陳娟 何斯日古楞

1 引言

許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型常常歸結(jié)為求解非線性方程f（x）=0，最常用的辦法是迭代方法，其中Newton法[1]的每步迭代需要計(jì)算一次函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)值，因此不便用于較復(fù)雜的函數(shù).不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的經(jīng)典迭代法有弦截法[1]和拋物線法[1].弦截法用已知的兩步迭代值xk-1，xk求出新的迭代值xk+1，其收斂階為1.618.拋物線法則用已知的三步迭代值xk-2，xk-1，xk求出新的迭代值xk+1，其收斂階高于截法，但其計(jì)算較復(fù)雜，需要處理符號(hào)問題.為此，文[2-5]用不同的三點(diǎn)構(gòu)造拋物插值函數(shù)L（x）來近似代替f（x），再在xk處對(duì)拋物方程L（x）=0使用一次Newton公式，得到新的近似根xk+1.這種處理手段不需要直接求解二次方程L（x）=0，從而避免了符號(hào)處理問題.文獻(xiàn)[4]采用黃金分割思想，基于已知的兩步迭代值xk-1，xk及黃金分割點(diǎn)在內(nèi)的三點(diǎn)構(gòu)造拋物插值多項(xiàng)式，進(jìn)而用xk點(diǎn)處切線的零點(diǎn)作為新的近似根，構(gòu)造了一種至少二階收斂的兩點(diǎn)迭代公式.在此基礎(chǔ)上，本文利用文獻(xiàn)[6]的二重弦截法的思想，構(gòu)造了一種二重拋物線性化迭代格式

用Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn)，與Newton方法（NT）和文獻(xiàn)[6]的迭代格式（P.C.）進(jìn)行了比較.本文所給格式需要兩個(gè)初始值x-1，x0，其中初始值x-1=x0-2×10-6，計(jì)算過程采用雙精度，停止準(zhǔn)則采用|xk-xk-1|<10-6，計(jì)算結(jié)果見表1-表2.表中數(shù)值結(jié)果表明，在相同條件下本文所給格式的收斂性高于文獻(xiàn)[6]所給方法和Newton方法，符合理論分析結(jié)果.