(武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430063)

實(shí)船振動(dòng)信號(hào)測(cè)試過(guò)程中，因?yàn)榇敖Y(jié)構(gòu)復(fù)雜、運(yùn)行工況多變或試驗(yàn)成本昂貴等原因?qū)е虏杉瘮?shù)據(jù)不足，容易產(chǎn)生小樣本問(wèn)題。目前的虛擬樣本生成技術(shù)方法眾多[1-3]，虛擬樣本擴(kuò)容方法主要研究針對(duì)已有的樣本，即當(dāng)已有樣本數(shù)量不足時(shí)，采取“虛擬樣本”生成思想增加樣本的數(shù)量。在實(shí)際的船舶振動(dòng)信號(hào)測(cè)試過(guò)程中，可能需要得到未知測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)。針對(duì)這一問(wèn)題，提出“空間樣本擴(kuò)容”概念，并給出利用傳遞率函數(shù)結(jié)合有限元方法進(jìn)行空間樣本擴(kuò)容的方法。

1 空間樣本擴(kuò)容原理

1.1 方法的提出

通過(guò)測(cè)試手段已經(jīng)測(cè)得某結(jié)構(gòu)的A點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)，但B點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)復(fù)雜或傳感器數(shù)量不足等原因無(wú)法測(cè)得，從而造成數(shù)據(jù)不足。通過(guò)測(cè)點(diǎn)A的實(shí)際已知信號(hào)，利用空間樣本擴(kuò)容手段，得到測(cè)點(diǎn)B的擴(kuò)容信號(hào)，以增加信號(hào)的樣本數(shù)。見圖1。

圖1 空間樣本擴(kuò)容示意

1.2 理論基礎(chǔ)

1.2.1 傳遞率函數(shù)理論基礎(chǔ)

具有n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為

(1)

設(shè)系統(tǒng)作用激勵(lì)為

f(t)=Fejωt

(2)

則系統(tǒng)的位移響應(yīng)為

x=Xejωt

(3)

將式(2)，式(3)帶入式(1)可得

(K-Mω2+jωC)X=F

(4)

將式(4)簡(jiǎn)寫為

X(ω)=H(ω)F(ω)

(5)

式中：H(ω)可表示為

H(ω)=(K-ω2M+jωC)-1

(6)

此為振動(dòng)系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)矩陣，通過(guò)推導(dǎo)得到加速度頻響函數(shù)HA(ω)。

(7)

當(dāng)外部激勵(lì)產(chǎn)生的加速度響應(yīng)由i點(diǎn)傳向j點(diǎn)時(shí)，根據(jù)傳遞率函數(shù)的定義，則加速度傳遞率函數(shù)可以表示為兩處加速度響應(yīng)的比值,即

(8)

式中：Ai(ω)和Aj(ω)分別為在測(cè)點(diǎn)i和測(cè)點(diǎn)j處的振動(dòng)加速度響應(yīng)。根據(jù)式(5)，可以進(jìn)一步推導(dǎo)傳遞率函數(shù)為

(9)

從式(9)可知，在傳遞率函數(shù)中激勵(lì)只作為激勵(lì)源而并沒(méi)有參與運(yùn)算，因此，結(jié)合傳遞率函數(shù)和有限元法進(jìn)行空間樣本擴(kuò)容時(shí)，可以擺脫對(duì)于外部激勵(lì)測(cè)量的依賴，相比于直接利用有限元法進(jìn)行整個(gè)振動(dòng)過(guò)程的仿真分析更加簡(jiǎn)單，適用性更廣。

1.2.2 方法實(shí)質(zhì)

在整個(gè)結(jié)構(gòu)中，測(cè)點(diǎn)O是激勵(lì)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)A的信號(hào)已知，測(cè)點(diǎn)B的信號(hào)未知。見圖2。

圖2 空間樣本擴(kuò)容示意

根據(jù)傳遞率函數(shù)的定義，在結(jié)構(gòu)中點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的傳遞率函數(shù)可以表示為

(10)

對(duì)模型進(jìn)行有限元仿真，可得在仿真模型中點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的傳遞率函數(shù)可以表示為

(11)

由于在實(shí)際情況下的傳遞率函數(shù)和仿真情況下的傳遞率函數(shù)應(yīng)相等，即

(12)

則進(jìn)一步可得

(13)

空間樣本擴(kuò)容的思路：在仿真情況下，隨機(jī)輸入激勵(lì)信號(hào)，求取點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的傳遞率函數(shù)，然后利用實(shí)際的測(cè)點(diǎn)A的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，計(jì)算便可得到未知測(cè)點(diǎn)B的實(shí)際的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，完成空間樣本擴(kuò)容。

1.2.3 擴(kuò)容的具體步驟

空間樣本擴(kuò)容方法主要步驟。

1)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行有限元計(jì)算，并根據(jù)實(shí)際情況確定仿真模型的邊界條件和測(cè)點(diǎn)的位置。

2)在模型的激勵(lì)點(diǎn)輸入某一隨機(jī)激勵(lì)，得到模型上測(cè)點(diǎn)A和測(cè)點(diǎn)B的響應(yīng)函數(shù)。

4)根據(jù)式(13)，利用實(shí)際測(cè)得的測(cè)點(diǎn)A的響應(yīng)信號(hào)，計(jì)算得到測(cè)點(diǎn)B的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)裝置見圖3，整個(gè)圓盤由一塊圓形鋼板和2個(gè)剛性法蘭裝配組成。圓形鋼板厚為1.6 mm，半徑為290 mm。圓盤被2個(gè)鋼材料法蘭剛性?shī)A緊，每個(gè)法蘭的厚度為32 mm，外環(huán)半徑為290 mm，內(nèi)環(huán)半徑為206 mm。其中薄板的質(zhì)量為3.25 kg，每個(gè)法蘭的質(zhì)量為31.80 kg。薄板兩邊的法蘭盤用10個(gè)24M的螺栓緊固在一起，螺栓轉(zhuǎn)矩為100 N·m，整個(gè)裝配組件懸掛在2個(gè)鋼制眼上。

圖3 圓盤裝置

在圓盤的一側(cè)安裝5個(gè)PCB 352C67型加速度計(jì)，通過(guò)用力錘敲擊圓盤，對(duì)圓盤的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采集，在實(shí)驗(yàn)中使用Bruel & Kjr LAN-XI對(duì)加速度信號(hào)和力錘信號(hào)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,數(shù)據(jù)的采樣頻率為65 536 Hz。

2.2 數(shù)據(jù)采集

采用5個(gè)PCB 352C67型加速度傳感器測(cè)量振動(dòng)信號(hào)，傳感器靈敏度為0.010 51 V/(ms2);同時(shí)，利用Brüel & Kjr LAN-XI數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對(duì)加速度信號(hào)和力錘信號(hào)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，采樣時(shí)間為2 s，采樣頻率為65 536 Hz。

為了能更好觀察振動(dòng)加速度信號(hào)隨頻率的變化情況，將時(shí)域內(nèi)的振動(dòng)加速度信號(hào)利用MATLAB軟件進(jìn)行傅里葉變換。主要觀察振動(dòng)加速度信號(hào)在0～1 000 Hz內(nèi)的頻域信息，1號(hào)加速度傳感器測(cè)得的振動(dòng)加速度信號(hào)的加速度幅值隨頻率的變化情況見圖4。

圖4 1號(hào)傳感器的振動(dòng)信號(hào)頻譜

2.3 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠邢拊抡婕澳Ｐ万?yàn)證

利用ANSYS/WORKBENCH對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置中的圓盤裝置進(jìn)行仿真。在仿真過(guò)程中，材料選取結(jié)構(gòu)鋼，具體基本參數(shù)：彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度ρ=7 872 kg/m3。整個(gè)圓盤實(shí)驗(yàn)裝置的仿真模型見圖5。

圖5 ANSYS仿真模型

利用ANSYS/WORKBENCH軟件中的模態(tài)分析模塊對(duì)整個(gè)模型中的圓盤部分進(jìn)行模態(tài)分析，得到仿真圓盤前10階的固有頻率，對(duì)比文獻(xiàn)[4]提供的通過(guò)理論分析所得的固有頻率以及模態(tài)實(shí)驗(yàn)所測(cè)的固有頻率，結(jié)果見表1。

表1 模型的理論、實(shí)驗(yàn)、仿真固有頻率比較 Hz

由表1可知，仿真得到的固有頻率與理論分析得到的固有頻率之間的數(shù)值差別不大，在實(shí)驗(yàn)測(cè)試過(guò)程中，存在著測(cè)量噪聲的影響，實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到的固有頻率與仿真得到的固有頻率之間存在一定的誤差，但三者具有較好的一致性；由于圓盤模型是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，在理論、實(shí)驗(yàn)及仿真所得的固有頻率中，相鄰兩階會(huì)出現(xiàn)相近或相同的數(shù)值的情況。

為進(jìn)一步證明整個(gè)模型的準(zhǔn)確性，利用ANSYS/WORKBENCH軟件中的瞬態(tài)分析模塊對(duì)整個(gè)模型中的圓盤部分進(jìn)行振動(dòng)過(guò)程分析。將利用Bruel & Kjr LAN-XI數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集到的力錘信號(hào)輸入到仿真模型，得到仿真模型中各個(gè)測(cè)點(diǎn)的時(shí)域振動(dòng)信號(hào)。通過(guò)MATLAB軟件對(duì)時(shí)域內(nèi)的力錘信號(hào)和仿真模型上各個(gè)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，計(jì)算在仿真情況下激勵(lì)輸入點(diǎn)到各個(gè)測(cè)點(diǎn)的頻響函數(shù)，將通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻響函數(shù)與仿真情況下得到的頻響函數(shù)進(jìn)行對(duì)比。以測(cè)點(diǎn)1為例，結(jié)果見圖6。

圖6 實(shí)驗(yàn)與仿真兩種情況下點(diǎn)1的頻響函數(shù)對(duì)比

由圖6可知，通過(guò)仿真得到的頻響函數(shù)與通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻響函數(shù)曲線重合度高，在實(shí)驗(yàn)與仿真兩種情況下，綜合固有頻率的對(duì)比與頻響函數(shù)的對(duì)比結(jié)果可知，整個(gè)仿真模型與實(shí)際的實(shí)驗(yàn)裝置具有較好的一致性。

2.4 數(shù)據(jù)擴(kuò)容結(jié)果

在驗(yàn)證仿真模型正確的基礎(chǔ)之上進(jìn)行實(shí)際的空間樣本擴(kuò)容。假設(shè)測(cè)點(diǎn)5的振動(dòng)信號(hào)未知，利用空間樣本擴(kuò)容手段，通過(guò)前4個(gè)測(cè)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)信號(hào)，得到5號(hào)測(cè)點(diǎn)的虛擬樣本。與實(shí)際的5號(hào)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證文中提出的空間樣本擴(kuò)容方法的可行性。

根據(jù)圓盤仿真模型，在實(shí)際激勵(lì)點(diǎn)施加一個(gè)幅值為0.5的白噪聲激勵(lì)作為輸入，方向沿Z軸，同時(shí)采樣頻率取為2 000 Hz，持續(xù)采樣時(shí)間為2 s。利用ANSYS/WORKBENCH中對(duì)整個(gè)模型進(jìn)行仿真分析，得到5個(gè)測(cè)點(diǎn)在仿真情況下的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，計(jì)算的傳遞率函數(shù)，見圖7。

圖7 仿真情況下其他測(cè)點(diǎn)與測(cè)點(diǎn)5之間的傳遞率函數(shù)

在得到傳遞率函數(shù)之后，根據(jù)式(13)，便可得到測(cè)點(diǎn)5的信號(hào)在頻率內(nèi)的變化情況。為驗(yàn)證擴(kuò)容所得到虛擬樣本的正確性，將實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的測(cè)點(diǎn)5的信號(hào)與通過(guò)擴(kuò)容得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，觀察兩者數(shù)據(jù)曲線的變化情況，結(jié)果見圖8～11。

圖8 測(cè)點(diǎn)5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與通過(guò)測(cè)點(diǎn)1擴(kuò)容得到的數(shù)據(jù)對(duì)比

圖9 測(cè)點(diǎn)5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與通過(guò)測(cè)點(diǎn)2擴(kuò)容得到的數(shù)據(jù)對(duì)比

圖10 測(cè)點(diǎn)5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與通過(guò)測(cè)點(diǎn)3擴(kuò)容得到的數(shù)據(jù)對(duì)比

圖11 測(cè)點(diǎn)5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與通過(guò)測(cè)點(diǎn)4擴(kuò)容得到的數(shù)據(jù)對(duì)比

由圖8～11可知，測(cè)點(diǎn)5的實(shí)際振動(dòng)信號(hào)與擴(kuò)容信號(hào)兩者曲線的幅值變化范圍一致，在0～1 000 Hz內(nèi)二者曲線的變化趨勢(shì)相近，同時(shí)在部分峰值處，兩種數(shù)據(jù)的重合度較高。但由于實(shí)際信號(hào)存在噪聲污染、仿真模型的測(cè)點(diǎn)與實(shí)際測(cè)點(diǎn)可能存在位置上的誤差等原因?qū)е聦?shí)際信號(hào)與擴(kuò)容信號(hào)之間存在一定的差異。可以認(rèn)為通過(guò)其他測(cè)點(diǎn)得到的測(cè)點(diǎn)5的擴(kuò)容信號(hào)具有一定的合理性。

3 結(jié)論

1)針對(duì)船舶測(cè)試中存在的小樣本問(wèn)題，提出結(jié)合傳遞率函數(shù)和有限元仿真的空間樣本擴(kuò)容方法，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。

2)提出的空間樣本擴(kuò)容可以擺脫對(duì)于外界激勵(lì)測(cè)量的依賴，為解決船舶振動(dòng)信號(hào)測(cè)量中存在的因結(jié)構(gòu)復(fù)雜或傳感器數(shù)量不足等原因造成的測(cè)試樣本不足提供一條新的解決思路。

3)就空間樣本擴(kuò)容效果而言，重點(diǎn)在于虛擬樣本的準(zhǔn)確性，如何盡可能降低虛擬樣本與實(shí)際樣本之間的誤差并對(duì)誤差進(jìn)行量化，有待進(jìn)一步研究討論。