劉 燕，張 健，呂 瑛

（西北工業(yè)大學明德學院信息工程學院，西安710124）

1 引 言

隨著航天技術的飛速發(fā)展，各國發(fā)射入軌的航天器及運載器數量不斷增加，而廢棄的航天器卻絕大多數滯留在軌道上，令近地空間變得越來越擁擠，空間環(huán)境問題越來越突出。更令人擔憂的是，空間目標與空間碎片數量逐漸增多，相互之間撞擊的概率越來越大。在人類航天史上，幾次空間碰撞事件的發(fā)生都是極小概率、重大問題的體現。2009 年2 月11日。美國“銥-33”移動通信衛(wèi)星與俄羅斯已廢棄的“宇宙-2251”軍用通信衛(wèi)星在西伯利亞北部上空約190km 處當空相撞，巨大的動能使得兩顆衛(wèi)星瞬時化作兩團碎片云。這是人類發(fā)展航天事業(yè)以來，歷史上首次發(fā)生的兩顆整星相撞事件。撞擊事件的發(fā)生加深了人們對空間安全預警探測問題的關注，引起各國的高度重視[1-2]。獲取空間目標信息已變得尤為重要，其中，光學信息獲取是最為重要的探測方式。

空間目標光學信息可以由地基或天基的各類光電傳感器通過遙感獲取。信息的獲取主要包括可見光信息、紅外信息、光譜信息和偏振信息等。為了分析獲取的光度信息，近幾年研究人員展開了光度模型的研究，其中基于雙向反射分布函數（BRDF）的視星等曲線研究成為熱點。在此分析三種常用的BRDF 模型，指出三種模型各自的特點及適用條件，為后續(xù)研究空間目標的視星等曲線建立基礎。

2 雙向反射分布函數

為了表征物體表面光散射的空間分布，1977 年Nicodemus 給出BRDF 的嚴格定義：經過目標表面反射沿著(θr,r)方向出射的輻亮度dLr(θr,r,Δ)與沿著(θi,i)方向入射到目標表面的輻照度dEi(θi,i)之比。輻亮度定義為：沿著輻射方向單位面積、單位立體角的輻射通量，單位W/(sr·m2)；輻照度定義為：單位面積的輻射通量，單位W/m2。圖1 給出了定義BRDF 坐標的幾何角度關系，其中θ,分別表示天頂角和方位角，下標i 和r 分別表示入射和探測方向分量。

圖1 BRDF 幾何關系圖

BRDF 的一般定義如下式表示：

它是一個微分量，不能直接測；取值范圍為零到無限大，單位sr-1。BRDF 表示不同入射角條件下物體表面在任意觀測角的反射特性，能夠全面反映各種因素對反射輻射的影響。

BRDF 可表示光的一個基本特性，能夠全面描述目標的反射光譜在半球空間的分布情況，量化描述不同的入射方向和探測方向的面散射特性和體散射特性的差異。目標表面的面散射特性與表面粗糙度緊密相關，越光滑，鏡面反射分量越強，漫反射分量相對較弱。體散射光是由于目標材質不均勻或由不同材質混合而成時，透射光波中一部分經過多次散射、穿過目標表面重新回到大氣中而產生的。對于理想的漫反射表面，其標量BRDF 函數與探測幾何位置、光源幾何位置無關，即BRDF 值不具有方向性，可以利用朗伯表面的BRDF 值ρ/π 代替，其中ρ為反射率，定義為反射輻射通量與入射輻射通量之比。但是自然界中大部分目標表面都不是朗伯表面。因此，出現了很多不同種類的BRDF 模型來描述目標表面的散射特性。

2.1 Torrance-Sparrow 模型

基于鏡面反射的微面元理論提出的Torrance-Sparrow 模型目前已經成功應用于遙感探測，用高斯分布作為微面元的概率分布函數[3-4]。微面元理論可簡述為：如果目標表面粗糙度大于或等于入射輻射波長，則其可被看成是由一組微面元組成；微面元的法線分布滿足某種概率分布，每個微面元的反射特性可近似看成是鏡面反射。Torrance-Sparrow 模型的公式如下一組公式所示：

其中，σ 表示物體表面的粗糙程度，其值越小表示物體表面越光滑；下標i 表示入射方向，r 表示觀測方向；式(3)中β 為入射方向與zμ間的夾角，=ri為方位角的差；圖2 為BRDF 與物體表面法線z 及微面元法線zμ之間的相對位置關系，式(4)中θ 為z與zμ間的夾角，即圖2 中的θN；式(5)中PD(σ,θ)為微面元方位（法向）概率分布函數；式(6)中G(θi,θr,)為遮蔽因子。

圖2 物體表面法線及微面元法線相對位置關系

2.2 各項異性Phong 模型

各向異性Phong 模型由兩部分組成，分別是鏡面反射和漫反射[5],如下面公式所示：

其中，i 表示每個面元。

鏡面反射BRDF 可表示為：

式中Rspec為目標材料鏡面反射率，上標B 表示目標本體坐標系表示面元指向太陽的單位矢量表示面元指向觀測站的單位矢量表示面元指向太陽矢量與指向觀測站矢量的平分單位矢量表示面元法線單位向量在面元內且相互垂直，與三者符合笛卡兒坐標系右手定律。

式(8)中，D 為材料鏡面反射分布特性，有：

菲涅爾反射為：

式中Rdiff為目標材料漫反射率，漫反射BRDF 即為：

2.3 Davis 模型

Davis 模型如下式所示[6-7]：

式中ρ 為反射率，λ 為波長，σ 為表面粗糙度均方根；a 為表面自相關長度，入射角為(θi,i)，面元上的出射角則為

3 仿真分析

圖3 所示為在觀測角θr=30°、方位角=180°時，粗糙度σ 分別取0.1、0.2、0.3 時，Torrance-Sparrow BRDF 模型的值隨入射角θi的變化規(guī)律，可以看出隨著粗糙度的增大，表面的鏡面反射分量減小，漫反射特性更加明顯。

圖3 不同粗糙度下BRDF 與入射角的關系

圖4 為由各項異性Phong 模型仿真得到的相位角變化曲線圖。相位角是指觀測矢量和光源入射矢量之間的夾角，它的變化是目標位置變化的結果。各項異性Phong 模型是基于單位矢量表示的，可以通過獲取目標、光源和觀測點的坐標位置得出相應的單位向量，然后與目標的材料參數，幾何尺寸參數以及姿態(tài)參數作用以得出目標的光度值。

圖4 Phong 模型仿真相位角變化曲線

圖5 為由Davis 模型仿真得到的BRDF 在可見光波段的光譜曲線圖。可以看出BRDF 值隨著波長的增加在減小。Davis 模型中有波長參數，可用來分析目標的光譜特性。

綜上可見，基于空間目標的光度曲線特點可以反演目標的位置、姿態(tài)和大小等特性?？臻g目標光度特性建模研究成為近幾年的研究熱點[8-10]。

圖5 Davis 模型仿真BRDF 隨波長變化曲線

4 結束語

通過分析光度建模中常用的三種BRDF 模型，從仿真分析中得出基于各項異性Phong 模型的相位角隨時間變化關系、基于Torrance-Sparrow 模型的BRDF 隨入射角變化關系和基于Davis 模型的BRDF 隨波長變化關系。三種模型中使用了不同的材料參數，可以根據具體的目標空間位置及目標材料特點選擇不同的BRDF 模型。