福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

一、試題呈現(xiàn)

題目(2019年高考北京卷理科)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程.

圖1

(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

二、試題評析

本題以直線和拋物線為載體，考查求拋物線的方程，準(zhǔn)線以及證明圓過定點.試題背景樸實，親切，容易入手，分層遞進，步步得分.試題第二步突出了對圓錐曲線中定點問題的考查，不回避熱點問題，能夠讓考生學(xué)有所用，學(xué)有所得.第二步看似簡單，實則具有一定的探究意義，能夠考查學(xué)生的推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，彰顯了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求，又讓人感受到了命題者的獨具匠心.

三、試題解析

如圖1所示，設(shè)拋物線焦點F(0,-1)，準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)直線l方程為y=kx-1(k0).代入x2=-4y得x2+4kx-4=0.設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則x1+x2=-4k，x1x2=-4.故y1y2=1，x1y2+y1x2=x1(kx2-1)+(kx1-1)x2=-4k.

法1由于題目已經(jīng)提示以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點，故可設(shè)定點坐標(biāo)為D(0,n)，借助--→DA·--→DB=0這個關(guān)系求出n，從而得到定點坐標(biāo).

法2先求出以AB為直徑的圓方程，再結(jié)合題目提示定點在y軸上解出定點坐標(biāo).

法3考慮兩種特殊的情況，得到兩個特殊的圓，發(fā)現(xiàn)都過點(0,1)和(0,-3)，再證明這兩個點就是符合題意的定點.

假設(shè)直線l斜率為0，此時以AB為直徑的圓方程為x2+(y+1)2=4，過點(0,1)和(0,-3).假設(shè)直線l斜率為1，此時以AB為直徑的圓方程為(x-2)2+(y+1)2=8，過點(0,1)和(0,-3).所以以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0,1)和(0,-3).下面證明之.

通過上述分析，不難發(fā)現(xiàn)第二問是典型的證明定點問題，思路一般有如下幾種：

第一種：采用假設(shè)存在驗證法，先假設(shè)存在定點，然后建立等量關(guān)系，若能求出相應(yīng)的量，就說明存在，否則就不存在.

第二種：相關(guān)幾何量用曲線系里的參變量表示，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)或與參數(shù)無關(guān);

第三種：先把相關(guān)變元特殊化，在特例中求出定點，再證明符合題意;

四、試題探究

思考1如果改成證明以AB為直徑的圓經(jīng)過定點，如何證明?

法1設(shè)D(x0,y0)，則故

化簡得

即

法2設(shè)AB中點為T，則故T(2k,-1).

思考2通過上述分析，不難發(fā)現(xiàn)以AB為直徑的圓經(jīng)過的兩個定點(0,1)和(0,-3)，拋物線的焦點恰好是其中點.也就是說可以把本題推廣到一般情況嗎?

結(jié)論已知拋物線C:x2=-2py，設(shè)O為原點，過拋物線C的的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線分別交直線OM,ON于點A和點B.則以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點，這兩個定點的中點是拋物線的焦點.

下面借助Geogebra軟件驗證：

第一步：利用工具欄中的滑動條構(gòu)造一個變量p;

第二步：在輸入框中輸入x?2=-2py，作出拋物線x2=-2py.在輸入框中分別輸入F=(0，-p/2)和y=p/2，作出焦點和準(zhǔn)線;

第三步：利用工具欄中的直線按鈕構(gòu)造出過焦點的一條直線，與拋物線交于點M,N;再分別作出直線OM,ON，交準(zhǔn)線于A,B兩點;

第四步：利用工具欄中的中點工具作出AB中點T，再利用工具欄中的圓按鈕構(gòu)造出以AB為直徑的圓;

第五步：拖動第三步中構(gòu)造出的直線上的點G，觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線繞著焦點轉(zhuǎn)動時，動圓恒過y軸上的兩個定點且以焦點為中點.如圖2所示.

圖2

五、試題變式

變式1橢圓過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A,B兩點.是否存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過點M?若存在，求出點M的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

解析若直線l斜率不存在，則以AB為直徑的圓與y軸的交點為M1(0,1)，M2(0,-1).若直線l斜率為0，則以AB為直徑的圓與y軸的交點為所以符合條件的點是M(0,1).下證M(0,1)就是滿足條件的點.

變式2橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率過F1的直線交橢圓于A,B兩點，且△ABF2的周長為8.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在，求出點M的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

解析根據(jù)題目條件易求得橢圓E的方程為1.由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.令Δ=0，得4k2-m2+3=0.設(shè)P(x0,y0)，則x0=故由得Q(4,4k+m).取得以PQ為直徑的圓方程為(x-2)2+與x軸的交點為M1(1,0),M2(3,0).取得Q(4,0)，以PQ為直徑的圓方程為與x軸的交點為M3(1,0),M4(4,0).所以符合條件的點是M(1,0).下證M(1,0)就是滿足條件的點.因為從而即因此以PQ為直徑的圓恒過點M.