顏習(xí)位　許世雄

摘 要：線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)相銜接的一個重要基礎(chǔ)。從大學(xué)數(shù)學(xué)中運籌學(xué)的角度出發(fā)，得出求高中線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)最值問題的一種新解法。希望能給一線教師和高中學(xué)生一些啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃;最值;運籌學(xué);解題

文章一開始給出運籌學(xué)課程中的一個基本定義和兩個定理。這些定義和定理在普通運籌學(xué)書籍中都能查找到，并且定理有詳細的證明過程，在此就不多贅述。

最優(yōu)解：使某線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)達到最優(yōu)值（最大值或最小值）的任一可行解，都稱為該線性規(guī)劃的一個最優(yōu)解。

定理1：線性規(guī)劃問題中的基可行解對應(yīng)于可行域的頂點。

定理2：線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則一定存在基可行解是最優(yōu)解。

綜上得出，從運籌學(xué)的觀點來看，使得高中二維線性規(guī)劃中，可行域的所有頂點中其中一定存在一個頂點使得目標(biāo)函數(shù)取到最值。則通過逆向思維分析，要求解一道高中線性規(guī)劃的最值問題，只需把可行域中的頂點坐標(biāo)求出，帶入目標(biāo)函數(shù)中進行計算，所求出來的最大值即為目標(biāo)函數(shù)的最大值，求出來的最小值即為目標(biāo)函數(shù)的最小值。若可行域中只存在一個頂點，則該頂點坐標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù)中所求出的值一定是目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值。

若采用上面的解題思路，則線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值問題就轉(zhuǎn)化為了求可行域頂點坐標(biāo)后帶入目標(biāo)函數(shù)比較大小的問題。我們暫且把這種方法叫做“頂點帶入比較法”在某些題目中，相比較傳統(tǒng)的解題方法，此方法加快了不少做題速度。下面以高中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值問題中常見的兩種題型為例，用傳統(tǒng)的解題方法和文中提出的解題方法對例題進行求解，比較兩種解題方法的優(yōu)劣。

題型1：與直線的斜率有關(guān)的最值問題

例1實數(shù)x、y滿足條件，求的最小值。

解一：分析，k值就是可行域內(nèi)的點與點（-1，1）所連接直線的斜率值。畫出可行域與點（-1，1），可以看出當(dāng)取直線2x-y-2=0與x軸的交點C時，直線斜率最小，即目標(biāo)函數(shù)最小，此時，如圖1所示。

解二：求出可行域內(nèi)的兩個頂點坐標(biāo)（1，0）和（4，0），代入目標(biāo)函數(shù)分別求出和，因此為目標(biāo)函數(shù)最小值。

題型2：與直線的截距有關(guān)的最值問題

例2實數(shù)x、y滿足條件，求z=x+2y的最大值和最小值。

解一：分析：目標(biāo)函數(shù)其實就是斜率為2的直線的縱截距的一半。畫出可行域，作斜率為，截距為的平行直線系，當(dāng)直線在可行域內(nèi)滑動時候，當(dāng)直線過原點時，縱截距最小，則縱截距的一半值也是最小的，此時z=0。當(dāng)直線過點C時，縱截距最大，則目標(biāo)函數(shù)也最大，此時z=3，如圖2所示。

解2：求出可行域內(nèi)的四個頂點坐標(biāo)（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）帶入目標(biāo)函數(shù)求出z的值為0，1，2，3，則z的最大值為3，最小值為0。

總結(jié)與反思

在線性規(guī)劃求最值的題目中，若可行域的頂點數(shù)不多，則采用文中提出的“頂點帶入比較法”求解可以提高解題速度，但是對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用規(guī)劃能力沒有好處。若可行域的頂點數(shù)過多，則采用傳統(tǒng)方法解題較為恰當(dāng)。當(dāng)我們從高觀點下看待初高中數(shù)學(xué)問題時，總能有意外的收獲，對我們的教學(xué)或者解題有很大幫助。因此，初高中教師在教學(xué)過程中應(yīng)能打破常規(guī)，從較高觀點思考問題，從而加深對問題本質(zhì)的認識，來輔助自己的教學(xué)。

作者簡介

顏習(xí)位（1976.12-），男，漢族，高中數(shù)學(xué)教師，高級教師，云南省保山市施甸二中，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

許世雄（1993.10-），男，漢族，在讀教育碩士，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）;單位：云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院。