張 晨，張元開，王 均

(北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100144)

0 引言

混聯(lián)機(jī)構(gòu)分為串并混聯(lián)和并并混聯(lián)兩種，其中串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)同時具備串聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間大和并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度高、承載能力大的優(yōu)點，因而成為機(jī)構(gòu)學(xué)研究的一個重要方向。柔順機(jī)構(gòu)是一種依靠自身彈性變形輸出運動的裝置，特別適合小變形領(lǐng)域，在一些需要小位移小轉(zhuǎn)角的場合，柔順機(jī)構(gòu)可以達(dá)到很高的運動精度，且具有很多剛性機(jī)構(gòu)不具備的優(yōu)點。過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)，指多條支鏈對運動平臺的約束之中存在重復(fù)約束的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]，常見平面連桿機(jī)構(gòu)大多屬于此機(jī)構(gòu)[2]。

目前，常見的過約束柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)多用于微動平臺，本文將過約束柔順機(jī)構(gòu)反向應(yīng)用的思路引入傳感器的設(shè)計中，提出了一種基于串并混聯(lián)柔順機(jī)構(gòu)的電阻應(yīng)變式三維力傳感器，用于小型撲翼飛行器空間力的測量，具有結(jié)構(gòu)簡單、精度高等優(yōu)點。

1 三維力傳感器構(gòu)型設(shè)計

以柔性懸臂梁作為基本變形單元，傳感器受力平臺采用三分支平面并聯(lián)過約束柔順機(jī)構(gòu)(3RRR機(jī)構(gòu))。三維力傳感器彈性體由3部分組成：測量XOY平面力的上并聯(lián)機(jī)構(gòu)、測量Z方向力的下并聯(lián)機(jī)構(gòu)以及底座，如圖1所示。其中，上并聯(lián)機(jī)構(gòu)由3-RR柔順機(jī)構(gòu)和3根敏感方向按XOY布置的懸臂梁(第1組)組成，這3根梁作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動端(主動桿)，動平臺受的平面力將傳遞至第1組梁；用于測量Z方向力的下并聯(lián)機(jī)構(gòu)為受力方向按Z向布置的3根懸臂梁(第2組)。由于第2組梁的自由端與第1組梁的固定端連接，可視為首尾串聯(lián)，也即上下并聯(lián)機(jī)構(gòu)的串聯(lián)，由此構(gòu)成的是串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖1 彈性體三維模型圖

2 運動學(xué)建模與MATLAB優(yōu)化機(jī)構(gòu)參數(shù)

2.1 運動學(xué)分析

由于本文研究對象應(yīng)用場合為小變形領(lǐng)域，即在某位形下做微小運動，所以只需研究初始姿態(tài)(φ=0)下的位置分析，也稱定姿態(tài)分析。如圖2所示，以機(jī)構(gòu)的幾何中心O建立靜坐標(biāo)系XOY，運動平臺中心OM建立動坐標(biāo)系XMOMYM，兩坐標(biāo)原點初始位置重合，運動平臺和靜平臺均為等邊三角形。其中Ai(i=1,2,3)為主動關(guān)節(jié)，位置坐標(biāo)為θi(i=1,2,3)，主動桿AiBi=l；Bi(i=1,2,3)為中間關(guān)節(jié)，記從動桿BiCi=a(i=1,2,3)，主從動桿的夾角αi(i=1,2,3)；與動平臺相連的關(guān)節(jié)記為Ci(i=1,2,3)，動平臺外接圓半徑rM，結(jié)構(gòu)分支對稱布置，規(guī)定逆時針為正。

圖2 運動學(xué)坐標(biāo)系

根據(jù)以上規(guī)定，推導(dǎo)并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型：(i=1,2,3)

(1)

其中(XAi，YAi)為驅(qū)動關(guān)節(jié)在參考系中的位置坐標(biāo)；(X，Y)是運動平臺中心在參考系中的坐標(biāo)，φ為運動平臺轉(zhuǎn)角。

對式(1)兩邊同時求導(dǎo)，并整理形式為

(2)

則串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)方程為

(3)

采用直接求解法得機(jī)構(gòu)逆解：

(4)

由式(4)可知，機(jī)構(gòu)共有8組逆解?？紤]到運動連續(xù)性，得出一組合適的逆解如下：

2.2 MATLAB遺傳算法工具箱優(yōu)化參數(shù)

遺傳算法是一種全局優(yōu)化概率搜索算法，MATLAB遺傳算法工具箱可提供一套對各種優(yōu)化問題的解決方案[3]。本文基于雅可比矩陣，提出衡量機(jī)構(gòu)運動學(xué)性能和力操作性能的靈活性指標(biāo)[4](各向同性指標(biāo))，即機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)。其中，機(jī)構(gòu)處于某一位置的運動靈巧度由局部條件數(shù)cond(J)來衡量：

(5)

式中：σmax和σmin分別為雅克比矩陣J的最大和最小奇異值。

當(dāng)條件數(shù)接近1時，機(jī)構(gòu)具有良好的運動傳遞性能；當(dāng)條件數(shù)趨于無窮大時，機(jī)構(gòu)處于奇異位置。為了更全面地衡量機(jī)構(gòu)的運動性能，根據(jù)給定工作空間來配置機(jī)構(gòu)的有關(guān)參數(shù)，即工作空間的逆向分析[5]，這對機(jī)構(gòu)性能分析具有重要的意義。全局條件數(shù)定義如下：

(6)

式中S為已知工作空間。

優(yōu)化模型如下：

(1)設(shè)計變量：x=[x1,x2]T(x1表示從動桿長度a、x2表示運動平臺半徑rM)

(2)目標(biāo)函數(shù)：

minf(x)=|1-globalcond|

(3)約束條件(s.t.)：

g1(x)=10-x1≤0

g2(x)=x1-30≤0

g3(x)=10-x2≤0

g4(x)=x2-50≤0

優(yōu)化得到機(jī)構(gòu)參數(shù)為a=15，rM=20。

3 靜力學(xué)建模

虛功原理定義為受理想約束的力學(xué)系統(tǒng)處于平衡的充要條件是作用在系統(tǒng)上的所有主動力在任意虛位移下的虛功之和為零[6]，利用虛功原理對混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析得到：

(7)

混聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)方程如下：

(8)

對懸臂梁理論建模得到輸入fn與輸出ε之間的關(guān)系：

ε=4.670 7×10-6fn

(9)

由于X、Y兩方向的力測量采用冗余敏感方式，根據(jù)靜力學(xué)方程可知，fn2和fn3高度冗余，本文將fn3視為冗余力并剔除得到梁總應(yīng)變與動平臺受力之間的關(guān)系為

(10)

4 有限元仿真分析

本文使用的有限元軟件為ABAQUS，主要利用有限元分析方法，對所設(shè)計的三維力傳感器結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜態(tài)、模態(tài)以及剛度分析，從而驗證結(jié)構(gòu)設(shè)計的合理性。

4.1 靜力分析

本文將應(yīng)變最大值設(shè)為1.0×10-3并求出傳感器

X/Y/Z方向的滿載量程分別為±20 N/±20 N/±12 N。同時，εmax×E=72 MPa，小于硬鋁合金屈服強(qiáng)度360 MPa，安全系數(shù)為5。在傳感器3個方向滿量程范圍內(nèi)分別施加多組力值，通過擬合得到3個方向的輸入輸出曲線，如圖3～圖5所示。

圖3 施加X方向力時傳感器的輸入輸出擬合直線

圖4 施加Y方向力時傳感器的輸入輸出擬合直線

圖5 施加Z方向力時傳感器的輸入輸出擬合直線

由圖3～圖5可知，本次設(shè)計的三維力傳感器的3個測力方向線性度良好，說明彈性體結(jié)構(gòu)的變形在線彈性變形范圍內(nèi)。

傳感器3個方向上的靈敏度：

傳感器3個方向上的耦合誤差：

4.2 剛度分析

有限元法分析機(jī)構(gòu)剛度已被較多研究者們采用，剛度反映位移與力之間的關(guān)系，本文通過剛度分析驗證建模優(yōu)化的正確性。

(11)

在動平臺中心分別施加3個方向單位力得到3組位移值，則機(jī)構(gòu)初始位置剛度矩陣如下：

結(jié)論：機(jī)構(gòu)X、Y方向的性能基本一致，X/Y與Z方向的性能差別不大，總體機(jī)構(gòu)各向同性良好，驗證了優(yōu)化的正確性。

4.3 模態(tài)分析

模態(tài)分析主要用于確定機(jī)構(gòu)固有頻率和振型，傳感器前3階固有頻率、響應(yīng)振型見表1。

表1 傳感器前3階固有頻率、振型表

應(yīng)變式力傳感器屬于低通型傳感器，可由第1階固有頻率的2/3來確定其工作帶寬，因此可以估算出該傳感器的工作帶寬為0～50 Hz，滿足小型撲翼飛行器的應(yīng)用要求(撲動頻率在5～10 Hz之間)。

5 三維力傳感器的靜態(tài)特性測試實驗

當(dāng)輸入量不隨時間變化時得到的輸出曲線為傳感器的靜態(tài)特性曲線。本文采用砝碼加載方式，分別在X、Y、Z方向量程范圍內(nèi)取點施加回程力，采集數(shù)據(jù)并處理得到各自的輸入輸出曲線，如圖6～圖8所示。

圖6 FX作用下的輸入輸出曲線

圖7 FY作用下三維力傳感器的輸入輸出曲線

圖8 FZ作用下傳感器的輸入輸出曲線

結(jié)論：傳感器3個方向線性度良好，最大非線性誤差均不超過0.1%；3個方向的靈敏度分別為0.227 3 mV/N、0.125 0 mV/N、0.100 7 mV/N；3個方向回程誤差分別為0.03%、0.07%、0.21%。數(shù)據(jù)表明，本次設(shè)計的三維力傳感器具有良好的靜態(tài)性能，測試實驗平臺如圖9所示。

圖9 測試實驗平臺

6 結(jié)論

本文提出了一種柔性傳感器彈性體，吸收了柔順機(jī)構(gòu)、混聯(lián)機(jī)構(gòu)以及過約束機(jī)構(gòu)的優(yōu)點，設(shè)計的傳感器各項指標(biāo)均滿足要求。有限元仿真證明機(jī)構(gòu)各向性能基本一致，線性度高，耦合度低，靈敏度高，回程誤差??；此外，傳感器工作帶寬也滿足小型撲翼飛行器的頻率要求。