摘 要：混沌系統(tǒng)同步及其電路實(shí)現(xiàn)是混沌應(yīng)用的前提和基礎(chǔ)。為此，本文利用Lyapunov穩(wěn)定性方法及運(yùn)算放大器原理，研究連續(xù)混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步及其電路實(shí)現(xiàn)問題。研究得出驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)修正函數(shù)投影同步的充分條件是增益矩陣是正定的，同時(shí)數(shù)值仿真表明充分條件的正確性。示波器輸出的波形圖與數(shù)值仿真的一致，說明連續(xù)混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步的電路設(shè)計(jì)是正確的。

關(guān)鍵詞：連續(xù)混沌系統(tǒng);修正函數(shù)投影同步;電路仿真

中圖分類號：O415.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

1990年，PECORA和CARROLL提出混沌同步概念[1]，為混沌在保密通信、非線性系統(tǒng)性能最優(yōu)化、生態(tài)系統(tǒng)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)辨識和模式識別等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)[2]。此后完全同步[3]、反同步[4]、廣義同步[5]、投影同步[6-8]、函數(shù)投影同步[9-11]、修正函數(shù)投影同步[12-13]等混沌同步方式被廣泛研究。修正函數(shù)投影同步是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的不同變量對之間以不同的函數(shù)比例同步一致。所以修正函數(shù)投影同步不僅是最復(fù)雜的同步方式，也是完全同步、反同步、廣義同步、投影同步、函數(shù)投影同步等的一般形式，也就是說如果驅(qū)動與響應(yīng)系統(tǒng)之間滿足修正函數(shù)投影同步條件，那么其他的同步方式也能夠在驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)。

混沌同步的電路實(shí)現(xiàn)是混沌應(yīng)用的前提，近年來，混沌吸引子的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)得到廣大學(xué)者的青睞，主要表現(xiàn)在高維多翼混沌吸引子和分?jǐn)?shù)階混沌吸引子的電路設(shè)計(jì)[14-20]。然而研究混沌同步電路的文獻(xiàn)很少，據(jù)作者所知，尤其是研究混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步的電路設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)幾乎沒有。為此，本文研究任意連續(xù)混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步，同時(shí)基于Multisim電路仿真平臺，設(shè)計(jì)四維超混沌系統(tǒng)CYQY的修正函數(shù)投影同步的仿真電路，為連續(xù)混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步在保密通信中的應(yīng)用奠定電路基礎(chǔ)。

1 修正函數(shù)投影同步定義

5 結(jié)論

本文研究連續(xù)混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步的電路仿真問題，得到如下結(jié)論：

（1）得到連續(xù)混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)修正函數(shù)投影同步的一個(gè)充分條件：只要反饋增益矩陣正定，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)修正函數(shù)投影同步，實(shí)現(xiàn)修正函數(shù)投影同步的條件簡單且易滿足。

（2）示波器輸出的驅(qū)動系統(tǒng)相圖、響應(yīng)系統(tǒng)相圖和時(shí)間序列波形圖與數(shù)值仿真的一致，說明設(shè)計(jì)的修正函數(shù)投影同步的仿真電路是正確的，為連續(xù)混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步在保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了電路基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]PECORA L M， CARROLL T L. Synchronization in chaotic system[J]. Physical Review Letters，1990，64（4）： 821-824.

[2]TAO W， NUO J. Chaos control and hybrid projective synchronization of several new chaotic system[J]. Applied Mathematics and Computation， 2012， 218： 7231-7240.

[3]AGIZA H N. Chaos synchronization of Lü dynamical system[J]. Nonlinear Analysis， 2004， 58（1/2）：11-20.

[4]SAWALHA M M A， NOORANI M S M. Chaos reduced￣order anti￣synchronization of chaotic systems with fully unknown parameters[J]， Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2012， 17（4）： 1908-1920.

[5]WANG Y W， GUAN Z H. Generalized synchronization of continuous chaotic system[J]. Chaos， Solitons & Fractals， 2006， 27（1）：97-101.

[6]LI G H. Modified projective synchronization of chaotic system[J]. Chaos Solitons & Fractals， 2007， 32 （5）： 1786-1790.

[7]HU M F. Full state hybrid projective synchronization of a general class of chaotic maps[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2008， 13（4）： 782-789.

[8]HU M F， XU Z Y， ZHANG R. Full state hybrid projective synchronization in continuous￣time chaotic systems[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2008， 13（2）： 456-464.

[9]DU H Y， ZENG Q S， WANG C H， et.al. Function projective synchronization in coupled chaotic systems[J]. Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2010， 11（2）：705-712.

[10]HONG Y F. Adaptive function projective synchronization of time￣varying delay compex networks with definte integration scaling function[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)，2019，32（1）：242-252.

[11]陳鏡伯，馮平，唐宏，等. 基于反饋調(diào)節(jié)函數(shù)投影同步的混沌保密通信研究[J]，計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程，2017， 45（1）：20-23.

[12]李建芬， 李農(nóng). 一類混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步[J].物理學(xué)報(bào)， 2011，60（8）：93-99.

[13]李德奎. 新超混沌系統(tǒng)的線性反饋修正投影同步的電路實(shí)現(xiàn)[J]. 海南大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 35（4）：329-336.

[14]LAI Q， WANG L. Chaos， bifurcation， coexisting attractors and circuit design of a three-dimensional continuous autonomous system[J]. Optik￣International Journal for Light and Electron Optics， 2016， 127（13）： 5400-540.

[15]EL￣SAYED A M A， NOUR H M， ELSAID A， et.al. Circuit realization， bifurcations， chaos and hyperchaos in a new 4D system[J]. Applied Mathematics and Computation， 2014，239（15）： 333-345.

[16]黃露， 唐駕時(shí). 五維混沌Chen系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)及其控制方法分析[J].湖南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，24（3）： 283-287.

[17]羅明偉，羅小華，李華青. 一類四維多翼混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)[J].物理學(xué)報(bào)，2013， 62（2）：161-166.

[18]黃沄. 一類多翼蝴蝶混沌吸引子及其電路實(shí)現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報(bào)，2014， 63（8）：56-61.

[19]崔力，歐青立，徐蘭霞. 分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J].電子測量技術(shù)， 2010，33（5）：13-16.

[20]XU Z， ZHI J， LI D C. Dynamics， circuit implementation and synchronization of a new three￣dimensional fractional￣order chaotic system [J]. AEU￣International Journal of Electronics and Communications， 2017，82： 435-445.

（責(zé)任編輯：于慧梅）