何青玉 陳建華

摘要：變上限積分函數(shù)的誕生及原函數(shù)存在定理的發(fā)現(xiàn)是微積分學(xué)科建立的標(biāo)志.本文基于SOLO分類評價理論，以某獨立學(xué)院非數(shù)學(xué)專業(yè)大一學(xué)生為調(diào)查對象，通過測試調(diào)查學(xué)生對變上限積分函數(shù)理解的水平，提出若干教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：變上限積分函數(shù)；原函數(shù)存在定理；SOLO分類評價理論

中圖分類號：O172；G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-260X（2019）03-0007-04

1.2 SOLO分類評價理論簡介

SOLO分類評價理論是由教育心理學(xué)教授比格斯（J.B.Biggs）在皮亞杰認(rèn)知理論基礎(chǔ)上發(fā)展而來的一種學(xué)生學(xué)業(yè)評價方法，是一種以等級描述為特征的質(zhì)性評價方法.該理論通常將學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果分為前結(jié)構(gòu)水平、單元結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象水平等五個水平，并給出各個水平段學(xué)生表現(xiàn)的思維特征.前結(jié)構(gòu)水平（Prestructural）是指學(xué)習(xí)者只是簡單地考慮了問題，或者對問題基本沒有理解.單元結(jié)構(gòu)水平（Unistructural）是指學(xué)習(xí)者對題意有了一點理解，且僅能從某一方面來回答該題.多元結(jié)構(gòu)水平（Multistructural）是指學(xué)習(xí)者對問題有了更多的理解，能夠從幾個相關(guān)的方面來回答該題，但這幾個方面相互獨立，或者解題的基本方法已經(jīng)掌握但在解題過程中出現(xiàn)了失誤.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平（Relational）是指學(xué)習(xí)者能夠整體把握出題者的意圖，基本給出正確的解題過程.拓展抽象結(jié)構(gòu)水平（Extended Abstract）是指學(xué)生不僅對問題有了整體的把握，還可以將問題進(jìn)行抽象概括，使之適用于新的問題情景.近年來，SOLO分類評價理論受到了教育研究者的廣泛關(guān)注，被運用于基礎(chǔ)教育的許多課程的教學(xué)研究、試題評價研究.

2 變上限積分函數(shù)理解水平分析

2.1 測試卷的編制

根據(jù)SOLO分類評價理論，結(jié)合日常教學(xué)和調(diào)查對象的實際情況，鑒于只有極少數(shù)學(xué)生能達(dá)到拓展抽象水平.因此，根據(jù)SOLO分類理論將調(diào)查對象對變上限積分函數(shù)理解水平劃分為四個水平：P水平（前結(jié)構(gòu)水平），U水平（單元結(jié)構(gòu)水平），M水平（多元結(jié)構(gòu)水平），R水平（關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平）.據(jù)此設(shè)計測試問卷.

測試目的：主要考查學(xué)生在學(xué)習(xí)了定積分內(nèi)容后，對變上限積分函數(shù)的理解處于什么水平.問卷包含一道選擇題和五道解答題，其中選擇題包含6個關(guān)于變限積分函數(shù)命題的判定，用來初步了解不同水平等級的人數(shù)分布情況；解答題分別設(shè)計了簡單應(yīng)用（題2）、綜合應(yīng)用（題4和5）和理解（題3和6）等五道題.

2.2 測試對象的選擇

問卷調(diào)研對象為本科層次的某獨立學(xué)院大一新生，測試時間安排在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)原函數(shù)存在定理及定積分的相關(guān)計算之后.測試共發(fā)放問卷170份，回收170，其中有效問卷167份.

2.3 測試結(jié)果分析

關(guān)于測試題6，有46.1%的學(xué)生看到此題為復(fù)雜型變限積分函數(shù)的求導(dǎo)，且變限積分為抽象關(guān)系，而無法下手，或完全沒有對策，這部分學(xué)生計入前結(jié)構(gòu)水平，在數(shù)據(jù)統(tǒng)計表中用P表示.對變限積分函數(shù)有求導(dǎo)意識，但僅單純利用原函數(shù)存在定理，直接代入求導(dǎo)，卻沒有意識到具抽象關(guān)系的變限積分函數(shù)中自變量尚不明確，這部分學(xué)生占42.5%，計入單元結(jié)構(gòu)水平，在數(shù)據(jù)統(tǒng)計表中用U表示.有8.4%的學(xué)生能看出具抽象關(guān)系的變限積分函數(shù)中自變量比較復(fù)雜，并注意到被積函數(shù)中有因子t，意識到可利用因子t湊微分關(guān)系，得f（x2-t2）d（x2-t2），這部分學(xué)生計入多元結(jié)構(gòu)水平，在數(shù)據(jù)統(tǒng)計表中用M表示.

統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示僅有3%的學(xué)生能夠在湊完微分關(guān)系后，發(fā)覺可利用定積分的第一類換元進(jìn)行換元積分，或沒有進(jìn)行湊微分，但能利用第二類換元及換限的方式，正確對此變限積分函數(shù)求導(dǎo)的，這幾位學(xué)生計入關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，在數(shù)據(jù)統(tǒng)計表中用R表示.

測試題3和6同樣屬于理解級的問題，但測試結(jié)果顯示學(xué)生的理解差異較大.究其原因，主要是對變限積分求導(dǎo)問題的處理，學(xué)生從定積分性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的角度出發(fā)，考慮問題相對直接、自然，困難較小，故而有六成以上的學(xué)生能夠順利解決測試題3的求導(dǎo)問題，能夠達(dá)到多元結(jié)構(gòu)水平及關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，說明該階段學(xué)生能準(zhǔn)確抓住變限積分的相關(guān)特征，并將這些特征聯(lián)系起來，從而形成解決問題的整體思維結(jié)構(gòu)；而學(xué)生從湊微分、換元積分的角度出發(fā)，解決問題的應(yīng)變能力就相對薄弱，有近九成的學(xué)生尚停留在前結(jié)構(gòu)水平和單元結(jié)構(gòu)水平，在處理變限積分的求導(dǎo)問題時不能聯(lián)系變限積分問題所涉及的定積分表征，產(chǎn)生思維混亂等表現(xiàn)，或僅表現(xiàn)為單一的變限積分求導(dǎo)能力，盲目地對求導(dǎo)問題下手，思維不清晰.

3 教與學(xué)的建議

第三，重視不同知識之間的聯(lián)系，重視審題、提升計算能力.為了深化對變上限積分函數(shù)的理解，“函數(shù)”的意義、作用、與相關(guān)知識的聯(lián)系等功能需要全面深入理解，在求變限復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，須結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)；在求有涉及變限積分的極限問題時，可結(jié)合洛必達(dá)法則、重要極限公式及等價無窮小代換等常規(guī)手法進(jìn)行求解；應(yīng)用變限積分函數(shù)的求導(dǎo)來解決如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值、隱函數(shù)的求導(dǎo)及偏導(dǎo)數(shù)求解等相關(guān)問題.

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