周江娥 胡堯 商明菊

摘 要：多元時間序列中的尾指數(shù)變點檢測在理論和實際應(yīng)用中都有著廣泛應(yīng)用。本文利用單分位數(shù)方法（Single Quantile Method）構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量檢測和估計出多元時間序列數(shù)據(jù)尾指數(shù)變點，證明其極限分布。在模擬研究中，分別產(chǎn)生三個經(jīng)典的厚尾分布類型隨機數(shù)進(jìn)行模擬研究，結(jié)果表明，單分位數(shù)方法對多元時間序列尾指數(shù)的變點檢測是有效的，尤其對分布變化造成的尾指數(shù)變化的情形更加敏感與準(zhǔn)確。最后將該方法應(yīng)用于深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段車流量數(shù)據(jù)，結(jié)果顯示該方法能準(zhǔn)確檢測出交通流變點，根據(jù)存在的變點分析出交通流的變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：單分位數(shù)方法; 變點; 多元時間序列; 厚尾分布; 尾指數(shù)

中圖分類號：O212

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

通常，我們將樣本用一個分布或者模型進(jìn)行刻畫，變點則是指其分布、模型或其參數(shù)突然發(fā)生改變之點稱為變點，通過變點檢測可以分析出造成該變點的原因，從而找到有效的解決辦法。自Page以來，大量的研究都致力于變點分析這一理論及其在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用[1]。在現(xiàn)有的方法中，Cusum檢驗因其在實際應(yīng)用中的易用性而長期流行，與似然法相比，原序列真實分布未知情況可使用Cusum方法。例如文獻(xiàn)[2，3]。在金融和生物統(tǒng)計中，數(shù)據(jù)常具有尖峰厚尾的性質(zhì)，尾指數(shù)是描述此特征的一個重要指標(biāo)。實際應(yīng)用中，大多數(shù)文獻(xiàn)關(guān)注的是導(dǎo)致極端事件發(fā)生變化的均值或方差，但尾部的變化（即尾指數(shù)變化）會導(dǎo)致更多的極端事件。

極端現(xiàn)象的統(tǒng)計建模和分析是非常關(guān)鍵的，因為災(zāi)害和恐慌事件（如洪水、大地震和股市崩盤）的潛在風(fēng)險可以事先確定，從而使它們得到充分的管理或預(yù)防。在此基礎(chǔ)上，研究極值理論中的變點檢驗問題，特別是由于尾指數(shù)代表分布的肥胖程度，并確定了樣本最大值等極值漸近分布的形狀，因此本文重點研究分布尾指數(shù)的變點檢測。尾指數(shù)估計問題是幾十年來統(tǒng)計、金融、水文[4]、可靠性和通信工程中的一個核心問題。Quintos et al.和Kim et al.發(fā)展了一種檢測分布尾指數(shù)參數(shù)變點的方法，這兩種方法都是基于Hill的尾指標(biāo)估計，都是針對厚尾分布而進(jìn)行的[5，6]。根據(jù)Lee et al.提出的檢驗程序，考慮尾序過程，構(gòu)造Cusum檢驗并證明尾序列過程在假設(shè)尾指數(shù)保持為常數(shù)的原假設(shè)下弱收斂于布朗運動[7]。

本文將根據(jù)Oka et al.提出的變點估計修正單分位數(shù)方法進(jìn)行樣本尾指數(shù)變點檢測，利用Cusum檢驗思想，主要是針對多元時間序列尾指數(shù)變點檢測[8]。采用單分位數(shù)方法對多元時間序列進(jìn)行樣本尾指數(shù)變點檢測。文章主要從以下方面進(jìn)行：首先，進(jìn)行模型基本假設(shè)介紹、檢驗統(tǒng)計量的構(gòu)造和統(tǒng)計量極限分布的證明;其次，變點存在性檢驗及臨界值的模擬計算;然后，針對三個經(jīng)典厚尾分布類型模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬研究，最后，利用本文提出的方法對深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段車流量數(shù)據(jù)進(jìn)行變點存在性研究分析。

1 模型理論介紹

1.1 模型基本假設(shè)

利用變點檢測模型檢測多元時間序列中樣本尾指數(shù)的變化，我們假設(shè)所有隨機變量都被定義在概率空間（Ω，P）中。假設(shè)樣本觀測值為{Zit，i=1，…，n，t=1，…，T}是一個非負(fù)隨機變量序列，其i是指某個個體（如：年），t是指時間（如：天）。設(shè)m是將樣本劃分為m+1段的m個未知變點，及T1，…，Tm為對應(yīng)未知變點。對于每個i，假設(shè)Zit～fj，對于t∈[Tj-1，Tj），j=1，…，m+1，其中T0=1，Tm+1=T+1，fj是其分布函數(shù)，使得fj在實際應(yīng)用中不同于fj-1和fj+1。為了避免估計的序列樣本量過少，進(jìn)行變點檢測時默認(rèn)對原序列存在以下可能的劃分：Λε={（T1，…，Tm）：Tj-Tj-1≥εT，T1≥εT，Tm≤（1-ε）T}，其中ε>0是個較小的常數(shù)。Kim et al.提出的基于累積和檢測時間序列尾指數(shù)變化的模型，將其應(yīng)用到多元時間序列尾指數(shù)變點檢測中。尾指數(shù)是衡量樣本尾部分布的肥胖程度的指標(biāo)[9]。對于該變點檢測問題，有如下假設(shè)：

2 變點存在性檢驗

2.1 變點存在性檢驗步驟

由尾指數(shù)計算公式得出的各樣本尾指數(shù)情況如表1所示，可以看出在樣本的參數(shù)變化時其尾指數(shù)也隨之變化。 但在實際情況下，我們是無法從散亂的數(shù)據(jù)中觀測到該變化。下面的模擬研究中我們將針對上述三個類型分布數(shù)據(jù)中檢測其尾指數(shù)的變化，即尾指數(shù)變點存在性檢驗。

3.2 臨界值的確定

檢驗統(tǒng)計量的極限分布性質(zhì)檢測尾指數(shù)變點存在情況，由于臨界值通過其極限分布不容易計算，所以通過蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation）方式獲得檢驗法則中的臨界值，即在給定顯著性水平為α的條件下，分別產(chǎn)生隨機數(shù)εi，且εi～N（0，1）樣本量為1000，模擬10000次，α分別取01，0.05，0.01，計算μn，1，得到10000次模擬最大值的（1-α）分位數(shù)即為對應(yīng)α水平下的臨界值，其結(jié)果展示如表2。

由上表可以看出單分位數(shù)方法對多元時間序列尾指數(shù)變點檢測在顯著性水平α=0.05下準(zhǔn)確度相對最高，且針對三個分布類型數(shù)據(jù)當(dāng)分布從正態(tài)分布變化到t分布時檢測正確率很高，說明該方法針對分布變化導(dǎo)致尾指數(shù)變化情形的變點識別更加精確，且運算速度較快，尤其對于t分布的檢測時間比其他兩種分布都少。

對于多變點檢測，本文采用二分法原理，結(jié)合二分法來對變點個數(shù)和位置的估計簡單描述如下： 第一步，通過上文所述變點存在性檢驗方法在全部數(shù)據(jù)集{Zit}上檢驗變點是否存在，若沒有變點則終止程序，表明整個數(shù)據(jù)集不存在變點; 否則，我們可以估計出第一個變點T^1。第二步，基于變點T^1將數(shù)據(jù)序列{Zit}分為兩個子集{Zit}T^1-1t=1與{Zit}Tt=T^1，則類似地用同樣的方法檢驗子序列{Zit}T^1-1t=1和{Zit}Tt=T^1中是否存在變點，并且相應(yīng)地進(jìn)行位置估計。無論何時，若不能檢驗出某個子序列存在變點，則說明這個子序列中不存在變點; 若檢驗出了變點，則繼續(xù)利用二分法將該序列分開，再在每個子序列中檢驗是否存在變點并進(jìn)行位置估計。一直持續(xù)上述過程，直至所有子序列中不再檢驗出變點為止。運用此方法，僅需要比較子序列沒有變點和僅有一個變點的模型，并且可同時確定變點的個數(shù)和它們的位置，因而該方法簡單而有效。

4 實例分析

本實例分析數(shù)據(jù)源于深圳市局部區(qū)域道路的流量監(jiān)測數(shù)據(jù)，主要選取深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段2018年3月27號（星期二）、2018年3月30號（星期五）和2018年3月31號（星期六）三天的數(shù)據(jù)為例，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為每兩分鐘記錄一次該路段車流量總數(shù)（一天共720個數(shù)據(jù)），根據(jù)實際數(shù)據(jù)得到過車量的時序圖1所示。

分別以深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段2018年3月27號（星期二）、2018年3月30號（星期五）和2018年3月31號（星期六）三天的數(shù)據(jù)為例，利用本文的單分位數(shù)方法根據(jù)二分法原理將多變點轉(zhuǎn)化為單變點問題進(jìn)行變點檢測，得到結(jié)果如圖2、圖3所示。

由圖2（左）顯示深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段2018年3月27號（星期二）車流量變點檢測情況，檢測結(jié)果顯示存在三個變點，對應(yīng)的位置分別是205、274、555，相對應(yīng)的時間為 06∶46，09∶04、18∶26，2018年3月30號（星期五）車流量變點檢測情況如圖2（右）所示，檢測結(jié)果顯示存在四個變點，對應(yīng)的位置分別是199、217、512、550且相對應(yīng)的時間為 06∶34，07∶10、17∶00、18∶16，從檢測結(jié)果容易看出工作日星期二和星期五有著類似的交通流變化規(guī)律，檢測出早高峰7∶00～9∶00和晚高峰17∶00～19∶00都存在交通流變點，對于星期五而言變化情況更為復(fù)雜，這是因為星期五是一周中工作日的最后一天，人們都有各自的周末安排，在結(jié)束一周的工作后將出行旅游或者和朋友聚餐等活動，這就造成交通流變化規(guī)律有一定的變化，本文的檢測結(jié)果和人們平時的出行規(guī)律相符合，證明了此方法的有效性。

2018年3月31號（星期六）車流量變點檢測結(jié)果如圖3所示。

從圖3中2018年3月31號（星期六）車流量變點檢測結(jié)果得到，在周末變點存在的時間為8∶22，15∶50，17∶56和上述工作日車流量變點檢測結(jié)果相比，周末的早高峰要比工作日來得晚，而晚高峰變點存在情況和工作日相差不大，這是因為周末是人們在經(jīng)過辛苦的一周工作后放松的時間，人們的生活習(xí)慣傾向于更加隨意和散漫，人們都更愿意睡個舒服的懶覺再整理出門，這就導(dǎo)致了路段交通流變點的延遲，說明本文變點檢測方法能有效地檢測出交通流變點存在情況。

5 總結(jié)

本文通過單分位數(shù)方法對多元時間序列尾指數(shù)變化進(jìn)行變點檢測。通過模擬研究證明了該方法的有效性，通過對交通數(shù)據(jù)的實例分析，得到該方法能準(zhǔn)確檢測到交通流中存在的變點，進(jìn)而對于出行者而言了解該信息可以避免出行高峰期，提高出行效率，對于相關(guān)交管部門而言可根據(jù)該信息有效且快速地采取解決方案，一定程度上舒緩交通壓力。

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（責(zé)任編輯：曾 晶）