(江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

隨著半導體功率器件、永磁材料和控制理論的發(fā)展，永磁同步電機因其具有高功率密度、結(jié)構(gòu)緊湊、高氣隙磁通和高轉(zhuǎn)矩慣性比等優(yōu)點[1]，在當前的中小功率運動控制中起著越來越重要的作用。然而，PMSM本身存在著諸如定子電流、電磁轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)子磁鏈的耦合、參數(shù)攝動和外部擾動等諸多不利的因素，會直接導致控制系統(tǒng)的動態(tài)性能下降[2]。為提高PMSM的轉(zhuǎn)速響應和跟蹤性能，近年來出現(xiàn)了多種改進的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[3-4]和設(shè)計方法[5-6]。這些方法不僅豐富了PMSM的控制理論，而且一定程度上改進了PMSM的動態(tài)性能。

PMSM是一個高度非線性、強耦合的非線性系統(tǒng)[7]，反推控制作為一種有效的非線性控制設(shè)計方法[8-9]，其設(shè)計方法是通過逐步選取虛擬狀態(tài)和虛擬控制函數(shù)，從原系統(tǒng)選取并構(gòu)造新的子系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，逐步設(shè)計子系統(tǒng)的實際控制，從而實現(xiàn)整個系統(tǒng)的全局穩(wěn)定。

高性能的PMSM調(diào)速系統(tǒng)需要準確的電機轉(zhuǎn)子速度和位置信息，傳統(tǒng)的方法是通過加入機械傳感器直接測量，由于傳感器的安裝，導致電機驅(qū)動系統(tǒng)的成本增加、可靠性降低和體積增大，使得PMSM的使用范圍受到了限制[10]。針對這一問題，學者們提出了許多控制方法來獲得準確的轉(zhuǎn)速位置信息。文獻[11]采用基波反電動勢檢測法，利用繞組反電動勢與永磁轉(zhuǎn)子速度的相互關(guān)系進行估算，其原理簡單、設(shè)計方便，但在低速時由于反電動勢的難測而容易失效。文獻[12]采用高頻信號注入法，通過向凸極內(nèi)埋式電動機注入特定形式的高頻電流，并檢測出線端的負序電流，來估算轉(zhuǎn)子的位置信息。該方法調(diào)速范圍寬，但終端信號處理過于復雜，且對于電機的凸極效應過于敏感。為了達到更好的控制效果，可以將多種方法相結(jié)合，例如文獻[13]中，學者提出了一種高頻信號注入法和模型參考自適應法相結(jié)合的控制方法，該方法既保證了高速時電機的快速動態(tài)響應，也保證了低速時的速度跟蹤精度，但該方法計算量大，設(shè)計復雜。

本文針對PMSM無速度傳感器轉(zhuǎn)速跟蹤控制問題，設(shè)計了一種基于觀測器的永磁同步電機反推控制方法，并結(jié)合線性參數(shù)變化(LPV)方法，解決在電機控制中由于電機負載變化帶來的性能變化的問題。仿真結(jié)果表明，該方法相較于傳統(tǒng)PI矢量控制，跟蹤精度高、響應快、抗負載擾動強。

1 PMSM模型

基于表貼式永磁同步電機，其交直軸電感近似相等，即滿足Ld=Lq=L，在d-q參考坐標系內(nèi)的數(shù)學模型方程可寫為[14]

(1)

式中，ud、uq分別為d、q軸的定子電壓；id、iq分別為d、q軸的電樞電流；L為定子電感；Rs為定子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ω為電機轉(zhuǎn)子電角速度；p為電機極對數(shù)。

選取轉(zhuǎn)子角速度ω為調(diào)度變量，選取狀態(tài)變量x=[id,iq,ω]Τ，控制輸入u=[ud,uq,TL]Τ，則永磁同步電機的LPV凸多胞形模型可以表示為

(2)

其中，

如果轉(zhuǎn)子機械角速度ω的取值范圍已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，滿足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2為權(quán)重比系數(shù)，且滿足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，則以調(diào)度變量ω的取值邊界為凸胞形頂點的PMSM的LPV模型可寫為

(3)

其中，

2 基于LMI的LPV觀測器設(shè)計:

考慮以下LPV系統(tǒng)

(4)

式中，u∈Rm和y∈Rn分別為系統(tǒng)的控制輸入和控制輸出；θ為調(diào)度變量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均為系統(tǒng)矩陣。

假定系統(tǒng)矩陣均在凸集Ω內(nèi)變化，即

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]}k≥0

(5)

當系統(tǒng)狀態(tài)量不可直接獲取時，可以選擇以下形式的狀態(tài)觀測器估計其狀態(tài)向量：

(6)

圖1為狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)框圖，利用原系矩陣A(θ)、B(θ)、C(θ)，實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)信息的重構(gòu)，并通過增益矩陣L(θ)調(diào)節(jié)輸出誤差，使得觀測系統(tǒng)與原系統(tǒng)逐步逼近。

圖1 狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)框圖

根據(jù)式(4)和式(6)，則系統(tǒng)的狀態(tài)誤差的動態(tài)方程可以描述為

(7)

因此，觀測器的設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)化為一個尋找能夠使系統(tǒng)(7)魯棒漸進穩(wěn)定收斂于零的參數(shù)L(θ)的問題。

定理1 對于給定的正可調(diào)參數(shù)γ∈R，如果存在對稱的正定矩陣P(θ) 、矩陣Y(θ)以及單位矩陣I∈Rs×s和一個正定因子ε∈R，滿足下列不等式條件[15-16]：

P(θ)=PΤ(θ)，ε>0

(8)

(9)

其中，

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AΤ(θ)P(θ)-Y(θ)C-CΤY(θ)+εγI

(10)

則設(shè)計的LPV觀測器能夠確保觀測矩陣A(θ)-L(θ)C穩(wěn)定，同時具有較快的估計速度和估計精度。其中，* 表示矩陣對稱，從而得到LPV觀測器增益

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(11)

證明：根據(jù)式(6)中狀態(tài)誤差表達式，結(jié)合式(4)，并對其求導可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(12)

考慮誤差擾動φ，式(12)可重寫為

(13)

(14)

將式(13)代入式(14)，有：

P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C]ex+

(15)

引理 1[17]：如果存在適維矩陣M、N，和不確定矩陣F，以及正定標量ε，且對于F有FFΤ≤I，則

(MFN)Τ+MFN≤ε-1MMΤ+εNΤN

(16)

令φ=γex，γ是正可調(diào)參數(shù)，使用引理1，不等式

(17)

等價于

(18)

其中，ε>0。

則只要

AΤ(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(19)

針對永磁同步電機數(shù)學模型，設(shè)計LPV觀測器，其觀測器模型為

(20)

以PMSM轉(zhuǎn)速范圍邊界為工作點的觀測器LPV頂點模型為

(21)

L1、L2分別為凸多胞頂點ω=ωmin和ω=ωmax處的觀測器反饋增益矩陣；ρ1、ρ2表達式為

3 反推控制器設(shè)計

反推控制，又叫反演控制，相較與其他控制策略，其優(yōu)點在于算法簡單，易于實現(xiàn)，能保證系統(tǒng)的快速收斂。該方法使用了拆分的思想，將高階系統(tǒng)拆分成多個子系統(tǒng)進行控制器設(shè)計，保證了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。除此之外，反推控制還能結(jié)合一些非線性控制方法，使得其在非線性控制領(lǐng)域得到廣泛推廣。

反推控制作為一種有效的非線性控制器設(shè)計方法，其設(shè)計步驟為逐步選取虛擬狀態(tài)和虛擬控制函數(shù)，從原系統(tǒng)方程選取狀態(tài)構(gòu)造新的子系統(tǒng)，然后構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，逐步設(shè)計直至得到系統(tǒng)的實際控制，使得整個系統(tǒng)穩(wěn)定。

針對PMSM，定義轉(zhuǎn)速跟蹤誤差為

e=ω*-ω

(22)

選擇轉(zhuǎn)速跟蹤誤差e為新的狀態(tài)變量，構(gòu)造新的子系統(tǒng)為

(23)

為了使轉(zhuǎn)速跟蹤誤差趨于零，對式(22)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(24)

對式(24)求導可得

(25)

(26)

整理式(26)，選取

對eq求導可得

(27)

為使eq漸進穩(wěn)定，構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)為

(28)

對上式求導，可得：

(29)

整理得：

(30)

(31)

為使d軸電流跟蹤誤差趨于穩(wěn)定零，構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)為

(32)

對式(32)求導，可得

(33)

整理得

ud=Rid-pLωiq+Lk2ed

(34)

綜上，在無速度傳感器控制系統(tǒng)中，通過觀測器引入控制輸入，選取輸入控制律滿足

即可滿足整個PMSM系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定。

4 仿真分析

本節(jié)分別采用PI控制方法和所提方法對PMSM矢量控制系統(tǒng)利用Matlab/Simulink進行仿真。反推控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

仿真給定電機初始轉(zhuǎn)速為1000 r/min，仿真時長0.2 s，初始負載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，在t=0.1 s時突加4 N·m的負載擾動。PMSM具體參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 PMSM參數(shù)設(shè)置

根據(jù)表1參數(shù)，代入式(21)，利用定理1中的不等式條件式(8)和式(9)，分別求得電機工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min處的反饋增益矩陣：

選取仿真參數(shù)k=1200，k1=450，k2=150，圖3和圖4分別為電機轉(zhuǎn)速跟蹤仿真曲線和轉(zhuǎn)速誤差跟蹤仿真曲線。

圖3 轉(zhuǎn)速跟蹤仿真曲線

圖4 轉(zhuǎn)速跟蹤誤差仿真曲線

由圖可以看出，本文所提方法相較傳統(tǒng)PI矢量控制，在電機啟動時，能快速跟蹤參考轉(zhuǎn)速，調(diào)節(jié)時間短，超調(diào)小，在t=0.1 s突加TL=4 N·m負載擾動時，轉(zhuǎn)速能快速恢復到參考轉(zhuǎn)速附近，且誤差較小。圖5和圖6分別為電磁轉(zhuǎn)矩跟蹤仿真曲線和電磁轉(zhuǎn)矩跟蹤誤差仿真曲線，由圖可以看出，本文所提方法相較于傳統(tǒng)PI矢量控制，轉(zhuǎn)矩響應快，精度高。

圖5 轉(zhuǎn)矩跟蹤仿真曲線

圖6 轉(zhuǎn)矩跟蹤誤差仿真曲線

5 結(jié)束語

針對永磁同步電機無速度傳感器轉(zhuǎn)速跟蹤控制，結(jié)合LMI和Lyapunov穩(wěn)定性定理，提出了一種基于LPV結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)速觀測器設(shè)計方法，有效解決了系統(tǒng)參數(shù)不確定性問題，提高了抗負載擾動能力，并通過設(shè)計反推控制器，簡化了控制器設(shè)計，提高了系統(tǒng)的響應速度。結(jié)果表明，本文所設(shè)計方法相較于傳統(tǒng)PI矢量控制，跟蹤精度高、響應快、抗負載擾動強。