù)分類的標準.由f1(x)=f2(x)得a=2，函數(shù)值的大小比較可按a＜2，a=2，a＞2三種情況進行討論：

解析因為f1(x)-f2(x)=2-a，則按a＜2，a=2，a＞2分類得：f(x)==

3.按特殊位置，確定分類標準

例3(2017年高考課標I卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

解析(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).若a≤0，則f′(x)＜0，所以f(x)在(-∞,+∞)單調遞減；若a＞0，則由f′(x)=0得x=-lna，所以當x∈(-∞,-lna)時，f′(x)＜0；當x∈(-lna,+∞)，f′(x)＞0，所以f(x)在(-∞,-lna)單調遞減，在(-lna,+∞)單調遞增；

(2)根據(jù)第(1)題，若a≤0，f(x)至多有一個零點，若a＞0，當x=-lna時，f(x)取得最小值，求出最小值

分類思路此時函數(shù)的最小值所對應點的位置決定了函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)，當即a=1，此時函數(shù)圖象的最低點落在x軸上，由此可確定分類的標準為函數(shù)圖象的最低點分別落在x軸上、x軸上方和x軸下方，并由此獲得參數(shù)a的分類標準，即按a=1，a＞1和0＜a＜1三種情況進行討論．

解析(1)當a=1，由于f(-lna)=0，故f(x)只有一個零點；

4.據(jù)根判別式，確定分類標準

一元二次方程根的判別式是研究一元二次方程是否存在實根的重要依據(jù)，也是二次函數(shù)圖象與x軸位置關系的判斷依據(jù)，同樣根的判別式對求解一元二次不等式也有著不可或缺的作用．所以對于函數(shù)中出現(xiàn)的含有參數(shù)的二次式，我們經(jīng)常可利用判別式的三種情況即Δ＜0，Δ=0，Δ＞0來確定參數(shù)的分類標準．

例4(2018年高考全國I卷理科第21題節(jié)選)已知函數(shù)討論f(x)的單調性．

分類思路函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=由于x＞0，導函數(shù)的符號與g(x)=-x2+ax-1的符號相關，則可按g(x)≤0和g(x)＞0兩種情況進行分類討論，進而轉化為利用二次函數(shù)根判別式，即Δ≤0和Δ＞0來確定參數(shù)的分類標準．

解析f(x)的定義域為設g(x)=-x2+ax-1，

(i)當Δ≤0時，即a≤2，此時g(x)=-x2+ax-1≤0，所以有f′(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)單調遞減.

(ii)當Δ＞0時，即a＞2，令f′(x)=0得，或當x∈時，f′(x)＜0；當時，f′(x)＞0，所以f(x)在單調遞減，在單調遞增．

二、依函數(shù)解析式參數(shù)符號意義，確定分類標準

參數(shù)的符號經(jīng)常會對函數(shù)值的符號的產(chǎn)生直接的影響，如aex，當a＞0時，aex＞0；當a＜0時，aex＜0；當a=0時，aex=0，同樣的參數(shù)的符號對函數(shù)的圖象也會產(chǎn)生影響，如一次函數(shù)y=kx+b，k＞0時，函數(shù)單調遞增，k＜0時，函數(shù)單調遞減；又如二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，當a＞0時二次函數(shù)的圖象開口向上，a＜0二次函數(shù)的圖象開口向下，由于參數(shù)符號對函數(shù)圖象變化的影響，所以有時我們也可利用參數(shù)的符號來確定分類的標準．

例5(2017年高考課標I卷文科第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x，討論f(x)的單調性；

分類思路由于函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞)，f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)，此時兩個因式的符號是不確定的，由于ex＞0，所以參數(shù)a的符號決定了導函數(shù)的符號，從而影響了函數(shù)的單調性，由此確定了函數(shù)的分類標準，可按a=0，a＞0，a＜0三種情況分類，進行討論.

解析①若a=0，則f′(x)=2e2x＞0恒成立，此時f(x)在(-∞,+∞)單調遞增．

②若a＞0，此時2ex+a＞0，則由f′(x)=0得x=lna．當x∈(-∞,lna)時，f′(x)＜0；當x∈(lna,+∞)時，f′(x)＞0，所以f(x)在(-∞,lna)單調遞減，在(lna,+∞)單調遞增．

③若a＜0，此時ex-a＞0，則由f′(x)=0得時，f′(x)＜0；當x∈時，f′(x)＞0，故f(x)在單調遞減，在單調遞增．

例6(2017年高考課標Ⅲ卷文科第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，討論f(x)的單調性；

分類思路函數(shù)導數(shù)由于函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，則有此時導函數(shù)符號取決于參數(shù)a的符號，由此可確定函數(shù)的分類標準，即按a≥0，a＜0兩種情況進行討論．

結論：當a≥0時，f′(x)≥0，則f(x)在(0,+∞)單調遞增，當a＜0時，則f(x)在單調遞增，在單調遞減．

三、由最值點與區(qū)間的動定關系，確定分類標準

確定曲線在某個區(qū)間的最(極)值問題，我們可先確定曲線最(極)值點位置與區(qū)間位置兩者之中已確定的位置，即弄清問題中的動定關系，其中不含參數(shù)的最值點(區(qū)間端點)其位置為已經(jīng)確定的，含參的區(qū)間端點(最值點)的位置為可變的，此時可將可變的圖象(區(qū)間)沿x軸進行平移，使之通過確定的區(qū)間(圖象)，再由通過時的關鍵位置來確定參數(shù)的分類標準．

例7求函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1的最大值g(a)．

分類思路配方得f(x)=-(x-a)2+a2-a+1此時二次函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為直線x=a(a待定)，也是函數(shù)最值取得的位置，而區(qū)間[0,1]卻是確定的，這時我們可利用動直線和確定區(qū)間的位置關系來選擇對稱軸的放置位置，由此產(chǎn)生參數(shù)a的分類標準即參數(shù)a可按：a＜0，0≤a≤1，a＞1三種情況進行分類．

解析(1)當a＜0，f(x)在x∈[0,1]單調遞減，所以g(a)=f(x)max=f(0)=1-a;

(2)當0≤a≤1，g(a)=f(x)max=f(a)=a2-a+1;

(3)當a＞1，f(x)在x∈[0,1]單調遞增，所以g(a)=f(x)max=f(1)=a.

變式1函數(shù)f(x)=alnx(a＞0)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．若f(x)在(1,e)上有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

分類思路因為x∈(1,e)，恒成立，即f(x)-x+1＞0恒成立.令h(x)=alnx-x+1(x＞0)，即h(x)min＞0，因為令h′(x)＞0，得0＜x＜a；h′(x)＜0，得x＞a，所有當x=a，h(x)取得極大值，此時區(qū)間(1,e)確定，而極大值點x=a的位置待定.現(xiàn)只需分情況將極大值點x=a的位置置于區(qū)間(1,e)的位置左右兩側和區(qū)間內(nèi)部進行討論.即參數(shù)的分類標準可確定為a＞e，1≤a≤e和a＜1三種．

1)當a＞e時，h(x)在(1,e)上為增函數(shù)，h(x)＞h(1)=0;

2)當1≤a≤e時，h(x)在(1,a)上為增函數(shù)，在(a,e)上為減函數(shù)，此時只須即a≥e-1．

3)當a＜1時，h(x)在(1,e)上為減函數(shù)，h(x)≥h(e)=a+1-e＜0，不符合題意.

綜上所得：a≥e-1．

變式2當t≤x≤t+1時，求f(x)=x2-2x-1的最小值?

分類思路變式2將例題中區(qū)間確定對稱軸待定的情況改變?yōu)閷ΨQ軸確定而區(qū)間待定，即二次函數(shù)f(x)=x2-2x-1圖象的對稱軸為直線x=1(最小值點所在的位置)而區(qū)間[t,t+1]由于t的未知而待定，此時只需利用對稱軸的特殊位置來置放區(qū)間，問題便可迎刃而解，并由此而取得參數(shù)的分類標準，可按t+1＜1，t≤1≤t+1，t＞1即t＜0，0≤t≤1，t＞1三種情況來類.(解法略)

對于上述二次函數(shù)的兩類問題我們也可遷移到含有極值點的函數(shù)問題，即極值點的位置不確定而區(qū)間確定的函數(shù)最值問題和極值點的位置確定而區(qū)間不確定的函數(shù)最值問題來解決．

總之，對于含有參數(shù)，需要進行分類的函數(shù)，選擇分類的標準很重要，是一個難點問題，所以教師在授課時，應注意講清這個標準是從哪里來，隱藏在題目的哪些信息中，要讓學生知其所以然，要讓學生在選擇參數(shù)的分類標準，做到有據(jù)可查，這樣學生在分類的過程中才不至于混亂，找不著頭緒.其實分類的標準遠不止以上這幾類，它需要我們在實踐的過程中，學會觀察，善于發(fā)現(xiàn)，找到影響函數(shù)值的符號、圖象等出現(xiàn)變化的參數(shù)情況，從而找到參數(shù)的分類標準，更好地解決相關的函數(shù)問題．