吳志贏

摘? ?要：以標(biāo)準(zhǔn)化的理論方法，系統(tǒng)地回答素?cái)?shù)運(yùn)用及相關(guān)的3個(gè)熱點(diǎn)討論問(wèn)題，全面揭示“二猜”的內(nèi)在條件。

關(guān)鍵詞：因果條件;素因子;最大素因子;互積值;知識(shí)范疇

以素?cái)?shù)研究為立足點(diǎn)，以基礎(chǔ)理論及客觀知識(shí)范疇為依據(jù)，全面解剖素?cái)?shù)成因條件及變化規(guī)則，已基本完成“二猜”相關(guān)的全部理論問(wèn)題，該信件僅對(duì)理論界共識(shí)的3個(gè)問(wèn)題作出回答。

1? ? “哥猜”3個(gè)問(wèn)題的來(lái)源

在“哥猜”證明相關(guān)文獻(xiàn)《來(lái)源》《意義》《小史》中，有3個(gè)具體疑難問(wèn)題。如果不能優(yōu)先解決這3個(gè)問(wèn)題，其他研究是無(wú)法進(jìn)行的。

（1）在小偶數(shù)“6”“8”，…，等證明中，已知可表示為“3+3”“3+5”，…，但卻不知如何證明，即證明中素?cái)?shù)雖然是已知的，客觀存在的，仍缺乏一個(gè)“××證明條件”約束問(wèn)題，一些學(xué)者認(rèn)為是必要條件，一些學(xué)者則認(rèn)為是充分條件。由此產(chǎn)生了第一問(wèn)題“條件討論”。

（2）所謂“哥猜”問(wèn)題，說(shuō)到底就是“素?cái)?shù)”問(wèn)題。素?cái)?shù)的性質(zhì)、特征、分類、素因子、公式化、素?cái)?shù)與奇數(shù)、合數(shù)的關(guān)系、素?cái)?shù)定律等若干問(wèn)題均未形成標(biāo)準(zhǔn)理論界定。要解決素?cái)?shù)問(wèn)題，尤必須解決素?cái)?shù)公式化問(wèn)題。用已有的試商試除法從邏輯上講是可靠的，但缺點(diǎn)是無(wú)法獲知其中的素因子作用及清晰的邏輯關(guān)系。故產(chǎn)生出第2個(gè)“素?cái)?shù)公式化”討論問(wèn)題。

（3）在“哥猜”證明中，由于大素?cái)?shù)分布狀況是無(wú)法預(yù)知的，即是否無(wú)窮大還不能確定。若不能保證素?cái)?shù)無(wú)窮大，則大偶數(shù)證明是毫無(wú)意義的，故產(chǎn)生第3個(gè)討論問(wèn)題：素?cái)?shù)無(wú)窮大及相關(guān)。以下就3個(gè)問(wèn)題提出個(gè)人看法供參考。

2? ? “哥猜”3個(gè)問(wèn)題的答案

（1）證明條件討論。已知在小學(xué)一年級(jí)第一數(shù)學(xué)式“1+1=2”量的關(guān)系式中，從證明角度出發(fā)，也是一個(gè)學(xué)術(shù)難題，筆者曾用3年時(shí)間才完成確證。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，所謂“數(shù)學(xué)證明”，必須滿足一個(gè)“因果條件”的條件。因果條件通常以兩個(gè)途徑來(lái)形成：其一是邏輯性的條件，而邏輯體是內(nèi)含因果關(guān)系的;其二是理論性的條件，其中包括原理、原則、法則、定理、定律、慣例等。量的關(guān)系式“1+1=2”解的因果條件是“自然數(shù)法則解，又稱序量法則解”。所以，第一問(wèn)題的答案為證明條件之必要條件—因果條件，與充分條件無(wú)關(guān)。充分條件是指所有必要條件均滿足時(shí)的一個(gè)條件問(wèn)題。

（2）素?cái)?shù)公式化討論。已知試商試除法中的邏輯性是可靠的，又知素?cái)?shù)的本質(zhì)是表示為除了“1”及自身無(wú)他數(shù)可整倍除的“數(shù)”。基此兩點(diǎn)，得到一個(gè)全素因子表達(dá)式：均不為整數(shù)。其中m值同于試商試除法，限指1，3，7，9尾奇數(shù)，SX為不含2，5的能被m整倍除的所有素?cái)?shù)，一般式為3，7，11，…，y，其中y≤，y是最后一個(gè)可整倍除的素?cái)?shù)。（因任一因子的第一倍點(diǎn)為自身的平方值：32=9，72=49，112=121，…，則y2≤m）。該公式經(jīng)若干檢驗(yàn)是絕對(duì)可靠的。它的特點(diǎn)是揭示了任一m值能否表示為素?cái)?shù)的具體成因條件、它實(shí)際擁有多少個(gè)素因子數(shù)，而不是一個(gè)籠統(tǒng)的概念?，F(xiàn)有文獻(xiàn)均稱素因子數(shù)為2，3，5，7，…，顯然是錯(cuò)誤的，從未提出m與素因子的依存關(guān)系及如何運(yùn)用。因此，該式會(huì)揭開(kāi)新的一頁(yè)。

（3）素?cái)?shù)無(wú)窮大討論。當(dāng)前討論中一直沿用歐拉的“發(fā)散性”推理證明法，對(duì)此，挪威數(shù)學(xué)家布朗在檢驗(yàn)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)了矛盾現(xiàn)象。在用“發(fā)散性”證孿生素?cái)?shù)無(wú)窮大時(shí)，得到一個(gè)有限的布朗常數(shù)結(jié)論。其實(shí)，“發(fā)散性”證明就是不可靠的。已知：0.111 1，…，=，…。該式就是發(fā)散的或無(wú)窮無(wú)盡的分式和，但結(jié)果是極有限的，所以發(fā)散性是不能作結(jié)論的。通過(guò)“哥猜”研究發(fā)現(xiàn)，僅建立一個(gè)總體素?cái)?shù)無(wú)窮大證明是無(wú)意義的。因在非0'尾偶中，1，3，7，9結(jié)尾的素?cái)?shù)，必有一類素?cái)?shù)是不參與二素?cái)?shù)互和的，其原因是每一個(gè)同尾數(shù)必與以“5”結(jié)尾的合數(shù)位逐一互和。又在無(wú)窮大偶數(shù)中的二素?cái)?shù)和中必有一個(gè)素?cái)?shù)是無(wú)窮大的，而素?cái)?shù)總體無(wú)窮大必須要求至少兩個(gè)尾類的素?cái)?shù)保證無(wú)窮大才有意義。顯然總體無(wú)窮大是不滿足該條件的。

關(guān)于素?cái)?shù)分類無(wú)窮大證明步驟如下：第1步，設(shè)定素?cái)?shù)有限，產(chǎn)生一個(gè)最大素?cái)?shù)令為y，且將其中的2，5去掉，剩下的以1，3，7，9結(jié)尾的素?cái)?shù)為﹣3，7，11，13，…y，并放置在SX的一個(gè)集合內(nèi)。第2步，若能在y后再找出一個(gè)或多個(gè)素?cái)?shù)即表示有限設(shè)定不成立，并完成素?cái)?shù)無(wú)窮大證明。第3步，將SX集合中的全素因子數(shù)互積起來(lái)，令為m值，則m>y，且以1，3，7，9結(jié)尾的一個(gè)尾奇數(shù)。又已知，在自然數(shù)列中，任一素因子數(shù)SX-3，7，11，…，y，在任一整倍點(diǎn)形成新的合數(shù)過(guò)程中，必滿足m+SX·n式，因m是全素因子共倍點(diǎn)，則3因子為m+3，m+6，m+9，…，（SX=3，n=1，2，3，…，），7因子為m+7，m+14，m+21，11因子為m+11，…。當(dāng)m+10時(shí)可發(fā)現(xiàn)，該值點(diǎn)必為素?cái)?shù)，且為m后的第一個(gè)同尾奇素?cái)?shù)，所以素?cái)?shù)有限不成立。第4步，由1，3，7，9尾奇數(shù)間橫向相關(guān)性可知，當(dāng)m分別乘以1，3，7，9可呈現(xiàn)與m相關(guān)的3個(gè)尾奇數(shù)值，即3m，7m，9m，透過(guò)3m，7m，9m發(fā)現(xiàn)，另3類尾奇數(shù)也為全素因子共倍點(diǎn)。同理，3m+10，7m+10，9m+10必為另3類中的奇素?cái)?shù)。所以，1，3，7，9四尾素?cái)?shù)都是無(wú)窮大的，證畢。

3? ? 證明結(jié)果

3.1? 知識(shí)范疇

由上可知，“二猜”所在知識(shí)范疇必為初等數(shù)學(xué)范疇，應(yīng)與高等數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，其證明復(fù)雜性是由素因子變化復(fù)雜性決定的。例如，當(dāng)某個(gè)偶數(shù)或?qū)\生奇數(shù)值達(dá)到10 000時(shí)，至少擁有素因子數(shù)：3，7，11，…，97，為23個(gè)因子。當(dāng)某個(gè)偶數(shù)或?qū)\生奇數(shù)值達(dá)到一億時(shí)，至少擁有素因子數(shù)：3，7，11，…，9 973，為1 227個(gè)因子。且隨量值增長(zhǎng)，素因子數(shù)會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)等。就“二猜”而言，其依賴的證明條件就是素因子條件，舍此而外，應(yīng)無(wú)它法。

3.2? “二猜”中的運(yùn)用

3.2.1? 在“哥猜”中的運(yùn)用及理解

例如，當(dāng)N偶=“6”與“8”時(shí)的證明過(guò)程。第1步，已知N偶=6或8時(shí)，均可組成兩組“奇+奇”。又知9以內(nèi)的奇數(shù)列無(wú)可倍因子及素因子數(shù)，即參與互和奇數(shù)中，除“1”以外，均為素?cái)?shù)。第2步，在互和奇數(shù)中“1”是個(gè)特殊奇數(shù)，既非合數(shù)也非素?cái)?shù)。且“1”在任一偶數(shù)中（含“6”與“8”）僅一次互和機(jī)會(huì)，即兩組“奇+奇”中必有一組為“素+素”，證畢。透過(guò)證明條件看，素因子及素?cái)?shù)與奇數(shù)的依存關(guān)系是唯一因果條件。例如，當(dāng)N偶=10～48時(shí)的證明過(guò)程。當(dāng)N偶=10，12，14時(shí)：第1步，已知N偶=10，12，14時(shí)，至少可分解3組“奇+奇”，奇數(shù)中僅有兩個(gè)干擾項(xiàng)“1”“9”，即參與互和的素?cái)?shù)為“3”“5”“7”3個(gè)。第2步，由任一數(shù)僅一次互和機(jī)會(huì)知1，9最多干擾兩組“奇+奇”，即3組“奇+奇”中至少一組必為“素+素”證畢。當(dāng)N偶=16～48時(shí)，因產(chǎn)生一個(gè)大類奇數(shù)干擾項(xiàng)—5尾合數(shù)，如15，25，35，45等。同時(shí)，在1，3，7，9結(jié)尾奇數(shù)中又產(chǎn)生一個(gè)“3”因子的可倍項(xiàng)—21，33，27，9，39等（外加一個(gè)“1”），此時(shí)的證明需作分類處理。以下僅對(duì)分類方法及分類必要性作簡(jiǎn)要分析。首先，已知5類偶數(shù)中，4類為非0'尾偶，在其“奇+奇”中，與“素+素”相關(guān)的均為3類。其中2尾偶為“1-1尾”“3-9尾”“9-3尾”。而“奇+奇”中的“5-7尾”“7-5尾”，除第一個(gè)5為特例外，其余均為合數(shù)位，稱7尾素?cái)?shù)為2尾偶的無(wú)效互和因子項(xiàng)。同理，4，6，8尾偶中也僅有3類“奇+奇”與“素+素”相關(guān)。對(duì)此，稱為分類相關(guān)互和因子，又稱第一相關(guān)因子。其次，如保證含有素?cái)?shù)的奇數(shù)類之間互和，還不保證滿足“素”與“素”互和。已知在“奇+奇”中，每3個(gè)偶數(shù)必因3因子構(gòu)成3組不同的“奇+奇”結(jié)構(gòu)。例N偶被3整除時(shí)，“奇+奇”中，3的合數(shù)點(diǎn)+3的合數(shù)點(diǎn)，0.333尾余值+0.666尾余值，0.666尾余值+0.333尾余值。其中3個(gè)結(jié)構(gòu)中僅有不整除的0.333，0.666相互間構(gòu)成的“奇+奇”才與“素+素”相關(guān)。此處稱3的整除偶數(shù)為剩位全互補(bǔ)因子。同理，N偶不被3整除時(shí)，“奇+奇”結(jié)構(gòu)為0.333+0，0+0.333，“0.666+0.666”或者0.666+0，0+0.666，0.333+0.333。其中只有“0.666+0.666”或“0.333+0.333”與“素+素”相關(guān)，對(duì)此稱為與3的整倍點(diǎn)（0）互和體為無(wú)效剩位互和因子，又稱第二互和因子。由剩位因子可知，要保證一個(gè)偶數(shù)的“素+素”必優(yōu)先保證0.333尾余值奇數(shù)與0.666尾余值奇數(shù)之間互和。經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，奇數(shù)或素?cái)?shù)列中0.333尾余值與0.666尾余值分布，基本各占50%，誤差率小于1%。其與同類奇數(shù)為。就是說(shuō)，因剩因子的作用，偶數(shù)中，已有素?cái)?shù)的約一半是與“素+素”不相關(guān)的。由此證明N偶=16～48時(shí)，第1步，須確定分類因子，例N偶=18時(shí)，無(wú)效類因子為3尾奇數(shù);第2步，確定剩位因子，已知無(wú)無(wú)效剩因子，N偶被3整除，即0.333，0.666為全有效互和因子。即當(dāng)奇數(shù)為5，7時(shí)，其尾余值不為0，則另一互和奇數(shù)必為“剩位”亦不為0，必滿足“素+素”。（在值區(qū)內(nèi)的“奇+奇”凡不被3整除的必為“素+素”，因奇數(shù)列僅容納一個(gè)3的可倍因子）。同理可完成其他證明。在采用分類證明法時(shí)，須滿足一個(gè)必要條件，即建立兩個(gè)公式：（1）一般二數(shù)和表達(dá)式N偶=X+（N偶﹣X），…。（2）二素?cái)?shù)和表達(dá)式N偶=S1+S2，…;其中X，S1≤，N偶-X，S2≥，范圍限定是保證二數(shù)和不重不漏。在不同剩因子代入公式時(shí)，須以兩個(gè)公式為依據(jù)。注意，在證明時(shí)，當(dāng)“奇+奇”變形為“剩+?！睍r(shí)，又可變形為“S1+?！?。因已知素?cái)?shù)的第二個(gè)性質(zhì)為依存性或伴生性。即素?cái)?shù)依存于偶數(shù)。則同理，S1依存于，因此，S1可作已知條件，并直接代入公式。這一方法在以下較大偶數(shù)中可廣泛運(yùn)用。例：當(dāng)N偶=50～120時(shí)的證明過(guò)程。在此區(qū)間，“奇+奇”中除了排除3的可倍點(diǎn)外，還要排除7的可倍點(diǎn)。又已知分類分解后，“奇+奇”已變形為“S1+?！保粗灰獙ⅰ笆！蔽簧系?的可倍點(diǎn)排除后，“S1+?！北貫椤八?素”。證明過(guò)程略。同理，當(dāng)證明N偶=122～168時(shí)，只要將“?！蔽簧系?，11二因子的可倍點(diǎn)排除即可，因該值區(qū)又增了一個(gè)11干擾因子。以此類推，建立逐因子分段證明區(qū)間，直至N偶≤10 000即可。其中因子數(shù)值達(dá)97，剩位干擾因子數(shù)為22個(gè)（7，11，…，97）。當(dāng)N偶>10 000，則納入大偶數(shù)范疇統(tǒng)一證明（過(guò)程略）。

3.2.2? “孿生猜”中的運(yùn)用

無(wú)論將孿生素?cái)?shù)設(shè)定為P，P+2或m，m﹣2形式，證明它的唯一條件必須保證P，P+2或m，m﹣2中的兩個(gè)值點(diǎn)均為素?cái)?shù)。而保證P，P+2是素?cái)?shù)，唯以決定的全素因子SX—3，7，11，…，y均不整除方可保證。（在分解孿生素?cái)?shù)時(shí)，通常以的全素因子數(shù)代表的全素因子數(shù)，因二者因子是一致的，這是量差值決定的）?？芍?dāng)P+2值小于9時(shí)，其中任一相鄰為2的奇數(shù)必為孿生素?cái)?shù)，與首個(gè)“1”相鄰除外。因其中奇數(shù)列無(wú)可倍素因子項(xiàng)。同理，49與9之間，凡孿生奇數(shù)對(duì)，只要同時(shí)不被“3”整除，必為孿生素?cái)?shù)，因其間奇數(shù)列只有一個(gè)3的可倍因子項(xiàng)。同理，121與49之間，條件同上，只要孿生奇數(shù)列同時(shí)不被3，7二因子整除必為孿生素?cái)?shù)。以此類推，可一直解證任意孿生素?cái)?shù)?？上攵?，當(dāng)P，P+2值點(diǎn)達(dá)10 000以上，其擁有至少23個(gè)素因子，當(dāng)P，P+2值點(diǎn)達(dá)一億以上，其擁有至少1 227個(gè)素因子。隨量值增長(zhǎng)素因子也無(wú)窮盡地增長(zhǎng)，請(qǐng)問(wèn)，舍此條件，怎么建立一個(gè)所謂的尖端數(shù)學(xué)方法體系？