王浩

摘要：函數(shù)不等式是高中數(shù)學中的重要題型，其解法五花八門。我們強調(diào)通性通法，從而達到事半功倍的效果。本文利用切比雪夫逼近理論對一類帶絕對值的含參函數(shù)的最值問題進行探究。

關(guān)鍵詞：切比雪夫逼近;最小偏差;最值

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2177（2019）20-0088-02

1 背景

函數(shù)構(gòu)造論是數(shù)學分析的一個分支，起源于數(shù)學家切比雪夫的偉大工作：內(nèi)插理論，機械求積，矩量問題。它所研究的是利用簡單的分析工具來研究近似表達任意函數(shù)的問題。在函數(shù)的一致逼近理論中，我們遇到過一種問題：能不能用多項式去逼近一個任意給定的函數(shù)，并且具備已給定的精度。1885年 Weierstrass第一定理給我們指出，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用多項式來表示并具有預先給定的精度。 然而， 這樣給出的多項式次數(shù)可能很高。自然要問：如果預先對多項式的次數(shù)進行限制，那么能達到什么樣的精度？這就是切比雪夫逼近。在中學數(shù)學解題中，我們會經(jīng)常遇到一類帶絕對值的含參函數(shù)f（x）-Ax-B求最大值的最小值問題，其本質(zhì)是用直線y=Ax+B對函數(shù)f（x）進行切比雪夫逼近， 即求f（x）的一次最小偏差多項式。

2 切比雪夫逼近理論簡介

我們用H表示一次多項式的集合， C[a，b]表示閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)的集合。

定義：（1）設(shè)f（x）為[a，b]中的任一函數(shù)， P（x）∈H， 令?（P）=max|P（x）-f（x）|， 稱?（P）為多項式P（x）和f（x）的偏差， 稱E（f）=inf{?（P）}為H中多項式與f（x）的最小偏差， 或H中多項式對f（x）的最佳逼近。

（2）若x0∈[a，b]，使得P（x0）-f（x0）=E（f），則x0稱為（+）點，若P（x0）-f（x0）=-E（f）， 則x0稱為（-）點。

定理1：f（x）∈C[a，b]，P（x）∈H使得?（P）=E（f）。

定理2：（+）與（-）都存在。

定理3： f（x）∈C[a，b]，H中只存在一個最小偏差多項式。

定理4：f（x）∈C[a，b]，Q（x）∈H，令M=max|Q（x）-f（x）|，若存在a≤x1

定理5：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上有不變號的二階導數(shù)，則f（x）的最佳逼近直線為：

g（x）=k（x-）+，其中k=，

c由f'（c）=k確定。

幾何意義：g（x）實際上就是函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]的極值點和函數(shù)f（x）圖像的兩個端點連成的兩條線段的中點所在的直線。

3 解題應(yīng)用

例題1：g（x）=∣-ax-b∣，a，b，∈R，x∈[0，4]

求{g（x）max}min。

解析：令g（x）=，則f（x）在閉區(qū)間[0，4]上的最佳逼近直線為g（x）=x+

由幾何意義得到E（f）=

所以{g（x）max}min=E（f）=。

例題2：f（x）=|x2+ax+b|，x∈[-1，1]，f（x）max=，求2a-3b的值。

解析：令f（x）=x2，則f（x）在閉區(qū)間上的最佳逼近直線為g（x）=，由幾何意義得到E（f）=

所以a=0，b=，2a-3b=-。

例題3：f（x）=|x3-ax-b|，x∈[-1，1]，f（x）的最大值為M[a，b]，求M[a，b]的最小值。

解析：令p（x）=x3，pn（x）=6x，由于pn（x）二階導數(shù)在區(qū)間[-1，1]上變號，因此不能直接利用定理5的結(jié)果，我們考慮一次最佳逼近的幾何意義， 發(fā)現(xiàn)最佳逼近直線就是兩條夾逼區(qū)間內(nèi)圖像的直線的中線。

如圖1所示，分別過圖形的兩個端點A，C求出切線，易得切線分別為：3x-4y+1=0，3x-4y-1=0。所以最佳逼近直線為3x-4y=0。

M[a，b]的最小值為 。

例題4：已知f（x）=acosx-4cosx3，若對任意的x∈R，都有|f（x）|≤1，求a的值。

解析：令cosx=t∈[-1，1]，則函數(shù)f（x）=at-4t3， 類似于例題3，可以求出最佳逼近直線為y=3t， 所以a=3。

4 思考與感悟

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的主要模型，函數(shù)的變化特征反應(yīng)了自然規(guī)律的變化特征。研究函數(shù)就是要研究數(shù)量之間的相互關(guān)系。函數(shù)的內(nèi)容豐富，我們可以從不同的角度研究，比如單調(diào)性、奇偶性、周期性。函數(shù)題目靈活多變，主要考察學生對性質(zhì)的整體把控，以及對性質(zhì)的進一步研究。本文通過對利用切比雪夫一次逼近解題的研究，筆者得到一些啟發(fā)。對于求最大值的最小值問題我們可以從切比雪夫逼近的角度挖掘問題的本質(zhì)，關(guān)注幾何和代數(shù)的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化其中解題的通性通法。通過對問題的轉(zhuǎn)化、變換，可以激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，同時培養(yǎng)學生思維的廣闊性。高考數(shù)學突出考察學生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，而這其中多學生的基本思想考察尤為重視。轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學結(jié)合的思想在考題中都有很充分的體現(xiàn)。我們要教會學生從“形”和“數(shù)”兩方面來思考問題。數(shù)學教學的核心是要突出主體性和思維性。學生的思維廣度和深度的提高、解題能力的提升、對于數(shù)學的認識的加深都是自身逐步內(nèi)化的過程。我們在教學過程中既要精準施教也要注意培養(yǎng)學生進一步探究的能力。

參考文獻

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（編輯：楊梅）