丁聰

摘要：文章證明了代數(shù)三角范疇關(guān)于函子有限的n-rigid子范疇的Iyama-Yoshino約化仍是代數(shù)三角范疇.作為應(yīng)用，進(jìn)一步證明了遺傳代數(shù)的高維叢范疇關(guān)于不可分解rigid對(duì)象的Iyama-Yoshino約化仍是遺傳代數(shù)的高維叢范疇.

關(guān)鍵詞：三角范疇;Iyama-Yoshino約化;叢范疇;Frobenius范疇

1 引言

為了刻畫概型上的Grothendieck對(duì)偶理論，Grothendieck與Verdier引入了導(dǎo)出范疇和三角范疇的概念，至今，三角范疇已成為研究代數(shù)幾何的強(qiáng)有力的工具之一[1]，Happel[2]發(fā)現(xiàn)有限維代數(shù)的導(dǎo)出范疇是研究結(jié)合代數(shù)的傾斜理論的一個(gè)好的框架，從而首次將三角范疇作為工具應(yīng)用到有限維代數(shù)的表示理論的研究中.至此，研究有限維代數(shù)的導(dǎo)出等價(jià)成為傾斜理論的一個(gè)重要課題.Keller[3]在研究微分分次范疇的傾斜理論中首次提出了代數(shù)三角范疇的概念并證明了其上的傾斜定理，使得代數(shù)三角范疇成為了傾斜理論研究的最基本的假設(shè).事實(shí)上，代數(shù)幾何或者代數(shù)表示論中出現(xiàn)的三角范疇基本上都是代數(shù)的.

眾所周知，三角范疇的Verdier商范疇有自然的三角范疇結(jié)構(gòu).利用微分分次范疇不難證明代數(shù)三角范疇的Verdier商仍是代數(shù)三角范疇，在高維傾斜理論的研究中，Iyama和Yoshirio[4]發(fā)展了一套新的從已知三角范疇構(gòu)造新的三角范疇的方法，該方法如今被稱為Iyama-Yoshino約化，特別地，他們證明了Hom-有限的三角范疇的某些特殊的子范疇的加法商范疇也自然的繼承了原三角范疇的三角結(jié)構(gòu)，在此之后，Iyama-Yoshino約化方法被迅速的應(yīng)用于叢理論的研究之中.

代數(shù)三角范疇的Iyama-Yoshino約化是否為代數(shù)三角范疇是一個(gè)自然而基本的問題.Amiot和Opper-mann[5]證明了具有Serre函子的三角范疇關(guān)于函子有限的rigid子范疇的Iyama-Yoshino約化仍是代數(shù)三角范疇，這使得他們能對(duì)其應(yīng)用Keller的傾斜定理，從而給出τ2 -有限代數(shù)的導(dǎo)出范疇的Iyama-Yoshino約化的刻畫.遺傳代數(shù)的叢范疇是叢理論中出現(xiàn)的一類重要的代數(shù)三角范疇.付和耿[6]證明了代數(shù)2-Calabi-Yau范疇的關(guān)于例外對(duì)象的Iyama-Yoshino約化仍是代數(shù)三角范疇，在此基礎(chǔ)上證明了叢范疇對(duì)Iyama-Yoshino約化封閉.本文的主要目的即是在更一般的條件下給出上述問題的肯定回答，該結(jié)果蘊(yùn)含了文獻(xiàn)[5]和[6]的情形作為特例.作為主要結(jié)果的一個(gè)初步應(yīng)用，我們進(jìn)一步證明了遺傳代數(shù)的高維叢范疇關(guān)于例外對(duì)象的Iyama-Yoshino約化仍是某一個(gè)遺傳代數(shù)的高維叢范疇.

在本文中，對(duì)于加法范疇A中的對(duì)象T，我們記addT表示由T的有限直和的直和項(xiàng)構(gòu)成的A的滿子范疇。

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)k為域.本文所考慮的范疇都是Hom-有限的k-線性加法范疇，本節(jié)中，我們主要回顧正合范疇、Frobenius范疇的基本定義與性質(zhì)，參見文獻(xiàn)[7].

設(shè)A為加法范疇，B為A的滿子范疇，設(shè)A∈A，A的一個(gè)右B逼近是指一個(gè)態(tài)射f：B→A，其中B∈B，使得對(duì)任意的B'∈B，映射HomA（B'，B）→HomA（B'，A）是滿射.如果A中的每個(gè)對(duì)象都有右B逼近，那么稱B是A的一個(gè)反變有限子范疇.對(duì)偶地，

參考文獻(xiàn)

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