王修湯

一、為何需要數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的一種素養(yǎng).主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，分析和建立模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.建模是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，要根據(jù)具體問(wèn)題，在一定的條件假設(shè)下找出解決這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)框架（即模型），然后再求出這個(gè)數(shù)學(xué)模型的解.

事實(shí)上，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、定理和算法系統(tǒng)都可以稱(chēng)之為數(shù)學(xué)模型，它是靜態(tài)的數(shù)學(xué)成果.例如，二次函數(shù)、冪函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、向量等都是數(shù)學(xué)模型，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題或者實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為這些模型來(lái)解決.

簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.

二、積累數(shù)學(xué)模型

既然一切數(shù)學(xué)概念、公式和定理都可以稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型，那么在平時(shí)的學(xué)習(xí)中就要善待這些概念、公式和定理，將課本中的概念、公式和定理尊稱(chēng)為模范、楷模也不為過(guò)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的底線.不僅如此，在平時(shí)學(xué)習(xí)中還要善于積累白己發(fā)現(xiàn)并建立的一些數(shù)學(xué)模型.多留意解題時(shí)發(fā)現(xiàn)的一些小結(jié)論、小公式和小技巧，并記錄下來(lái)備用，這對(duì)于解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題一定大有裨益，這叫做“腹有詩(shī)書(shū)氣自華”.

例如在學(xué)習(xí)《必修1》中指數(shù)函數(shù)時(shí)，我們?cè)谡n本上學(xué)過(guò)這樣一道例題：

某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)存期為x（x∈N*），本利和（本金加上利息）為y元.（復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再計(jì)算下一期的利息）.

（1）試寫(xiě)出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式;

（2）如果存入本金1 000元，每期利率為2.25%，試計(jì)算5期后本利和是多少？

首先抽象出復(fù)利計(jì)算利息下的本利和公式：y=a（1+r）x，然后要能類(lèi)比到其他的增長(zhǎng)率問(wèn)題上，得到一個(gè)函數(shù)模型：如果原來(lái)的基礎(chǔ)數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為p%，則關(guān)于時(shí)間x的總量y可表示為：y=a（1+p%）x.

進(jìn)一步你還可以推導(dǎo)出單利計(jì)算利息下的本利和公式：y=a+xr（其中a為本金，r為利率，x為期數(shù)）.如果你是一個(gè)有心人，你就應(yīng)該記住這些公式，等到遇到以下兩個(gè)問(wèn)題時(shí)，你就會(huì)利用已有的數(shù)學(xué)模型輕而易舉地拿下.

變題1 如果1年期儲(chǔ)蓄的月利率為1.65%，那么按照單利.將10 000元分別存1個(gè)月，2個(gè)月，3個(gè)月，…，12個(gè)月，所得的本利和依次為10 000+16.5，1O OOO+16.5×2，…，則第n個(gè)月所得的本利和為_(kāi)___.

變題2 某人年初投資10 000元，如果年收益是5%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末的本利和依次是：10 000×1.05，10 000×1.052，…，則第n年所得的本利和為_(kāi)_____.

再如蘇教版必修4課本第71頁(yè)例4題目如下：如圖1，△OAB中，C為直線AB上一點(diǎn)，AC=λCB（λ≠-1）.求證：OC=OA+λOB/1+λ.

將結(jié)論改寫(xiě)成OC=1/1+λOA+λ/1+λ·OB后，我們發(fā)現(xiàn)右邊系數(shù)之和為1.利用（1+λ）OC=OA+λOB，解得OA=-λOB +（1+λ）OC且OB=1+λ/λ-1/λOA≠O），它們的系數(shù)之和都為1.

于是我們可以得出一個(gè)模型：從點(diǎn)O出發(fā)的三個(gè)向量OA，OB，OC，則A，B，C三點(diǎn)共線？OC=AOA+bOB且a+b=1.

記住這個(gè)模型，可以解決很多向量問(wèn)題.

三、建立數(shù)學(xué)模型

當(dāng)我們掌握了基本的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)之后，我們就可以利用所學(xué)的知識(shí)建立較復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型.

那么數(shù)學(xué)建模的步驟有哪些呢？

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程一般包括以下六個(gè)步驟：提出問(wèn)題、模型假設(shè)、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)結(jié)果、完善模型.

下面簡(jiǎn)單介紹生活中兩類(lèi)常用的數(shù)學(xué)模型，同學(xué)們以后將會(huì)學(xué)習(xí)這些模型，學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意研究模型的背景、形成的過(guò)程、應(yīng)用的范圍，并能夠在熟悉的實(shí)際情境中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程解決問(wèn)題.

1.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型

存款時(shí)，可以抽象出單利或復(fù)利模型;貸款時(shí)，可以抽象出等額本金付款模型;還有工廠生產(chǎn)與銷(xiāo)售問(wèn)題的模型;企業(yè)的供求平衡方程等數(shù)學(xué)模型.

2.社會(huì)數(shù)學(xué)模型

有選舉模型，諸如席位分配問(wèn)題、累積選舉方法中的選舉問(wèn)題;還有人口模型，即人口增長(zhǎng)的指數(shù)增長(zhǎng)模型（x（t）=x0en）和阻滯增長(zhǎng)模型（x（t）=xm/1+（xm/x0-1）e-rt）等等。

總之，學(xué)好課本中的所有數(shù)學(xué)模型，積累自己發(fā)現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)模型，通過(guò)觀察、分析、綜合和類(lèi)比，利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)模型解決未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，甚至是未知的數(shù)學(xué)模型，你，一定行！