秦海勇 梁家輝 路奕

摘 要：本文研究線性與非線性分數(shù)階阻尼系統(tǒng)的可控性問題。建立非線性項中含有一階導(dǎo)數(shù)項時，分數(shù)階非線性阻尼系統(tǒng)的可控性結(jié)果，并給出一個數(shù)值實例來證明結(jié)論的有效性。

關(guān)鍵詞：Laplace變換;Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù); Mittag￣Leffler函數(shù);Gamma函數(shù)

中圖分類號：O175.14

文獻標(biāo)識碼： A

最近幾年，分數(shù)階微積分在軟物質(zhì)、光學(xué)、工程學(xué)、流變學(xué)、量子力學(xué)、信號處理、反常擴散和圖像處理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者取得一系列的重要結(jié)果。文獻[1]研究了分數(shù)階微積分在汽車空氣懸架半主動控制中的應(yīng)用，有效地抑制車身共振，提高乘坐舒適性。文獻[2]研究分數(shù)階在基于滑?？刂萍夹g(shù)的永磁同步電機控制中的應(yīng)用，有效地消減傳統(tǒng)永磁同步電機滑?？刂葡到y(tǒng)中的震動，還保持了系統(tǒng)對參數(shù)和外部擾動的強魯棒性，使得系統(tǒng)達到了較高的綜合控制性能。文獻[3-7]研究了分數(shù)階微積分在膠凝原油、人工凍土遺傳、瀝青膠砂、圖像去噪和固體材料方面的應(yīng)用。文獻[8-11]基于分數(shù)階微積分理論，研究了寬帶噪聲、1/4懸架模型時滯反饋控制和經(jīng)濟波動模型穩(wěn)定性等方面問題，這些應(yīng)用研究都取得有效成果。利用分數(shù)階微分方程建立的控制系統(tǒng)模型比整數(shù)階控制系統(tǒng)模型，更能準(zhǔn)確描述相關(guān)系統(tǒng)的特性，這主要表現(xiàn)在分數(shù)階微積分對事物的描述具有記憶性，而整數(shù)階沒有這樣的性質(zhì)。因此，研究分數(shù)階微分方程理論在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用具有重要的理論和應(yīng)用價值。

4 結(jié)論

在本文中，通過逐次逼近的方法證明了非線

性阻尼系統(tǒng)的可控性，并利用數(shù)值解的方法仿真了實例，證實了結(jié)論的有效性和可行性。

參考文獻：

[1]

吳光強， 黃煥軍， 葉光湖. 基于分數(shù)階微積分的汽車空氣懸架半主動控制[J].農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2014， 45（7）：19-25.

[2]張碧陶， 皮佑國. 基于分數(shù)階滑?？刂萍夹g(shù)的永磁同步電機控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2012，29（9）：1193-1197.

[3]王志方，張國忠，劉剛.采用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)描述膠凝原油的流變模型[J].中國石油大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008， 32（2）：114-118.

[4]姚兆明，周洋，徐穎，等.人工凍土遺傳分數(shù)階導(dǎo)數(shù)加速伯格斯蠕變模型[J].工業(yè)建筑，2013（11）：73-76.

[5]李銳鐸，樂金朝，馮師蓉，等.瀝青膠砂改進分數(shù)階導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)經(jīng)驗蠕變本構(gòu)模型[J].建筑材料學(xué)報，2015，18（2）：237-242.

[6]楊迎春，桂志國，李化奇，等.基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的自適應(yīng)各向異性擴散圖像去噪模型[J].中北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，32（4）：512 -517.

[7]黎明，徐明瑜.利用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型研究有記憶的固體材料[J].山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2013， 48（2）：88-92.

[8]陳林聰，李海鋒，梅真，等.寬帶噪聲激勵下含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的van der Pol￣Duffing振子的可靠性[J].西南交通大學(xué)學(xué)報， 2014， 49（1）：45-51.

[9]馬寶忠，任傳波，周繼磊.含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的1/4懸架模型時滯反饋控制研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2017，17（20）：89-96.

[10]陳林聰，李海鋒，李鐘慎，等.寬帶噪聲激勵下含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Duffing￣van del Pol振子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[J]. 中國科學(xué)：物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)， 2013（5）：670-677.

[11]林子飛，徐偉，韓群.基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟波動模型的穩(wěn)定性研究[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2017， 15（3）：242-249.

[12]吳強，黃健華.分數(shù)階微積分[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.

[13]萬桂華，張淑琴，蘇新衛(wèi).分數(shù)階微分方程的矩陣級數(shù)解[J].理論數(shù)學(xué)，2012（2）：17-22.

[14]Balachandran K， Govindaraj V， Rivero M，et al. Controllability of fractional damped dynamical systems[J].Appl Math Comput，2015，257：66-73.

[15]趙瑩瑩.分數(shù)階微積分的若干理論及應(yīng)用[D].鄭州：鄭州大學(xué)，2013：13-22.

[16]王紹婷.Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的高階逼近方法及其應(yīng)用[D].武漢：華中科技大學(xué)， 2015.

（責(zé)任編輯：曾 晶）

摘 要：

本文研究線性與非線性分數(shù)階阻尼系統(tǒng)的可控性問題。建立非線性項中含有一階導(dǎo)數(shù)項時，分數(shù)階非線性阻尼系統(tǒng)的可控性結(jié)果，并給出一個數(shù)值實例來證明結(jié)論的有效性。

關(guān)鍵詞：

Laplace變換;Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù); Mittag￣Leffler函數(shù);Gamma函數(shù)

中圖分類號：O175.14

文獻標(biāo)識碼： A

最近幾年，分數(shù)階微積分在軟物質(zhì)、光學(xué)、工程學(xué)、流變學(xué)、量子力學(xué)、信號處理、反常擴散和圖像處理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者取得一系列的重要結(jié)果。文獻[1]研究了分數(shù)階微積分在汽車空氣懸架半主動控制中的應(yīng)用，有效地抑制車身共振，提高乘坐舒適性。文獻[2]研究分數(shù)階在基于滑?？刂萍夹g(shù)的永磁同步電機控制中的應(yīng)用，有效地消減傳統(tǒng)永磁同步電機滑?？刂葡到y(tǒng)中的震動，還保持了系統(tǒng)對參數(shù)和外部擾動的強魯棒性，使得系統(tǒng)達到了較高的綜合控制性能。文獻[3-7]研究了分數(shù)階微積分在膠凝原油、人工凍土遺傳、瀝青膠砂、圖像去噪和固體材料方面的應(yīng)用。文獻[8-11]基于分數(shù)階微積分理論，研究了寬帶噪聲、1/4懸架模型時滯反饋控制和經(jīng)濟波動模型穩(wěn)定性等方面問題，這些應(yīng)用研究都取得有效成果。利用分數(shù)階微分方程建立的控制系統(tǒng)模型比整數(shù)階控制系統(tǒng)模型，更能準(zhǔn)確描述相關(guān)系統(tǒng)的特性，這主要表現(xiàn)在分數(shù)階微積分對事物的描述具有記憶性，而整數(shù)階沒有這樣的性質(zhì)。因此，研究分數(shù)階微分方程理論在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用具有重要的理論和應(yīng)用價值。

4 結(jié)論

在本文中，通過逐次逼近的方法證明了非線性阻尼系統(tǒng)的可控性，并利用數(shù)值解的方法仿真了實例，證實了結(jié)論的有效性和可行性。

參考文獻：

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[2]張碧陶， 皮佑國. 基于分數(shù)階滑?？刂萍夹g(shù)的永磁同步電機控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2012，29（9）：1193-1197.

[3]王志方，張國忠，劉剛.采用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)描述膠凝原油的流變模型[J].中國石油大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008， 32（2）：114-118.

[4]姚兆明，周洋，徐穎，等.人工凍土遺傳分數(shù)階導(dǎo)數(shù)加速伯格斯蠕變模型[J].工業(yè)建筑，2013（11）：73-76.

[5]李銳鐸，樂金朝，馮師蓉，等.瀝青膠砂改進分數(shù)階導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)經(jīng)驗蠕變本構(gòu)模型[J].建筑材料學(xué)報，2015，18（2）：237-242.

[6]楊迎春，桂志國，李化奇，等.基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的自適應(yīng)各向異性擴散圖像去噪模型[J].中北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，32（4）：512 -517.

[7]黎明，徐明瑜.利用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型研究有記憶的固體材料[J].山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2013， 48（2）：88-92.

[8]陳林聰，李海鋒，梅真，等.寬帶噪聲激勵下含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的van der Pol￣Duffing振子的可靠性[J].西南交通大學(xué)學(xué)報， 2014， 49（1）：45-51.

[9]馬寶忠，任傳波，周繼磊.含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的1/4懸架模型時滯反饋控制研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2017，17（20）：89-96.

[10]陳林聰，李海鋒，李鐘慎，等.寬帶噪聲激勵下含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Duffing￣van del Pol振子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[J]. 中國科學(xué)：物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)， 2013（5）：670-677.

[11]林子飛，徐偉，韓群.基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟波動模型的穩(wěn)定性研究[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2017， 15（3）：242-249.

[12]吳強，黃健華.分數(shù)階微積分[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.

[13]萬桂華，張淑琴，蘇新衛(wèi).分數(shù)階微分方程的矩陣級數(shù)解[J].理論數(shù)學(xué)，2012（2）：17-22.

[14]Balachandran K， Govindaraj V， Rivero M，et al. Controllability of fractional damped dynamical systems[J].Appl Math Comput，2015，257：66-73.

[15]趙瑩瑩.分數(shù)階微積分的若干理論及應(yīng)用[D].鄭州：鄭州大學(xué)，2013：13-22.

[16]王紹婷.Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的高階逼近方法及其應(yīng)用[D].武漢：華中科技大學(xué)， 2015.

（責(zé)任編輯：曾 晶）