于川

一、一道高考數(shù)學(xué)題帶來(lái)的警示

例一：設(shè)變量x、y滿足約束條件? ? ? ? ? ? ，

則目標(biāo)函數(shù)? ? ? ? ?的最小值為（ ）

A.2? ?B.3? ?C.4? ?D.5

這是2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷）的第二題，此題正確答案為B。當(dāng)年的考后問卷調(diào)查及師生反饋相關(guān)數(shù)據(jù)顯示：高考中，選B的考生僅三分之一，超半數(shù)考生選了A。在隨后幾年高考中，此類型題多次出現(xiàn)，雖然得分率有所提升，但始終不能令人滿意。作為考卷第二題，按理說很基礎(chǔ)，為什么大部分考生會(huì)選A呢？選A的考生思路如下：將三個(gè)不等式變?yōu)槿齻€(gè)方程，兩兩一組求交點(diǎn)，得到三個(gè)交點(diǎn)分別為（2，0）、（1，1）、（3，1），再分別代入目標(biāo)函數(shù)? ? ? ? ?，得到的最小值是2。

考查結(jié)果反映出大多數(shù)考生在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃知識(shí)時(shí)不理解知識(shí)的意義，解題機(jī)械，不求甚解。這也提醒教師，落實(shí)知識(shí)要“講理”，教會(huì)學(xué)生如何“推理”。優(yōu)秀的考生除了具備扎實(shí)的基本功，還要具備對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟能力、遷移能力，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)與提升數(shù)學(xué)能力刻不容緩。

二、正確理解夯實(shí)基礎(chǔ)與提升能力的含義

有些教師可能會(huì)質(zhì)疑：高三復(fù)習(xí)做的工作就是在抓基礎(chǔ)、提能力，為什么還會(huì)出現(xiàn)較大失誤呢？主要是因?yàn)閷?duì)夯實(shí)基礎(chǔ)與提升能力存在一定曲解。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)基本思想方法;數(shù)學(xué)基本技能主要是指能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、作圖或畫圖、進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。歷年《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試天津卷說明（文史類）》對(duì)知識(shí)的要求依次是“了解”“理解”“掌握”，考綱中所用動(dòng)詞多是“會(huì)用”“能夠”“會(huì)解”“掌握”等“硬性指標(biāo)”，背、默、重復(fù)的前提一定要理解，理解基礎(chǔ)上的記憶才最深刻。對(duì)考查知識(shí)的要求也有具體表述，如“能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的應(yīng)用”“理解函數(shù)的單調(diào)性”“理解性質(zhì)定理，并能夠證明”等，“理解”一詞經(jīng)常出現(xiàn)?！袄斫狻币馕吨坝休^深刻的理性認(rèn)識(shí)，知道知識(shí)間的邏輯關(guān)系，能夠?qū)λ兄R(shí)作正確的描述說明并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，能夠利用所學(xué)知識(shí)內(nèi)容對(duì)有關(guān)問題進(jìn)行比較、判斷、討論，具備利用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問題的能力”，可見其層次較高。處理問題時(shí)需要將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)結(jié)合，要求學(xué)生能在數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖形間轉(zhuǎn)換，具備運(yùn)用分類討論思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想綜合分析與解決問題的能力。

三、提高高三復(fù)習(xí)課的實(shí)效性

夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、提升數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，使學(xué)生通過經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性、邏輯性和概括性，其特點(diǎn)和思維能力的強(qiáng)弱決定了教學(xué)質(zhì)量及學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低。在高三復(fù)習(xí)課中，把學(xué)生從題海、機(jī)械模仿中解放出來(lái)，直接切入問題本質(zhì)——提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，通過不斷改進(jìn)課堂教學(xué)手段與方式，提高復(fù)習(xí)課的實(shí)效性。

一般高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課可大體分成兩個(gè)階段：復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，形成知識(shí)體系;講練典型題，鞏固所學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法。如果能加上第三個(gè)階段——反饋矯正，對(duì)于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)、形成整體思維會(huì)很有益處，具體步驟為：出示錯(cuò)解、班內(nèi)交流、一題多解、一題多變。

1.自學(xué)階段，出示錯(cuò)解。

疑是思之源，思是智之本。出示錯(cuò)解可以激發(fā)學(xué)生的興趣，使其發(fā)揮教育主體的主觀能動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)由表象感知向理性認(rèn)識(shí)的飛躍。經(jīng)過一段時(shí)間或一個(gè)階段的復(fù)習(xí)，教師可收集典型錯(cuò)題在課前發(fā)給學(xué)生，讓他們思考：這些題解法是否正確？如果有錯(cuò)，錯(cuò)在什么地方？產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是什么？如何改正？有無(wú)其他解法？能否一題多變、類比推廣？前四個(gè)問題是幫助學(xué)生落實(shí)“雙基”，后兩個(gè)問題是促進(jìn)學(xué)生思維轉(zhuǎn)化，提升數(shù)學(xué)能力。讓我們從以下例題錯(cuò)解出發(fā)，作具體講解。

例二：方程? ? ? ? ? ? ?的兩根均大于1，求m的取值范圍（? ? ?）。

解：設(shè)兩根為x1、x2，已知x1>1，x2>1，

所以 ? ? ? ? ? ? ? 得到? ? ? ? ? 。

2.質(zhì)疑階段，班內(nèi)交流。

在課前準(zhǔn)備的基礎(chǔ)上，每個(gè)學(xué)生都帶著思考進(jìn)入課堂，但由于每個(gè)人情況不同，對(duì)概念理解層次及數(shù)學(xué)方法會(huì)有一定局限性。通過課內(nèi)交流鼓勵(lì)學(xué)生充分展示思維過程，讓他們了解改變思維的方向、策略以及縮小探索范圍，教師可引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，認(rèn)真審題，深刻理解命題條件、結(jié)論實(shí)質(zhì)及相互關(guān)系，讓學(xué)生積極思考，避免以后出現(xiàn)類似錯(cuò)誤。結(jié)合例二，學(xué)生課前可先解決以下問題：

（1）該例題解法是否正確？

不正確。

（2）如果有錯(cuò)，錯(cuò)在什么地方？

是? ? ? ?的必要條件，但不是充分條件，因此錯(cuò)誤。

（3）錯(cuò)誤的原因是什么？

盡管知道用韋達(dá)定理，但是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間轉(zhuǎn)化的等價(jià)性（充要條件）理解不深刻。

（4）如何改正？

利用根與系數(shù)關(guān)系可得：

學(xué)生通過對(duì)以上四個(gè)問題的解答，加強(qiáng)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解更加深刻，消除了思維定式的影響，靈活地由一種思路轉(zhuǎn)向另一種思路。

3.指導(dǎo)階段，一題多解。

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)要注意培養(yǎng)思維的廣闊性，這一階段主要是培養(yǎng)學(xué)生思考的自覺性，鼓勵(lì)他們勇于創(chuàng)新、敢于突破，大膽提出新穎見解和解題方法。經(jīng)過思考，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)利用求根公式、二次函數(shù)圖象也能解開以上例題。訓(xùn)練一題多解可打破思維定式，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同數(shù)學(xué)思想方法解決同一個(gè)問題，使思維靈動(dòng)起來(lái)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

4.訓(xùn)練階段，一題多變。

中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生以間接經(jīng)驗(yàn)為主，需在教師的引導(dǎo)下提升數(shù)學(xué)能力、養(yǎng)成數(shù)學(xué)品質(zhì)，應(yīng)將學(xué)習(xí)看成是創(chuàng)造性勞動(dòng)，從中不斷體驗(yàn)獲得成功的喜悅。因此，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題，樹立問題意識(shí)。如，鼓勵(lì)學(xué)生從例二出發(fā)，自己給自己出題：

1.方程x2+（m+2）x+3=0的兩根均小于1，求m的取值范圍（? ? ?）;

2.方程x2+（m+2）x+3=0的一根大于1，一根小于1，求m的取值范圍（? ? ?）;

3.方程x2+（m+2）x+3=0的兩根均在（-1，1）間，求m的取值范圍（? ? ?）;

……

學(xué)生對(duì)自己出題、解題樂此不疲，有些題目解不出來(lái)，大家還會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想究其原因，在解決問題的過程中，將觸角伸展到數(shù)學(xué)知識(shí)的多個(gè)領(lǐng)域，在知識(shí)的相互碰撞中不斷擦出智慧火花，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成與數(shù)學(xué)能力的提升就是在“數(shù)學(xué)化”的過程中一步步實(shí)現(xiàn)的。

有的教師認(rèn)為高三復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，舍不得拿出時(shí)間進(jìn)行思維訓(xùn)練，寧可將時(shí)間花在大量重復(fù)做題上。對(duì)比復(fù)習(xí)課的兩種教學(xué)方式，哪一種更具有實(shí)效性可能存在爭(zhēng)議，但是教師應(yīng)將目光放長(zhǎng)遠(yuǎn)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為己任進(jìn)行負(fù)責(zé)任的教學(xué)，這才是符合認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)，才是能夠取得較好教學(xué)效果的教學(xué)，才是符合高等院校選拔人才標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)。