張宗渝 田大雕 王可豪

摘要：本文基于傳熱學(xué)理論，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型研究了高溫作業(yè)專用服裝的設(shè)計問題。我們將服裝簡化由三層織物材料構(gòu)成，記為工、Ⅱ、Ⅲ層，第Ⅲ層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為Ⅳ層。首先，將熱傳遞過程視為一根均勻同性桿的傳熱，考慮熱傳導(dǎo)和對流兩種方式，再基于能量守恒和傅里葉定律，對前三層材料建立了一階熱傳導(dǎo)偏微分方程的數(shù)學(xué)模型;對第Ⅳ層，建立了一階耦合熱傳導(dǎo)對流方程的偏微分方程的數(shù)學(xué)模型，利用熱傳導(dǎo)方程的有限差分法求數(shù)值解。在環(huán)境溫度為75℃、Ⅱ?qū)雍穸葹?mm、Ⅳ層厚度為5mm、工作時間為90分鐘的情況下，通過估計參數(shù)和一些已知的數(shù)據(jù)，利用MATLAB仿真出每一層的溫度變化分布圖，求得假人皮膚外側(cè)的溫度;在環(huán)境溫度為65℃、Ⅳ層的厚度為5. 5mm，確保工作60分鐘，皮膚外側(cè)溫度不超過47℃，且超過44℃的時間不超過5分鐘情況下，基于反問題的基本理論，在熱傳導(dǎo)模型基礎(chǔ)上，建立優(yōu)化模型，再利用遺傳算法，求出第Ⅱ?qū)拥暮穸仍趨^(qū)間[5，25]上達到要求。最后，在環(huán)境溫度為80℃，確保工作30分鐘，皮膚外側(cè)溫度不超過47℃，且超過44℃的時間不超過5分鐘的前提下，利用相同模型求出第Ⅱ?qū)拥暮穸仍赱11，12.8]和第Ⅳ層的厚度在[3.5，6]區(qū)間上達到要求，通過構(gòu)造初始函數(shù)，得到了與真實數(shù)據(jù)吻合的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：一階熱傳導(dǎo)方程;一階耦合熱傳導(dǎo)對流方程;有限差分方法;遺傳算法

1引言

在高溫環(huán)境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。因此，本文以專用服裝的設(shè)計為目的，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以較低成本研發(fā)出合格的服裝，這對保護工作人員的生命安全有著十分重要的意義。

2 問題重述（略）

3 模型假設(shè)

1）熱傳遞垂直于皮膚方向進行，故可視為一維的;

2）服裝材料只考慮傳熱方式，第Ⅳ層為熱傳導(dǎo)和空氣的對流兩種方式;不考慮濕傳遞，即忽略水汽、汗液的影響;

3）熱傳導(dǎo)熱傳遞到織物的過程中是均勻的，且熱防護材料沒有發(fā)生溶解;

4）專業(yè)服裝材料內(nèi)部無水分，各層材料之間沒有空氣層，而且是均勻各向同性的，即考慮成一根均勻同性桿的熱傳導(dǎo)。

4 模型的建立與求解

4.1 熱傳導(dǎo)模型

在固定的環(huán)境溫度、時間、已知Ⅱ、Ⅳ層的厚度等情況下，該過程類似一根均勻同性桿的熱傳導(dǎo)[1]。因此，可將其溫度分布簡化為圖1所示。

熱量守恒定律可表示為

溫度變化吸收的熱量一通過邊界流入的熱十熱源放出的熱量，根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律有[2]

其中熱傳導(dǎo)系數(shù)k假設(shè)是常量，熱量公式為

Q= cmu

（2）

取材料內(nèi)任一點處垂直于皮膚方向的微元線段L，微元上t1，t2時刻各點溫度分別表示為u（x，t1），u（x，t2），則L內(nèi)溫度變化的熱量Q滿足

4.2熱傳導(dǎo)模型的求解

首先由題設(shè)，可得出定解條件和初值條件分別為

u（0，0）=ua

u（x，0）=φ（x）

（10）其中φ（x）是連續(xù)函數(shù)，但該函數(shù)目前很難估計。為解決問題，我們假設(shè)所建立的偏微分方程的解一定存在。

定理（解的存在性）[3]若（φ（x）連續(xù)，則存在常數(shù)M>0和A>0使

u（x，0）=φ（x）

（11）成立，則方程（8）滿足初值條件的解存在。

由解的存在定理，我們?nèi)?/p>

|φ（x）|≤MeAr2

（12）

以保證解存在，初步的計算后，得到（8）式解的結(jié)果，見圖2，同時根據(jù)題目中的測量值，給出溫度變化情況，見圖3。

由圖可得，曲線的凸性是相反的。為改變凸性，利用曲線關(guān)于直線y=x對稱及平移的原理[4]，對（4）式求反函數(shù)及平移，得

基于文獻中的有限差分法[5]，以及附件中的數(shù)據(jù)，適當(dāng)選取模型中的參數(shù)（見表1）。

4.3耦合熱傳導(dǎo)對流模型

由于第Ⅲ層與皮膚之間存在氣體，故第Ⅳ層在原本的熱傳導(dǎo)方程上，增加對流的情況，建立耦合熱傳導(dǎo)對流模型

對于第Ⅳ層，由參考文獻[6]，當(dāng)厚度不超過6.4mm時，對流形式的熱傳遞影響是很小的，因此，忽略對流的影響，利用MATLAB求解得到了第Ⅳ層溫度分布，如圖6。

4.5優(yōu)化模型

當(dāng)環(huán)境溫度為65℃，Ⅳ層厚度為5. 5mm時，需確定第Ⅱ?qū)幼顑?yōu)厚度，確保工作60分鐘，假人皮膚不超過47℃，且超過44℃的時間不超過5分鐘。作為熱傳導(dǎo)的反問題，由于反問題具有非線性、不適定性等特點，使反問題的求解比正問題復(fù)雜得多[7]。在反問題中，將材料的邊界條件或物性參數(shù)作為優(yōu)化變量，把正問題得到的計算值作為目標(biāo)函數(shù)求極值。因此，我們將反問題的目標(biāo)函數(shù)設(shè)計為熱傳導(dǎo)模型（16），第Ⅱ?qū)硬牧系暮穸葹闃O值點。于是，目標(biāo)函數(shù)為

minu（x，t）

（17）

約束條件為：

1）當(dāng)時間t為0≤t≤55時，溫度應(yīng)滿足

u（x，t）≤44

（18）

2）當(dāng)時間f為0

u（x，t）≤47

（19）

從而可建立優(yōu)化模型

minu（x，t）

（20）

根據(jù)（21）式，可確定極小值點，即第Ⅱ?qū)拥暮穸取?/p>

當(dāng)環(huán)境溫度為80℃，確定第Ⅱ?qū)雍偷冖髮拥淖顑?yōu)厚度，確保工作30分鐘，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47℃，超過44的時間不超過5分鐘，增加了一個變量，可以用與（21）式相似的方法建立模型并求解。

同理，在新的約束條件

4.6優(yōu)化模型求解

根據(jù)下文給出遺傳算法步驟進行求解[8]。

Stepl確定每個反演參數(shù)的定義域，即搜索區(qū)域。

u≤44，0≤t<55

（24）

u≤47，55≤t≤60

（25）

Step2確定遺傳算法的相關(guān)參數(shù)。

Step3利用迭代生成的值修改有限差分法子函數(shù)中的參數(shù)，并對之進行求解，獲得相應(yīng)的溫度場。

Step4將計算值帶入函數(shù)中，如果滿足收斂準(zhǔn)則，則迭代結(jié)束;否則更新種群并返回第三步。

各層模型中參數(shù)的取值見表2。

當(dāng)?shù)冖驅(qū)拥淖顑?yōu)厚度x∈[5，25]時，兩個臨界點處的最優(yōu)解溫度分布見圖7。 同時，當(dāng)?shù)冖驅(qū)拥淖顑?yōu)厚度x∈[11，12.8]，第Ⅳ層的最優(yōu)厚度為x∈[3.6，6]，即滿足環(huán)境溫度為80℃，工作時間為30分鐘時，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47℃，且超過44℃的時間不超過5分鐘，最優(yōu)點處的溫度分布，見圖8。

5 模型評價

本文利用傅里葉熱傳導(dǎo)定律建立數(shù)學(xué)模型，研究物體的熱量變化，通過熱量守恒定律，建立關(guān)于溫度對時間與厚度的偏微分方程，從而提高了真實可靠性;運用遺傳算法，得到了較準(zhǔn)確的最優(yōu)解;通過MATLAB對所求解析式方程進行處理，得到所需要的圖形走勢，使結(jié)果更加的具有說服力與真實性。缺點是沒有考慮物體在熱傳導(dǎo)的時候，熱量對其它物體之間進行的熱交換，并且在建立模型的時候也僅僅在平面的角度上考慮問題。

（指導(dǎo)老師：馬志霞）

參考文獻

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[4]俞昌銘，傳熱學(xué)[Ml.北京：高等教育出版社，1984。

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[6]陳祖墀，偏微分方程（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2009年。

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[8]潘斌，熱防護服裝熱傳遞數(shù)學(xué)建模及參數(shù)決定么問題，浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文，2016年。