李兆華

(天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387)

據(jù)李冶(1192～1279)《測圓海鏡》(1248)可知，勾股測圓術(shù)包括圓城圖式、識別雜記與10個容圓公式、已知2事求得圓徑(主要采用天元術(shù)建立方程的方法)等三部分內(nèi)容。第三部分已臻完善，而前兩部分尚有明顯的不足。此不足之處，遂成為晚清算家研究之重點。

19世紀70年代至20世紀初，《測圓海鏡》的研究是一個活躍的課題，三十余年間成書十余種。[1]其中，李善蘭(1811～1882)、劉岳云(1849～1917)、王季同(1875～1948)[2]等均有深刻的工作面世。李善蘭于同治七年(1868)任教同文館直至去世，其間曾傳授《測圓海鏡》，并以該書內(nèi)容命題考試，且將部分試題與解答收入《算學課藝》(1880)以廣傳播。又為同文館集珍版《測圓海鏡》作序(1876)以表彰其成就。所著《九容圖表》(不分卷)，后來收入《古今算學叢書》(1898)?！毒湃輬D表》將圓城圖式予以增刪并確定為十三率勾股形。相應地，將識別雜記中的有關(guān)內(nèi)容予以增刪且編為十三率勾股形等量表。[3]雖然傳本《九容圖表》遺議尚多，但是李善蘭的研究與教學成果以及“合中西為一法”[4]的教學思想，對此期《測圓海鏡》的研究具有重要影響。劉岳云《測圓海鏡通釋》(1896)4卷與王季同《九容公式》(不分卷，1898)各有所長而意向不同。王季同意在運用漢譯代數(shù)符號簡化勾股測圓術(shù)的圓徑算法[5]，劉岳云則將識別雜記有關(guān)的內(nèi)容“分別條理，為立數(shù)表”以構(gòu)建勾股測圓術(shù)的理論并用于求解圓徑。李善蘭與劉岳云關(guān)于“九容”問題主張不同，劉岳云之名因之多次見于有關(guān)論述中。然而，《測圓海鏡通釋》迄無專題的討論，此即本文之關(guān)注所在。

因稿本遺失，劉岳云僅以“殘帙”付梓，即今傳《測圓海鏡通釋》4卷，光緒二十二年(1896)成都尊經(jīng)書局刊本。(1)高紅成博士代為查閱北京大學圖書館藏民國元年存古書局本。據(jù)兩書的版式、字體、圖式、誤文對勘，知存古書局本正文系據(jù)尊經(jīng)書局本原版重印。李迪《中國算學書目匯編》記有“民國元年(1912年)四川存古堂刊本一冊(四川，重)”，疑即存古書局本。劉岳云認為是本“大略已具”，故尚可據(jù)以了解其主要工作。因該書內(nèi)容有所缺失及文字脫誤，故本文就其要點予以補證，文字脫誤凡有關(guān)算理者一并校改，并就其難點予以分析和說明，以期較為準確地闡明其“比例之理，相等之數(shù)”的意義與運用，并藉以了解勾股測圓術(shù)在晚清的發(fā)展與變化。

1 成書過程與內(nèi)容梗概

劉岳云，字佛卿，江蘇寶應(今屬揚州市)人。光緒十二年(1886)進士，歷官戶部主事等。[6]光緒三年(1877)“于金陵算學書局教習生徒”。[7]光緒二十二年(1896)主講成都尊經(jīng)書院。[8]劉岳云與李善蘭、吳嘉善(1820～1885)[9]均有學術(shù)交往?！岸畾q(1868)，至金陵謁李壬叔(善蘭)先生、吳子登(嘉善)先生，遂得并通代數(shù)?！盵10]光緒六年(1880)李善蘭將當年出版的《算學課藝》一部贈劉岳云。([10]，光緒六年條)稍后，劉岳云將所著的《格物中法》書稿寄示李善蘭。[11]《格物中法》載曾紀澤(1839～1890)識語稱，“君為吳子登編修高第弟子，宜其精深博大也。”[12]劉岳云的數(shù)學著述不少，但付印者不多。除《測圓海鏡通釋》外，尚有《算學叢話》(不分卷，1896)、《喻利算法》(不分卷，1896)及《五經(jīng)算術(shù)疏義》(1899)2卷。(2)李儼《近代中算著述記》載：“《課徒算草》二卷。劉岳云撰，已刻(北)”。經(jīng)查未見。關(guān)于劉岳云與西學中源說，近年已有評述，可以參考。[13]

今傳本《測圓海鏡通釋》4卷是一個殘帙。自原稿初成、遺失以致殘帙刻成，先后經(jīng)歷二十余年。以下兩段引文清楚地記述了這一過程：

辛巳年，家叔俛兄以稿寄四川學使朱君肯夫，許為代刻。會肯夫卒于學使任，書未及刻。癸未年，叔俛兄亦卒，遂無從詢顛末。兒子啟瑞于舊稿中搜得殘帙，略分四卷，寫一清本。余心氣不逮曩時，不能補為之。頃主講成都尊經(jīng)書院，馮生書以第四卷重為排比算校，并前三卷交院中梓人刻成。[8]

據(jù)此可知以下三點：(1)原稿本成于同治甲戌(1874)，光緒辛巳(1881)定稿并寄出付刻，不意丟失。光緒二十二年將殘帙略作整理刻于尊經(jīng)書院。(2)定稿寄出之前，于光緒丁丑(1877)見到李善蘭“有大中垂線、明勾股和求城徑一題，因又以垂線、方邊配合各勾股率，增二卷”。查尊經(jīng)書局本并無所增內(nèi)容。定稿寄出之前一年，收到李善蘭所贈之《算學課藝》，并指出“其和勾股、斷勾股即余之高平和、高平較。”是知劉岳云見到《算學課藝》之時，高平和、高平較二形已先有定名。(3)至于陳維祺“海鏡二表”，有證據(jù)表明，受到李善蘭《九容圖表》的影響。[3]謂之“全同余說而稍變其面目”，似屬過當。故《測圓海鏡通釋》4卷的內(nèi)容當為劉岳云獨立的工作，且1881年可視為工作完成的時間。

該書的內(nèi)容梗概如下：

卷2，邊股，共12題，有邊股與另形的1事求圓徑。《測圓海鏡》卷3邊股，原17題。將第9題、第14題并入第1題，第6題并入第5題，第16題并入第11題，第8題歸入通弦類移入卷4。共得12題成卷。

卷3，通股，共16題，有通股與另形的1事求圓徑(第15題另事為明股叀勾和)。《測圓海鏡》卷5大(通)股，原18題。將第11題并入第8題，第12題并入第9題。共得16題成卷。

卷4，通弦，共25題，有通弦與另形的1事求圓徑(第23題另事為全徑虛弦和，第24題另事為邊勾底股和)。本卷第1題至第20題為新增(第13題由《測圓海鏡》卷3第8題移入)。第21題至第24題、第25題分別為《測圓海鏡》卷9上大(通)斜第1題至第4題，卷11雜糅第16題(卷12之分第7題、第8題以“書旨不同故未及”)。共得25題成卷。

卷2至卷4共53題。其中，卷4的內(nèi)容比較詳細，每題之下分列“釋曰”、“術(shù)曰”和“草曰”三項。

書名所謂通釋并非《測圓海鏡》的逐題疏解，而以識別雜記為之重點?！端銓W叢話》載：

識別雜記約五百條，多未經(jīng)審定。故于大小勾股所以比例及相等之故，仍未能融會貫通。李四香意在闡立天元，故于比例及相等之故亦未及核。余讀此書時，取雜記分別條理、為立數(shù)表，然后比例及相等之故洞然明白。于是，不循敬齋次第，別為一書，名之曰《測圓海鏡通釋》，專明大小勾股比例[及相等](8)此處疑脫“及相等”三字，“比例及相等之故”上文凡三見。據(jù)補。之理。([7]，1b)

其門人馮書的跋文稱：

細繹先生各表，始于其中比例之理、相等之數(shù)，靡弗用之吻合。([8]，1a)

門人楊駿跋文亦稱：

丙申歲，寶應先生主講尊經(jīng)書院及讀先生書，窮究一月，頗能貫通等數(shù)、比例之理。([8]，2a)

顯然，劉岳云之目的在于求故明理。對照該書內(nèi)容可知，“比例”即相似勾股形的比例式，“等數(shù)”即十三率勾股形169事的等量關(guān)系及勾股恒等式(20個)?！氨壤怼⑾嗟戎當?shù)”是勾股測圓術(shù)的理論概括。比例無須詳述，而等數(shù)則由“分別條理、為立數(shù)表”之諸率差等表與勾股相乘等數(shù)表給出。

圖1 《測圓海鏡通釋》圖式

2 《測圓海鏡通釋》圖式

在圓城圖式中，劉岳云添加過圓心且與弦平行的線段PR，如圖1所示。此線原為虛線，今改實線。4條虛線原為實線。線段交點原用漢字表示，今改字母。各直角頂點右側(cè)的數(shù)字表示十三率勾股形在本文的序號。圓城圖式原有16個勾股形。下高RtΔMUH、上平RtΔGXN、虛RtΔGTH分別有全等形RtΔASM、RtΔNWB、RtΔHEG。又，黃廣RtΔAVH、黃長RtΔGYB分別有邊長減半形RtΔASM、RtΔNWB。將RtΔMUH及RtΔAVH等5個勾股形刪去。將上高RtΔASM、下平RtΔNWB分別平移至RtΔPKO、RtΔOLR。共得11個勾股形。增加高平和RtΔPCR、高平較RtΔPDQ。共得13個勾股形。此即劉岳云的十三率勾股形。高平和形、高平較形，李善蘭分別稱之為合勾股形、斷勾股形。本文皆以合、斷名之以求簡便。十三率勾股形與圓的位置關(guān)系如表1所示：

表1 十三率勾股形與圓的位置關(guān)系1)

1) 平形、高形與圓的位置關(guān)系依極形之例補。斷形與圓的位置關(guān)系依參考文獻[15]補。其他均依劉岳云勾股九容表及副表。

十三率勾股形的確定使“九容”發(fā)展為“十三容”，勾股測圓術(shù)的內(nèi)容隨之形成系統(tǒng)。十三率勾股形具有如下的性質(zhì)：(1)十三率勾股形均相似；(2)十三率勾股形的和和與通形的13事一一對應相等；(3)由十三率勾股形的任一形求圓徑皆倍其勾股相乘積除以本形定率。后兩個性質(zhì)詳見本文第4節(jié)、第7節(jié)。

3 諸率差等表與勾股相乘等數(shù)表

識別雜記的研究需要解決兩個問題：(1)勾股形等量關(guān)系之確定。(2)圓徑冪公式(包括半段徑冪公式、半徑冪公式)及各率勾股形的圓徑公式由來之解釋。

每個勾股形有13事，十三率勾股形共169事。在169事中，存在2事相等、1事等于另1事2倍的情形。顯然，若所給2事相等或為倍半則不能據(jù)以求得圓徑。若作等量代換運算則需確知2事相等或為倍半。169事，必先厘清其等量關(guān)系，而后始可付諸應用。又由十三率勾股形的圓徑公式以及圓徑冪公式的結(jié)構(gòu)可以概括出，已知滿足條件的2事，運用有限次五則運算(加、減、乘、除、開平方)可以表示圓徑。據(jù)此可以回答“勾股測圓術(shù)是什么”這一問題，而諸式的依據(jù)并不清楚。解釋其由來即以闡明其依據(jù)，俾有所取信。以上兩個問題之解決，皆賴本節(jié)標題所指二表之應用。

諸率差等表，如表2所示。原表橫行，今改豎列。原表黃廣形、黃長形今刪。表2的左半與右半結(jié)構(gòu)相同。茲以左半為例說明其意義。通形由底形與高形構(gòu)成，高形由虛形與明形構(gòu)成，底形由小差形與高形構(gòu)成(亦由平形與極形構(gòu)成)，小差形由平形與叀形構(gòu)成，平形由叀形與虛形構(gòu)成。對照圖1，顯然正確。再考慮到表2的右半，可得：

平=叀+虛
極=叀+虛+明
邊=叀+2虛+2明 高 =虛+明
大差=虛+2明
通 =2叀+3虛+2明 小差=2叀+虛
底 =2叀+2虛+明

此外，

合=高+平=叀+2虛+明 斷=高-平=明-叀

表2 諸率差等表

由此可知，在十三率勾股形中，叀形、虛形、明形可以作為基本的3形表示其他10形。上述各式稍顯復雜，不便入算，可簡化如下。由

因而，亦可用極形、高形、平形表示其他10形：

通 =高+平+極

小差=極-高+平

明 =極-平

斷 =高-平 大差=高-平+極

底 =極+平

叀 =極-高

虛=高+平-極

邊=極+高

合=高+平

圖2 極高平的關(guān)系

以上10式對勾、股、弦均成立。例如：

通勾=高勾+平勾+極勾

通股=高股+平股+極股

通弦=高弦+平弦+極弦

由識別雜記又可知，極形、高形、平形的勾、股、弦之間的關(guān)系：

極弦=高股+平勾(“極弦乃高股平勾共”。識別雜記，諸弦)

高弦=極股(“日之于心與日之于山同”。識別雜記，諸雜名目)

平弦=極勾(“川之于心與川之于月同”。同上)

高勾=平股(均等于半徑)

如圖2，過切點作半徑Oζ(劉岳云稱之為極垂線)。RtΔMON、RtΔMζO、RtΔOζN分別是極形，高形，平形。上列4式顯然成立。

以上關(guān)于極形、高形、平形的14個等式用于計算169事的等量關(guān)系。

勾股相乘等數(shù)表，即勾股恒等式表，如表3所示。(9)本表與勾股十三事加減表始見于吳嘉善《算書二十一種·勾股》，同治二年(1863)自序，白芙堂算學叢書本。劉氏此二表當出于此。原表豎列，今改橫行。原表“大差”和“二小差”，“差”字均改作“較”以與13事名稱一致。設(shè)通形的三邊分別為a、b、c。其中，a

表3 勾股相乘等數(shù)表

和較×和和=較較×較和

可由

二勾×股=和較×和和 二勾×股=較較×較和

導出，亦刪去之，共余20式。為了下文討論之便，茲將20個勾股恒等式的順序稍作調(diào)整，排列如下：

(1)勾×和和=大和×較較

(3)勾×和較=小較×較和

(5)二勾×小和=較較×和和

(7)股×和和=小和×較和

(9)股×和較=大較×較較

(11)二股×大和=較和×和和

(13)二股×勾=和較×和和

(15)和和2=二大和×小和

(17)和較2=二小較×大較

(19)勾2=小較×大和 (2)勾×較和=大和×和較

(4)勾×較較=小較×和和

(6)二勾×大較=和較×較和

(8)股×較和=大較×和和

(10)股×較較=小和×和較

(12)二股×小較=較較×和較

(14)二股×勾=較較×較和

(16)較和2=二大較×大和

(18)較較2=二小較×小和

(20)股2=大較×小和

以上20個勾股恒等式對十三率勾股形的任一形均成立，下文不止一次運用之。

4 十三率勾股形的等量關(guān)系補證

等量關(guān)系可以分為基本的與主要的兩類。諸率等數(shù)表(12)刪去黃廣形、黃長形及明叀和形。給出十三率勾股形的基本等量關(guān)系，《算學叢話》又概括為如下的規(guī)律：

通、邊、底、大差、小差、高、平(倍高即廣、倍平即長、故不數(shù))(13)括號內(nèi)文字系原文的雙行夾注。下同。、極、虛、明、叀、合、斷(即高平和、高平較二率)，凡十三率。通得各率之和和，邊得各率之大和，底得各率之小和，大差得各率之較和，小差得各率之較較，高得各率之股，平得各率之勾，極得各率之弦，虛得各率之和較，明得各率之大較，叀得各率之小較，合得各率之和，斷得各率之較，互為比例。故不增高平和、高平較二率，其理不備也。

諸率等數(shù)表及以上的規(guī)律，初讀不得其詳。為了準確理解，茲將該表內(nèi)容逐項寫出，如表4。在表4中，十三率勾股形的順序有所調(diào)整以與表1一致，而規(guī)律不變。例如，“通得各率之和和”，即十三率勾股形的和和與通形的13事一一對應相等。“邊得各率之大和”即十三率勾股形的大和(股弦和)與邊形的13事一一對應相等。

由表4可見，左上至右下對角線上共13事，每格內(nèi)均標注短線，表示該事無等量(自身相等)。此13事，晚清支寶枬(1854～1912)稱之為本形定率。[16]例如，通形的定率是和和，大差形的定率是較和。對角線下方78事，每事的等量寫在相應的格內(nèi)，共得78個等量關(guān)系，本文稱之為基本等量關(guān)系。對角線上方的78個等量關(guān)系與下方的78個一一對應相同。茲以大差和和為例說明其計算過程，其他各事仿此可得：

大差和和=通較和

大差和和=大差股+大差勾+大差弦

=高股-平股+極股 (大差=高-平+極)

+高勾-平勾+極勾

+高弦-平弦+極弦

=高股-高勾+高弦 (高勾=平股

+平股-平勾+平弦 高弦=極股

+極股-極勾+極弦 平弦=極勾)

=通股-通勾+通弦 (高+平+極=通)

=通較和

此即大差和和與通較和兩格的內(nèi)容。

除基本等量關(guān)系外，《測圓海鏡通釋》還用到不見于表4的另一些等量關(guān)系。例如，卷4第20題，

通和和=2邊小和

此外，卷2第8題、第12題，卷3第2題、第7題，卷4第1題、第14題、第17題、第18題等等均有其例。此類等量關(guān)系，劉岳云曾否集中列于卷1，今不得知。

此類等量關(guān)系本文稱之為主要等量關(guān)系，共有20個。其原始記載散見于識別雜記各節(jié)。運用基本等量關(guān)系的算法，并注意到

極弦=高股+平勾

即可求得之，其規(guī)律隨之可見。由表4可知，只需計算對角線下方的78事即可。顯然，除極形、高形、平形外，合形與斷形均不含極弦亦無需考慮。故只需對其余7形施以上述代換。茲將計算結(jié)果列為表5。在表5中，凡格內(nèi)標注短線者，表示該事的等量與表4的結(jié)果相同，視為在本表無等量。粗實線弦折形內(nèi)共28事。其中8事無等量，余20事有之，計有20個等量關(guān)系。弦折形外共27事。其中8事無等量，余19事有之，而高勾有等量2事，亦有20個等量關(guān)系。弦折形內(nèi)外各有20個主要等量關(guān)系且一一對應相同。表4對

角線下方78事各有等量1事，而其中的20事還有另1事，故此20個等量關(guān)系稱為“主要的”，以示區(qū)別。茲仍以大差和和為例說明之，其他各事仿此可得：

高大和在表5對角線下方，取2高大和入表。此即大差和和與高大和兩格的內(nèi)容。邊股在對角線上方，2邊股暫不入表。

如前所述，弦折形內(nèi)外各有20個主要等量關(guān)系且一一對應相同。弦折形之外的20個分布在平形一行上6個，高形一行上8個，對角線上6個。為了討論之便，以此為序?qū)?0個主要等量關(guān)系逐一寫出(系數(shù)有半者化整)，即

(1)平和和=邊較較 (2)平較和=邊和較

(3)平和較=叀較和 (4)平較較=叀和和

(5)二平小和=小差和和 (6)二平大較=虛較和

(7)高和和=底較和 (8)高較和=明和和

(9)高和較=明較較 (10)高較較=底和較

(11)二高大和=大差和和 (12)二高小較=小差和較

(13)二高勾=虛和和 (14)二高勾=小差較和

(15)通和和=二邊小和 (16)大差較和=二明大和

(17)虛和較=二叀大較 (18)小差較較=二叀小和

(19)平勾=叀大和 (20)高股=明小和

為了運用的方便，表5需做兩點補充。(1)在各格所記的1事之下，依表4補入該事之等量。例如，大差和和格記有二高大和，其下補二邊股。而邊小和格記有半通和和，其下無可補。通和和為本形定率，無等量(自身相等)。此種情形共有6格。將對角線上及其下方當補者如法補足。(2)將對角線下方各格內(nèi)容補入上方相應各格。例如，大差和和格之二高大和、二邊股補入通較和格。凡在表5無等量者仍標注短線。補充的結(jié)果形成表6。

表4與表6統(tǒng)稱為“十三率勾股形等量表”，兩表可合并寫成一表，茲從略。合并后的表與李善蘭“十三率勾股形等量表”([3]，47頁)比較：虛和和，小差較和，通和較，大差較較，高勾，平股等6格有所不同。李善蘭表后原有補識：“大和較，大差較較，虛和和，小差較和均等圓徑。平股，高勾均等半徑。”據(jù)此，將李善蘭表上述6格內(nèi)容稍作改動則兩表全同。

表4對角線上及對角線下方共13+78=91事。表5弦折形內(nèi)有等量的共20事(亦即20個主要等量關(guān)系等號右端的20事)，相減，得71事，即所謂獨立的71事([5]，709頁)。再減去表4對角線下方等于半徑的高勾，共余70事。此70事無彼此相等、倍半及等于半徑者，任取其中2事作為已知條件可得圓徑。

5 主要等量關(guān)系與勾股恒等式的變換

20個主要等量關(guān)系是20個勾股恒等式在十三率勾股形中的表現(xiàn)形式，其原因是兩者可以變換。

主要等量關(guān)系變?yōu)楣垂珊愕仁?。為了簡便，引入泛積的概念。設(shè)通形的第i事為pi，和和為p1，第j率勾股形的第i事為pji，和和為pj。因十三率勾股形均相似，故

晚清陳維祺稱pjpi是pji的泛積[17]，i,j=1,2,,13。因十三率勾股形的和和與通形的13事一一對應相等，故pj亦即通形的第j事。據(jù)此，由通形的勾、股、弦即可求得十三率勾股形169事的泛積。一如上文，通形的三邊分別為a、b、c，將20個主要等量關(guān)系依次寫成泛積式如下：

(1)a(b+a+c)=(c+b)(c-b+a) (2)a(b-a+c)=(c+b)(b+a-c)

(3)a(b+a-c)=(c-b)(b-a+c) (4)a(c-b+a)=(c-b)(b+a+c)

(5)2a(c+a)=(c-b+a)(b+a+c) (6)2a(c-a)=(b+a-c)(b-a+c)

(7)b(b+a+c)=(c+a)(b-a+c) (8)b(b-a+c)=(c-a)(b+a+c)

(9)b(b+a-c)=(c-a)(c-b+a) (10)b(c-b+a)=(c+a)(b+a-c)

(11)2b(c+b)=(b-a+c)(b+a+c) (12)2b(c-b)=(c-b+a)(b+a-c)

(13)2ba=(b+a-c)(b+a+c) (14)2ba=(c-b+a)(b-a+c)

(15)(b+a+c)2=2(c+b)(c+a) (16)(b-a+c)2=2(c-a)(c+b)

(17)(b+a-c)2=2(c-b)(c-a) (18)(c-b+a)2=2(c-b)(c+a)

(19)a2=(c-b)(c+b) (20)b2=(c-a)(c+a)

又將表3的20個勾股恒等式寫成字母表達式，所得與上列20個泛積式一一相同。以上說明“系”可變?yōu)椤笆健薄?/p>

勾股恒等式變?yōu)橹饕攘筷P(guān)系。茲以勾股恒等式(1)導出主要等量關(guān)系(1)為例說明之。仿此，其他各式依次可得：

式(1)

勾×和和=大和×較較

A.平形的定率是勾。在平形中，由式(1)有

即

平和和=邊較較

(A1)

又

即

平和和=小差大和

(A2)

B. 通形的定率是和和。在通形中，由式(1)有

即

通勾=邊較較

(B1)

又

通勾=小差大和

(B2)

C.邊形的定率是大和。在邊形中，由式(1)有

即

邊較較=平和和

(C1)

又

邊較較=通勾

(C2)

D.小差形的定率是較較。在小差形中，由式(1)有

即

小差大和=平和和

(D1)

又

小差大和=通勾

(D2)

在上列各步中，(B)、(C)、(D)的步驟有省略，參見(A)自明。在上列8個等量關(guān)系中，(A1)、(C1)即表5平和和與邊較較2格的內(nèi)容，(A1)即主要等量關(guān)系(1)。以上說明“式”可變?yōu)椤跋怠薄?/p>

上列8個等量關(guān)系即表6平和和，邊較較，通勾，小差大和4格的內(nèi)容。這一推導方法可用于檢驗表6的正確性。

6 等量關(guān)系運用舉例

由十三率勾股形的等量關(guān)系可以導出以下4個常用的輔助關(guān)系：

因 高股=明小和=明弦+明勾，又由圖2，

高股=明弦+Gζ

故 明勾=Gζ

因 平勾=叀大和=叀弦+叀股，又由圖2，

平勾=叀弦+Hζ

故 叀股=Hζ

因 邊股=高大和=高弦+高股，又由圖2，

高弦+高股=Aζ

故 邊股=Aζ

因 底勾=平小和=平弦+平勾，又由圖2，

平弦+平勾=Bζ

故 底勾=Bζ

以上4式即今之切線長定理，運用該定理可減少代換使運算簡化。虛和和、小差較和、通和較、大差較較均等于圓徑的證明即其一例。字母表示的4個量不在169事之內(nèi)，可視為輔助量。

在命題證明、方程建立過程中，等量代換是常用的方法。茲以不在同一勾股形的2事加減為例說明之。以下各例選自識別雜記，運算過程系本文所加。

識別雜記的個別條目或自注包含等量代換的提示，《測圓海鏡》四庫館按亦有個別提示。雖為數(shù)極少，但給出命題證明的方向。

7 十三率勾股形圓徑諸公式補證

勾股九容表及副表、圓徑冪等數(shù)表分別給出十三率勾股形的圓徑公式與圓徑冪公式。副表為劉岳云新增，包括高、平、合、斷的圓徑公式。其他各式出自《測圓海鏡》卷2與識別雜記內(nèi)諸雜名目節(jié)?！稖y圓海鏡》約有半數(shù)的題目依上述公式建立方程，而公式的由來并未明示?！稖y圓海鏡通釋》有所提示。茲據(jù)勾股恒等式，并注意到高勾、平股均等于半徑，虛和和、小差較和、通和較、大差較較均等于圓徑，試為推導。

以下推導圓徑公式，十三率勾股形順序依表4。

勾股恒等式(13)

2股×勾=和較×和和

對于十三率勾股形均成立。又，通和較、虛和和均等于圓徑，任取其一，此取通和較。

在通形中，有

2通股×通勾=通和較×通和和，

即

在大差形中，有

即

在虛形中，有

即

在小差形中，有

即

依序繼續(xù)進行，直至在斷形中，有

即

由此可歸納得

此即十三率勾股形的圓徑公式。各式的等量代換及本形定率參見表4。

由勾股恒等式(14)，又，大差較較、小差較和均等于圓徑，任取其一，可得同樣的結(jié)果。

以下推導半段徑冪公式：

勾股恒等式(17)

和較2=2小較×大較

在通形中，有

通和較2=2通小較×通大較，通和較=徑，

即

此即前式。由勾股恒等式(15)，在虛形中可得同樣的結(jié)果。

勾股恒等式(18)

較較2=2小較×小和

在大差形中，有

大差較較2=2大差小較×大差小和，大差較較=徑，

即

此即后式。由勾股恒等式(16)，在小差形中可得同樣的結(jié)果。

以下推導半徑冪公式：

半徑2=叀股×邊股 半徑2=明勾×底勾

半徑2=高股×平勾 半徑2=明小和×叀大和=明大和×叀小和

勾股恒等式(19)

勾2=小較×大和

在高形中，有

高勾2=高小較×高大和，高勾=半徑，

即

勾股恒等式(20)

股2=大較×小和

在平形中，有

平股2=平大較×平小和，平股=半徑，

即

以上為前2式。又，

以上為后2式。圓徑冪公式計有6式，各式的等量代換參見表4和表6。

由勾股定理，弦可由勾、股表出，故以上諸式皆以2事并五則運算表示圓徑，且皆可由勾股恒等式導出。勾股恒等式原為求解與構(gòu)造勾股形的公式，今用以求解圓徑?？梢姡垂珊愕仁绞枪垂珊洼^術(shù)與勾股測圓術(shù)共同的理論依據(jù)。

晚清算家已注意到圓徑公式與圓徑冪公式的證明([1]，第3節(jié)、第4節(jié))。然而，或證前者，或證后者，且方法各異。運用勾股恒等式可使證法劃一且較簡單。由本文下節(jié)可見劉岳云運用這一方法的例子，雖僅有兩例，但可得到提示。

8 《測圓海鏡通釋》校改

尊經(jīng)書局本刊刻不精。存古書局重印本亦未校改。今依校算，就術(shù)與草的文字錯漏予以校改。凡校改的文字用方括號標出，隨文說明理由。算式亦有個別符號、系數(shù)錯誤，依草演算不難改正。以下僅注明“算式有誤”，具體算式從略。

(1)卷2第10題 邊股、明弦求圓徑。

第一法演草：“另以，又與高較和[冪]相乘得為同數(shù)?！?/p>

按：“冪”，原文誤奪。同數(shù)當為

(2邊股×半徑+高較和2)×高較和2

依算校補。算式有誤。

(2)卷2第12題 邊股、叀小和求圓徑。

第一法演草：“為小差大較，[與小差大和]相乘得為半段徑冪。寄左?！?/p>

按：“與小差大和”凡五字，原文誤奪。由勾股恒等式(16)知，

小差較和2=2小差大較×小差大和

而小差較和即圓徑，故小差大較當與小差大和相乘為半段徑冪。上文已求得小差股、小差弦，相加即得小差大和。依算校補。算式有誤。

(3)卷3第15題 通股、明股叀勾和求圓徑。

第三法演草：“立天元一為半徑，，置通股，以天元減之得為[半通較和]。以二之天元乘之得，合以通大較除之為通勾?！?/p>

按：“半通較和”，原文誤作“倍通黃”。通股減天元半徑等于邊股，而倍通黃即四半徑，兩者無必等之理。通較和等于倍邊股，故通股減天元半徑與半通較和等。由勾股恒等式(6)知，

又，通和較即圓徑，亦即二之天元。以二之天元乘半通較和，除以通大較得通勾，與末句恰符。依算校改。

(4)卷4第2題 通弦、明和求圓徑。

演草：“另于全徑加倍通弦得為通和和，與[倍]明和相乘得，內(nèi)減通弦冪，又加四之半徑冪得，自之得，為同數(shù)?！?/p>

按：“倍”，原文誤奪。同數(shù)當為

(通和和×2明和-通弦2+4半徑2)2

依算校補。

(5)卷4第6題 通弦、大差較求圓徑。

術(shù)文：“四為[負]隅。開立方得半徑?！?/p>

按：“負”，原文誤作“正”。若為正隅，方程其他各項當正負易號。依算校改。算式有誤。

(6)卷4第7題 通弦、大差和求圓徑。

演草：“為全徑。加通弦得為通和。[再加通弦為通和和。通和]自之得為通和冪?！?/p>

按：“再加通弦為通和和。通和”凡十字，原文無之。演草下文需用通和和、通和冪入算。依意校補。

又，演草：“為通弦乘通和于上，又以通和[和]乘大差和得下式，以減上得，自之得，為同數(shù)?！?/p>

按：下一“和”字，原文誤奪。同數(shù)當為

(通弦×通和-通和和×大差和)2

依算校補。算式有誤。

(7)卷4第9題 通弦、高小較求圓徑。

演草：“為高較較。以半徑乘之得下式為高和和[乘高小較]冪?！?/p>

按：“乘高小較”凡四字，原文誤奪。由勾股恒等式(4)知，

高勾×高較較=高小較×高和和

又，高勾即半徑。故高和和須與高小較相乘方與下式等。依算校補。

(8)卷4第11題 通弦、高和求圓徑。

術(shù)文：“通弦減倍高和，自乘[于上，高和自乘倍之，以減上]，為正從。”

按：“于上，高和自乘倍之，以減上”凡十一字，原文誤奪。正從當為

(通弦-2高和)2-2高和2

依算校補。

(9)卷4第12題 通弦、高平和之和(14)高平和之和即合勾股形之勾股和，亦即合和。求圓徑。

術(shù)文：“倍通弦與[高平和之和]相減，[倍之]為正從?！?/p>

按：“高平和之和”，“高”上原衍一“倍”字，今刪?！氨吨倍?，原文誤奪。正從當為

2(2通弦-合和)

依算校改。

(10)卷4第16題 通弦、邊較和求圓徑。

演草：“為通和和，加邊較和得，自之得，通[較]冪乘之得為如積?！?/p>

按：“較”，原文誤作“弦”。如積當為

(通和和+邊較和)2×通較2

依算校改。

(11)卷4第22題 通弦、通較求圓徑。

演草：“為倍通小較，加倍通較得為倍通大較，與倍通小較相乘得為[兩]段徑冪，為如積。”

按：“兩”，原文誤作“半”。由勾股恒等式(17)知，

通和較2=2通小較×通大較

又，通和較即圓徑。上式兩端各倍之，得兩段徑冪。依算校改。

9 “如積同數(shù)式”補證

《測圓海鏡通釋》卷4前20題，除第13題外，為劉岳云新增。諸題體現(xiàn)了劉岳云建立圓徑方程的方法。每題均立天元為半徑，計算如積、同數(shù)，兩式相消得方程。此系天元術(shù)常法，無需贅言。其法之難點在于尋求相等的如積與同數(shù)。此式為建立方程的依據(jù)，而各題均未說明其由來。本文以“比例之理、相等之數(shù)”為據(jù)，將其中比較典型的如積同數(shù)式予以補證以求其立術(shù)之由。如積同數(shù)式所需各項，散見于原文之“釋曰”與“草曰”之內(nèi)。茲稍加整理、補充，統(tǒng)一置于各式之前。方程均以《測圓海鏡》卷1今問正數(shù)驗證之。

(1)卷4第5題 通弦、虛小較求圓徑。

記通弦=α，虛小較=β，半徑=x，則

虛和和=徑=2x， 通和=通弦+徑=α+2x

通和和=2通弦+徑=2α+2x，通較2=2通弦2-通和2=2α2-(α+2x)2

如積同數(shù)式

半徑2×通較2=(通弦×半徑-2半徑2-虛小較×通和和)2

方程

2x4+2βx3+β(α+β)x2-αβ(α-2β)x+α2β2=0

依今問正數(shù)，α=680 ，β=12，代入，求得x=120。

將如積同數(shù)式兩端開平方，移項，整理，

即

虛小較×通和和=虛和和×通小較

此式顯然成立。且虛和和，通和和及虛小較已由α，β，x表出，只需將通小較表出。逆推即得。

(2)卷4第9題 通弦、高小較求圓徑。

記通弦=α，高小較=β，半徑=x，則

通和較=2高勾=徑=2x ，高和較=高勾-高小較=x-β
高較較=高勾+高小較=x+β

如積同數(shù)式

高勾×(高勾×高較較-高勾×高小較+高小較2)=通弦×高和較×高小較

方程

x3-β(α-β)x+αβ2=0

依今問正數(shù)，α=680，β=30，代入，求得x=120。

將如積同數(shù)式兩端同除以高小較，并注意到勾股恒等式(4)，

整理，

即

通弦×高和較=通和較×高弦

此式顯然成立。且通和較，高和較及通弦已由α、β、x表出，只需將高弦表出。逆推即得。

(3)卷4第14題 通弦、邊和求圓徑。

記通弦=α，邊和=β，半徑=x，則

邊小和=通弦+半徑=α+x， 平勾=邊小較=邊小和-邊和=α+x-β

合勾=平勾+半徑=α+2x-β，平股=半徑=x

合較和=合大和-合勾=邊和-合勾=2β-α-2x，通和=通弦+徑=α+2x

如積同數(shù)式

平勾×通和×合較和=2半徑×邊和×合勾

方程

4x3+4(2α-β)x2+(5α2+2β2-8αβ)x+α(α2+2β2-3αβ)=0

依今問正數(shù)，α=680，β=736，代入，求得x=120。

將如積同數(shù)式兩端除以2邊和，并注意到勾股恒等式(11)，

整理，

即

半徑×合勾=平勾×合股

亦即

平股×合勾=平勾×合股

此式顯然成立。且平勾，合勾及平股已由α、β、x表出，只需將合股表出。逆推即得。

(4)卷4第17題 通弦、邊和較求圓徑。

記通弦=α，邊和較=β，半徑=x，則

通和較=大差較較=徑=2x，大差勾=邊和較=β

大差小較=大差較較-大差勾=2x-β，大差和較=大差勾-大差小較=2β-2x

通和和=2通弦+徑=2α+2x

如積同數(shù)式

通和和×大差和較×大差小較=4半徑2×邊和較

方程

2x3+2(α-β)x2-β(3α-β)+αβ2=0

依今問正數(shù)，α=680，β=192，代入，求得x=120。

將如積同數(shù)式兩端同除以大差小較，并注意到勾股恒等式(4)，

整理，

即

通和和×大差和較=通和較×大差和和

此式顯然成立。且通和較，大差和較及通和和已由α、β、x表出，只需將大差和和表出。逆推即得。

(5)卷4第19題 通弦、邊勾求圓徑。

記通弦=α，邊勾=β，半徑=x，則

平弦=邊勾-半徑=β-x，邊弦=通弦-平弦=α-β+x
通和=通弦+徑=α+2x，平股=半徑=x

如積同數(shù)式

通弦×(平弦×邊勾+半徑×邊弦)=平弦×通和×邊弦

方程

2x3+4(α-β)x2+2(α2+β2-3αβ)x-αβ(α-2β)=0

依今問正數(shù)，α=680，β=256，代入，求得x=120。

將如積同數(shù)式兩端同除以平弦，整理，

即

通和×邊弦=通弦×邊和

此式顯然成立。且通弦，邊弦及通和已由α、β、x表出，只需將邊和表出。逆推即得。

(6)卷4第20題 通弦、邊大和求圓徑。

記通弦=α，邊大和=β，半徑=x，則

邊小和=通弦+半徑=α+x，邊和和+邊弦=邊小和+邊大和=α+x+β
通和和=2通弦+徑=2α+2x，通和和+通弦=3α+2x

如積同數(shù)式

[邊大和×(通和和+通弦)]2=(邊小和+邊大和)2×邊大和×通和和

方程

2x3+6αx2+(6α2+2β2-4αβ)x+α(2α2+2β2-5αβ)=0

依今問正數(shù)，α=680，β=1024，代入，求得x=120。

將如積同數(shù)式兩端開平方，并注意到勾股恒等式(15)，

邊和和2=2邊大和×邊小和

整理，

即

邊大和×(通和和+通弦)= (邊和和+邊弦)×通大和

此式顯然成立。且(邊和和+邊弦)，(通和和+通弦)及邊大和已由α、β、x表出，只需將通大和表出。逆推即得。

由以上各題可知，如積同數(shù)式化簡的結(jié)果是一個四項比例式。因而，建立方程的難點是確定式中的各項。據(jù)原文之“釋曰”、“草曰”可以推測，比例四項的確定應由易至難分步進行。首先確定兩相似勾股形對應的兩項，其次確定第三項。由此可推知比例式。最后確定第四項。以第(1)題為例，據(jù)已知條件及所設(shè)未知元，先確定虛和和、通和和，次確定虛小較，得比例式，后確定通小較。整理即得如積同數(shù)式。已知2事求圓徑，一題可有多種解法，而劉岳云則多題以一法求解。顯然，其意在說明“比例之理、相等之數(shù)”的一般性。

《測圓海鏡》討論的問題是《九章算術(shù)》勾股容方與勾股容圓的推廣?！毒耪滤阈g(shù)》勾股章第14題、第15題分別由勾股形的2事求其內(nèi)容方邊、內(nèi)容圓徑。[18]《測圓海鏡》圓城圖式以半徑為容方邊使容方、容圓集中在一個圖形之中，又將勾股形增加至16個。圓城圖式與識別雜記的主要成果包括，勾股容圓概念的擴充、“九容”的確定、諸勾股形“五和五較”等量關(guān)系的表述、九容公式與圓徑冪公式的建立。在此基礎(chǔ)上，又運用天元術(shù)建立方程求解圓徑。自《九章算術(shù)》上述兩題的劉徽注文之后，容方與容圓問題的討論極少。《測圓海鏡》豐富了勾股算術(shù)的內(nèi)容，為勾股測圓術(shù)的內(nèi)容形成系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。

十三率勾股形的確定使勾股測圓術(shù)的內(nèi)容形成系統(tǒng)，而以圓城圖式添加過圓心且與通弦平行的線段為之關(guān)鍵。圓城圖式的16形之中，刪去重復者，共得11形。由識別雜記知，極形的13事之中，有11事與此11形的弦一一對應相等。而所載極和為“高弦平弦共”，極較為“明股內(nèi)去叀勾”。極和、極較并無與之對應的勾股形的弦。又，11形之中，高形、平形與圓均未構(gòu)成相容的位置關(guān)系。這兩個問題不解決，十三率勾股形無從確定。在《測圓海鏡》中，“弦上容圓”凡兩見，即卷2第5題與卷11第6題。依題目數(shù)據(jù)推算，前題過圓心的弦與通弦不平行，后題平行。若將后題的弦畫在圓城圖式上，則高、平、合、斷四形各得其位。由此，十三率勾股形容易確定?！稖y圓海鏡》未能完成這一工作的原因，當與中國傳統(tǒng)數(shù)學缺少明確的平行線概念有關(guān)。

勾股測圓術(shù)內(nèi)容的系統(tǒng)化及其理論的概括與運用是晚清數(shù)學的一項重要工作。其中，劉岳云的工作可以簡圖表示如下：

從獨立的70事中任取2事作為已知條件求解圓徑，所取的2事或在或不在同一率勾股形中。當在同一率勾股形時，解此勾股形，再運用該率勾股形的圓徑公式即可。當不在同一率勾股形時，若滿足圓徑冪公式的條件則開平方即可；若否，立天元建立圓徑方程。故這一簡圖可以視為“比例之理、相等之數(shù)”的詮釋，亦可說明勾股測圓術(shù)已臻完善。自容方、容圓以至于此，其間的軌跡大致如下：

容方、容圓——九容 ——十三容 ——比例、等數(shù) ——圓徑

考察晚清勾股測圓術(shù)的工作可見，當時的算家能夠比較熟練地運用平行線、中垂線、漢譯代數(shù)符號等西方數(shù)學知識。此為勾股測圓術(shù)得以發(fā)展與完善的重要原因。