李玉榮

摘要：本文通過(guò)舉例展示了格林公式及由格林公式推導(dǎo)出的四個(gè)等價(jià)命題在計(jì)算第二型曲線積分中發(fā)揮著非常重要的作用。

關(guān)鍵詞：格林公式;曲線積分

格林公式將平面閉區(qū)域上的二重積分與沿閉區(qū)域的邊界曲線上的第二型曲線積分聯(lián)系了起來(lái)。

一、下面先給出格林公式及由格林公式推導(dǎo)出的四個(gè)等價(jià)命題

定理（格林公式）：設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，若函數(shù)（，）及（，）在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

其中是的取正向的邊界曲線。

由格林公式可以推出以下四個(gè)等價(jià)命題，即在前提條件成立的情況下，以下四個(gè)命題是等價(jià)的。這四個(gè)命題在曲線積分的計(jì)算中發(fā)揮著非常重要的作用。

條件：j區(qū)域是單連通區(qū)域（若對(duì)于平面區(qū)域上任一封閉曲線，皆可不經(jīng)過(guò)以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于的某一點(diǎn)，則稱(chēng)此平面區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域，通俗地說(shuō)，單連通區(qū)域是沒(méi)有“洞”的區(qū)域）;

k（，）及（，）在內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。

四個(gè)等價(jià)命題：

1、在內(nèi)，與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)。

2、

3、在內(nèi)存在，使

4、在

注意：以上四個(gè)命題等價(jià)的兩個(gè)條件缺一不可。

二、舉例

1、當(dāng)給定曲線較復(fù)雜時(shí)，可以利用積分與路徑無(wú)關(guān)，選取簡(jiǎn)單路線。

例1 計(jì)算，其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的曲線弧。

解：由于曲線較復(fù)雜，所以先檢驗(yàn)積分是否與路徑無(wú)關(guān)。

滿(mǎn)足第4個(gè)命題，從而由命題1，原積分與路徑無(wú)關(guān)。

所以選取為的折線，

2、當(dāng)給定曲線較復(fù)雜，但積分與路徑有關(guān)時(shí)，可以補(bǔ)充曲線使其封閉，然后利用格林公式來(lái)計(jì)算。

例2 計(jì)算，其中為由點(diǎn)（a，0）到點(diǎn)（0，0）的上半圓周+=，。

解

即，積分與路徑有關(guān)。

補(bǔ)充曲線為（0，0）到（a，0）的線段，

所以原式

3、若是某個(gè)函數(shù)的全微分，則可利用曲線積分求出該函數(shù)，即

例3 驗(yàn)證在整個(gè)平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求這樣的一個(gè)。

解：由于

所以是某一函數(shù)的全微分，且

參考文獻(xiàn)：

[1]高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社.2014

[2]數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社.2010