馮小輝 陳其東

摘 要：由于數(shù)學(xué)是一門基于基本概念的學(xué)科，理解數(shù)學(xué)概念的性質(zhì)不僅會促進(jìn)學(xué)生對于教學(xué)科目的深入領(lǐng)會，還將增加他們對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)方法的理解。在本文中，通過“函數(shù)的單調(diào)性”的概念教育實例，學(xué)生實際體驗了函數(shù)單調(diào)性的概念化過程，分析了學(xué)生有效的深度體驗，給出了學(xué)科深藏的知識，方法，態(tài)度，價值觀，并創(chuàng)造了情感和意義，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;核心問題;深度體驗;反思

引用一位高中數(shù)學(xué)教材編寫老師的話說： “數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展都是自然的。如果有人認(rèn)為某個特定的概念是不自然的，并且是強(qiáng)加于別人的，那就考慮一下背景，它其實是通過塑造，應(yīng)用和與其他概念相關(guān)的合成過程，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是自然的產(chǎn)品?！边@其實就是概念教育的基本意識形態(tài)，數(shù)學(xué)課程的第一步必須促進(jìn)概念的順暢學(xué)習(xí)與掌握，否則，它是不會被稱為“教學(xué)數(shù)學(xué)”和“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”。在課堂教學(xué)中，概念教學(xué)的水到渠成必須包括兩個方面：首先是知識的邏輯順序自然：其次是學(xué)生心理思考順序的自然，這主要是一個思維的過程?！白匀桓拍钫n程”是上面兩個方面的結(jié)合，重點是在“引導(dǎo)學(xué)生參加概念定義活動”與此同時引導(dǎo)學(xué)生開始與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)過程的思維引導(dǎo)學(xué)生開始與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)過程的思維。老師要離開在及時的過程中加深對概念的理解， “用問題引導(dǎo)活動”和“一對一反思（問題）”。使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動思維的結(jié)果[1]。筆者所在的川大附中實施核心問題概念教學(xué)時更是提出：概念教學(xué)研究的著眼點，不只在于對文本數(shù)學(xué)知識意義的理解與掌握，而是在獲得對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)理解和掌握的同時，形成學(xué)生在活動體驗基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)。筆者在課堂教學(xué)實踐中采用了核心問題教學(xué)“提出問題——解決問題——反思提升——運用反饋四個環(huán)節(jié)”[2]進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，效果比較顯著。

一、立足學(xué)生深度體驗變革數(shù)學(xué)概念教學(xué)的案例分析

下面筆者就以執(zhí)教的《函數(shù)的單調(diào)性》一課為例，探討高中數(shù)學(xué)課堂如何立足學(xué)生深度體驗，讓數(shù)學(xué)概念的形成水到渠成。

（一）貼近生活的核心問題是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的基石

在本節(jié)的課程中，學(xué)生將必須要使用溫度變化圖表和股價圖表，假設(shè)存在許多有關(guān)實際的數(shù)據(jù)來看出如何變化的示例。根據(jù)生活經(jīng)驗，學(xué)生就可以從函數(shù)角度快速進(jìn)入對于“圖像”的描述，溫度變化圖、股票價格走勢圖等例子反映的就是函數(shù)值隨自變量的變化在變大還是變小，學(xué)生對中學(xué)此功能的性質(zhì)有所了解，但沒有嚴(yán)格意義上的定義。現(xiàn)在需要一個關(guān)鍵問題來動員和激發(fā)學(xué)生進(jìn)行更多的自我探索的熱情。老師在這個理解的前提下應(yīng)該給出關(guān)鍵性問題：畫一幅函數(shù)的圖并用符號語言簡述自變量以解釋函數(shù)值的增減規(guī)律。針對核心問題的前半節(jié)：請任畫一個函數(shù)圖象，學(xué)生都自主探究，學(xué)生能夠親身經(jīng)歷就有了體臆，就會引起感覺，就達(dá)到了體臆的最低層次：經(jīng)歷。

針對核心問題的后半節(jié)：使用符號語言來描述函數(shù)的增減規(guī)律，以及自變量的變化。如何將圖形特征轉(zhuǎn)換為自然語言并將自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號語言是學(xué)生要首要解決的客觀性問題，在教學(xué)過程中，學(xué)生可以充分體驗從特殊到一般，從具體到抽象的過程。在這種學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上摘要增（減）函數(shù)的本義，讓學(xué)生真正體會到三種語言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)并進(jìn)行深層次體臆，從而為學(xué)生形成知識方法的表象特征打下了堅實的基石。

這種情況下的關(guān)鍵問題是“筆者將通過編寫函數(shù)圖像并使用符號語言表現(xiàn)出值由著自變量變化來說明函數(shù)值的增加和減少”。爭取讓學(xué)生知道函數(shù)單調(diào)性的這個概念，從此處去了解其該如何進(jìn)行定義，如何開始研究新的課題，學(xué)生對概念的深度體臆就是靠學(xué)生親身在情境中感受、踐行的過程，那么，就要一個主線引領(lǐng)學(xué)生去踐行，從上面核心問題的定義與表達(dá)要求，完成核心問題的過程就是學(xué)生體臆的過程，同時，更為重要的是，本節(jié)課的核心問題前后兩節(jié)是相互關(guān)聯(lián)的，學(xué)生完成核心問題的過程就是進(jìn)行關(guān)聯(lián)體臆的過程，親身體臆知識發(fā)展軌跡的過程。

（二）真實豐富的深度體驗是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的催化劑

在理解了核心問題之后，大多數(shù)學(xué)生都能作圖一次、二次、反比例、分段函數(shù)，能作出這些類型的函數(shù)：

在繪圖過程中，學(xué)生可以了解圖形趨勢中的單調(diào)特征以形成視覺效果和視覺模擬，并且教師可以通過向?qū)W生展示圖片并及時提供豐富的感官材料來使圖形語言體現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性概念。函數(shù)組成的概念是一種間接的方式，可以直觀地通過識別圖像中函數(shù)的組成，然后也可以以自然語言（文本語言）表達(dá)對函數(shù)組成的概念的理解，與此同時也從側(cè)面提供了確定函數(shù)單調(diào)性的方式

圖像法。

在這個過程中，大多數(shù)學(xué)生能夠用最直接淺顯的語言：“從左向右看，如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間上圖象上升，則稱函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間上圖象下降，則稱函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為減函數(shù)”，或者“從左向右，若圖象成上升趨勢，則稱函數(shù)為增函數(shù);如果圖像從左到右顯示下降趨勢，則此函數(shù)稱為“遞減函數(shù)”，用這個來說明對該函數(shù)的增加和減少的理解。

數(shù)學(xué)概念的形成來自解決實際問題和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。在課堂中筆者再結(jié)合具體函數(shù)比如f（x）

x，x≥O= 1/x，x<0及其圖象，嘗試用數(shù)學(xué)的圖形語言、文字語言、符號語言逐一描述函數(shù)在哪個區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù)？對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識到“從左向右看”的本質(zhì)是自變量增大，圖象“上升”或“下降”的本質(zhì)是函數(shù)值變大或者變小，從而函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)在于函數(shù)值和自變量之間保持相同或者相反的大小變化關(guān)系。學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言描述圖形語言、文字語言，形成對具體函數(shù)單調(diào)性的符號語言上的認(rèn)識，邁出了對函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)認(rèn)識的關(guān)鍵一步。

在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有關(guān)單調(diào)函數(shù)概念理解的活動時，作者主要抱著“使學(xué)生積極參與概念活動中”和“不輕易干擾學(xué)生的思想和活動”以及及時性和課程性的概念。對此，在“問題（質(zhì)疑）一對一反思”課程中，逐步進(jìn)行的“問題指導(dǎo)活動”加深了學(xué)生對“單調(diào)函數(shù)”概念的理解。使“概念理解”成為學(xué)生自己主動。

經(jīng)過這個過程，學(xué)生不僅對所探究的函數(shù)單調(diào)性的來源、成長過程與成長方法、本質(zhì)與結(jié)構(gòu)等有著透徹的認(rèn)識，飽含情感的深度體驗更是成為促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念化的催化劑。課堂上思維的碰撞，不僅是師生之間、生生之間智慧的交鋒，更是師生、生生之間情感的溝通，達(dá)成了課堂“產(chǎn)生情感而生成意義”的教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生心靈的深度體驗。

（三）層層深入的反思提升是促進(jìn)學(xué)生概括概念本質(zhì)的升華

在反思和改進(jìn)的過程中，學(xué)生探索了函數(shù)特定功能的基本特征，作者指導(dǎo)他們回顧學(xué)習(xí)過程，要求學(xué)生從性質(zhì)的定義轉(zhuǎn)換為含義，并提供對遞增功能的準(zhǔn)確定義（符號語言）。然后抽象得出一個類比也就是減函數(shù)的含義。由于了解特定功能的定義，學(xué)生可以輕松達(dá)到單調(diào)的一般定義。

對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2），稱f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù)。至此，學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般、由具體到抽象，最后歸納出單調(diào)性函數(shù)的定義的過程，并生成了對抽象函數(shù)單調(diào)性的符號語言上的認(rèn)識。

同時，教師還要適時適切地引導(dǎo)學(xué)生概括出知識中蘊含的思想方法和探究知識的思維方法：①函數(shù)的圖形語言、文字語言、符號語言的等價轉(zhuǎn)化;②特殊到一般的思想方;③直觀到抽象;④數(shù)形結(jié)合;⑤類比等。筆者根據(jù)學(xué)生具體情況，通過符號語言的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的深度體驗（差商理解）。用差商y2-y1/x2-x1 >0描述“x1

商差結(jié)果不但能夠用來判別函數(shù)的增加或減少，還可以反映丁對與百分比的變化率。這種處理辦法還具有著一目了然的幾何意義，為早期了解導(dǎo)數(shù)開辟了道路。

這樣讓學(xué)生既形成了數(shù)學(xué)概念的知識，又形成了數(shù)學(xué)概念的思想方法，將核心問題解決問題中涉及的關(guān)聯(lián)體驗進(jìn)一步提升，這樣本節(jié)課又上升了一個層次，上升到形——數(shù)——形的關(guān)聯(lián)，體驗三種語言間的關(guān)聯(lián)，層層深入的反思提升促進(jìn)了學(xué)生對概念本質(zhì)的理解與升華，這就形成了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心：以常見和豐富的例子為載體，打開數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)概念的關(guān)注，觀察和分析每種情況的性質(zhì)，整理和總結(jié)共同的基本性質(zhì)，并指導(dǎo)學(xué)生獨立總結(jié)出數(shù)學(xué)的概念。

（四）高效精準(zhǔn)的運用反饋是促進(jìn)學(xué)生體驗概念關(guān)聯(lián)的內(nèi)化

在運用反饋環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的生成過程，還需要對數(shù)學(xué)概念的理解進(jìn)行內(nèi)化，筆者在運用反饋環(huán)節(jié)中側(cè)重檢測學(xué)生深度體驗圖形語言、自然語言及符號語言在相互轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)情況。筆者選取了生活中的應(yīng)用案例進(jìn)行課堂檢測：

某汽車租賃公司的月收益y元與每輛車的月租金x元間的關(guān)系為y=x/50 +162x- 21000，請畫出圖象觀察，并描述月收益隨月租金的增加的變化情況？并用定義證明之。學(xué)生將自己探究出的數(shù)學(xué)知識與方法解決來實例，讓學(xué)生將三種語言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)應(yīng)用，反思解題思路，再次深度體驗到定義證明函數(shù)性單調(diào)性的步驟。高效精準(zhǔn)的運用反饋促進(jìn)學(xué)生體驗概念關(guān)聯(lián)的內(nèi)化，學(xué)生不僅實現(xiàn)了目標(biāo)的達(dá)成，最終內(nèi)化成自己的數(shù)學(xué)知識方法，逐漸形成了學(xué)生內(nèi)在的緘默知識，也為以后探究函數(shù)的其他性質(zhì)做好了鋪墊。

這一環(huán)節(jié)實際上是辨析、運用、“精致”函數(shù)單調(diào)性的概念：一種是分析概念 就是使用示例作為參數(shù)來研究關(guān)鍵字的含義，另一種是整合和應(yīng)用概念集成到概念系統(tǒng)中并與相關(guān)概念連接。

二、立足學(xué)生深度體驗變革數(shù)學(xué)概念教學(xué)的

案例反思

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”課堂結(jié)束后，筆者認(rèn)真反思了課堂教學(xué)，并認(rèn)為數(shù)學(xué)概念解決了實際問題，并且還認(rèn)為有必要發(fā)展數(shù)學(xué)本身。但是，這個概念非常難以理解，導(dǎo)致了學(xué)生應(yīng)該進(jìn)行實際的學(xué)習(xí)活動去了解概念，從自己經(jīng)驗和已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”、“再創(chuàng)造”活動過程[1]。結(jié)合本節(jié)課的核心問題數(shù)學(xué)，筆者還認(rèn)識到：數(shù)學(xué)概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生深度體驗的實質(zhì)就是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，它是一個多側(cè)面、多層次、無止境過程。

首先，了解數(shù)學(xué)意味著對數(shù)學(xué)知識的來源、成長的過程以及所教數(shù)學(xué)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)有透徹的了解。換句話說，要理解數(shù)學(xué)知識，得使用“核心問題教育”來提高數(shù)學(xué)精髓，例如“怎么來和去哪里”，知道本質(zhì)，結(jié)構(gòu)和教育價值和自身對于數(shù)學(xué)的理解。將靜態(tài)的，成熟的和不利的學(xué)生轉(zhuǎn)變?yōu)槟芙邮芎腿菀紫臄?shù)學(xué)學(xué)術(shù)形式，將其轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)的，發(fā)展的，更有營養(yǎng)的，營養(yǎng)豐富的數(shù)學(xué)教育形式。

其次，理解學(xué)生是指教師清楚學(xué)生的認(rèn)知起點;清楚學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識之間的潛在距離;清楚學(xué)生的認(rèn)知障礙;清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;清楚不同學(xué)生間的認(rèn)知差異。以核心問題教學(xué)促進(jìn)理解學(xué)生的實質(zhì)是教師準(zhǔn)確地把握學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、潛能、需求、困難與差異，為以學(xué)定教、以導(dǎo)促研提供準(zhǔn)確的信息與依據(jù)。

最后，了解教育將使教師了解數(shù)學(xué)的性質(zhì)和功能，掌握特定的教學(xué)方法和教育藝術(shù)，了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和基本教學(xué)原理，并將教育和學(xué)習(xí)視為一個有機(jī)的，相互加強(qiáng)的整體。這意味著數(shù)學(xué)教育的價值可以為不同的學(xué)生提供不同的數(shù)學(xué)。清楚將不同類型的知識用不同的方式呈現(xiàn)給不同學(xué)生的策略與方法。以核心問題教學(xué)促進(jìn)理解教學(xué)的實質(zhì)是以研定導(dǎo)，以導(dǎo)促研，實現(xiàn)教育價值與效益的最大化。

參考文獻(xiàn)

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