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        一個數(shù)位上數(shù)的問題的反思研究

        2019-09-10 07:22:44李佩
        關(guān)鍵詞:數(shù)是個位數(shù)三位數(shù)

        李佩

        細究教科書上的習(xí)題??偰芙o我們帶來意想不到的收獲。

        人教版數(shù)學(xué)教科書七年級上冊第84頁有這樣一道題:一個兩位數(shù)個位上的數(shù)是1,十位上的數(shù)是x。把1與x對調(diào)。新兩位數(shù)比原兩位數(shù)小18,x應(yīng)是哪個方程的解?你能想出x是幾嗎?

        解析:這是一個典型的整數(shù)數(shù)位上數(shù)的問題。解決問題的關(guān)鍵就是列式表示這個兩位數(shù)。為了解決這個問題,我們不妨以退為進。先看下面幾個具體的兩位數(shù)及其表示方式:

        23=2×10+3,35=3×10+5,97=9×10+7,69=6×10+9,…。

        由此規(guī)律可知,原兩位數(shù)可表示為10x+1.新兩位數(shù)可表示為10+x。

        故10+x=10x+1-18.

        所以x是方程10+x=10x+1-18的解。

        利用等式的性質(zhì)可得出方程的解為x=3.

        [反思1]可以歸納出如下結(jié)論:如果一個兩位數(shù)的個位上的數(shù)是a,十位上的數(shù)是b,那么。這個數(shù)可以表示為10b+A.有了這個一般性結(jié)論,我們可以順利解決有關(guān)整數(shù)數(shù)位上數(shù)的問題。

        變式1:一個兩位數(shù)。個位上的數(shù)與十位上的數(shù)之和為12.如果將十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)。那么所得的新數(shù)比原數(shù)大54.求原來的兩位數(shù)。

        解析:設(shè)原數(shù)個位上的數(shù)是x,則其十位上的數(shù)是12-x。這個數(shù)是10(12-x)+x,換位置后的新數(shù)為10x+(12-x),依題意得10x+(12-x)=10(12-x)+x+54.

        解之得x=9.此時12-x=3.

        故原來的兩位數(shù)為39.

        [反思2]回頭看變式1,“如果將十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)。那么所得的新數(shù)比原數(shù)大54”,這里的“新數(shù)比原數(shù)大54”實際上就是新數(shù)與原數(shù)的差是54,湊巧的是54是9的倍數(shù)。這里有一個疑問:對于任意一個兩位數(shù)。如果將十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)。所得的新數(shù)與原數(shù)的差是9的倍數(shù)嗎?設(shè)一個兩位數(shù)的個位上的數(shù)是A.十位上的數(shù)是占,那么這個數(shù)可以表示為10b+A.將十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)所得的新數(shù)為10a+b,于是新數(shù)與原數(shù)的差是(10a+b)-(10b+a):9a-9b=9(a-b)。因為a,b是整數(shù),所以a-b也是整數(shù),故新數(shù)與原數(shù)的差確實是9的倍數(shù)。對于任意一個兩位數(shù)。如果將十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)。所得的新數(shù)與原數(shù)的差一定是9的倍數(shù)。

        變式2:學(xué)生小明問李老師現(xiàn)在的年齡,李老師說:“我現(xiàn)在的歲數(shù)是一個兩位數(shù)。如果將十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)后。恰好是我再過18年的歲數(shù)?!毙∶飨肓讼胝f:“李老師。求不出來呀?!崩罾蠋熣f:“忘了告訴你,我現(xiàn)在歲數(shù)的個位數(shù)是十位數(shù)的兩倍?!毙∶骱芸烨蟪隼罾蠋煬F(xiàn)在的年齡是24歲。請問小明是怎樣算出來的。

        解析:設(shè)李老師現(xiàn)在歲數(shù)的個位數(shù)是a,十位數(shù)是b,則李老師現(xiàn)在的年齡是(10b+a)歲,18年后的年齡是(10a+b)歲,根據(jù)題意得(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=18.

        故a-b=2.

        又因為a=2B.所以2b-b=2.故b=2,a=2b=4.所以李老師現(xiàn)在的年齡是24歲。

        [反思3]我們進一步思考,如果一個三位數(shù)的個位上的數(shù)是a,十位上的數(shù)是b,百位上的數(shù)是c,那么。這個三位數(shù)怎樣列式表示?先看下面幾個具體的三位數(shù)及其表示方式:123=1×100+2x10+3,235=2×100+3×10+5.497=4x100+9×10+7,…。由此規(guī)律可知,如果一個三位數(shù)的個位上的數(shù)是A.十位上的數(shù)是b,百位上的數(shù)是c,那么,這個三位數(shù)可以列式表示為100c+10b+A.

        變式3:在一個三位數(shù)的右邊添上0,所得到的四位數(shù)比這個三位數(shù)多8073,求這個三位數(shù)。

        解析一:設(shè)這個三位數(shù)個位上的數(shù)是x,十位上的數(shù)是y,百位上的數(shù)是z。

        根據(jù)題意得1000z+100y+10x+0=100z+10y+x+8073,變形得1000z+100(y-z)+10(x-1-y)+(10-x)=8073,顯然有z=8,10-x=3,解得z=8.x=7.

        代入原方程得8000+100(y-8)+10(7-1-y)+(10-7)=8073,解得y=9.故這個三位數(shù)為897.

        解析三:設(shè)這個三位數(shù)為x,則新的四位數(shù)為10x。

        根據(jù)題意得lOx-x=8073,解得x=897.故這個三位數(shù)為897.

        [反思4]把這個三位數(shù)看成一個整體設(shè)元,再整體轉(zhuǎn)化。使得解答過程簡單明了。這是數(shù)學(xué)中重要的思想——整體數(shù)學(xué)思想的完美體現(xiàn)。

        變式4:有甲乙丙三個三位數(shù)。其和為575.若甲的百位數(shù)加上1,乙的十位數(shù)減去1,丙的個位數(shù)加上1.這樣得到的三個新三位數(shù)恰好相等,求原來三個三位數(shù)。

        解析:設(shè)相等的三個新數(shù)為x,由題意得(x-100)+(x+10)+(x-1)=575.解得x=222.故x-100=222-100=122,x+10=222+10=232.x-1=222-1=221.

        故原來三個三位數(shù)分別是122,232,221。

        練一練

        1.一個兩位數(shù)的個位數(shù)是十位數(shù)的3倍。若將個位數(shù)與十位數(shù)交換位置,所得新數(shù)與原數(shù)的和是42.43,44,45中的一個,則原來的兩位數(shù)是____。

        2.將一個三位數(shù)的百位數(shù)與個位數(shù)交換位置,所得新數(shù)與原數(shù)的差能被99整除嗎?判斷并證明你的結(jié)論。

        3.一個五位數(shù),左邊的三位數(shù)是右邊兩位數(shù)的4倍。若將右邊的兩位數(shù)移到左邊,則得到的新數(shù)比原數(shù)的2倍還多7070,求原來的五位數(shù)。

        參考答案:

        1.13 2.新數(shù)與原數(shù)的差能被99整除。證明略。3.14035。

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