(1. 桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，廣西桂林 541004；2. 廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室，廣西桂林 541004)

0 引 言

超寬帶穿墻雷達能夠為墻后目標(biāo)檢測提供良好的手段，因而在災(zāi)后救援、反恐巷戰(zhàn)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]，經(jīng)典的成像算法如后向投影(Back Projection，BP)算法、延時求和算法等需要大量的空間與時間數(shù)據(jù)采樣，耗時且無法避免成像結(jié)果中的雜波干擾。為了減少成像數(shù)據(jù)量并提高成像分辨率，基于壓縮感知的成像技術(shù)被引入到穿墻成像中，通過在成像模型中引入稀疏的正則化約束，可將目標(biāo)的重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為1范數(shù)優(yōu)化問題，采用包括貪婪法[4-5]、貝葉斯方法[6-7]、正則化方法[8]等來恢復(fù)稀疏信號。文獻[4]和文獻[5]都是根據(jù)目標(biāo)特性構(gòu)建相應(yīng)稀疏特性成像字典矩陣，然后通過正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法完成目標(biāo)成像，這類算法最重要的一步是從成像場景的最小二乘估計結(jié)果中選取支撐集，顯然這一步是最為耗時，且OMP算法極易受到信號輸入信噪比影響。相比于OMP方法，貝葉斯方法能夠在低信噪比情況下取得較好成像，文獻[6]在BCS的基礎(chǔ)上結(jié)合擴展目標(biāo)像素間的結(jié)構(gòu)性信息，然后利用吉布斯采樣方法得到高分辨的成像結(jié)果，但該方法加大了成像模型的復(fù)雜度致使算法運算時間較長。而文獻[7]通過構(gòu)建點目標(biāo)與擴展目標(biāo)的組合字典，并利用一階泰勒級數(shù)展開解決目標(biāo)網(wǎng)格點偏移問題，算法成像結(jié)果具有較高分辨率，然而構(gòu)建兩個成像字典勢必帶來更多的成像時間。文獻[8]提出一種基于迭代的拉格朗日乘子的穿墻擴展目標(biāo)成像方法，通過稀疏增強、區(qū)域增強以及圖像域優(yōu)化三步，獲得了高分辨的擴展目標(biāo)結(jié)果，同時拉格朗日乘子項也避開了對先驗信息的獲取，然而該方法同樣存在算法耗時過高的問題。顯然，上述所列的稀疏成像方法均在一定程度上改善了成像結(jié)果的分辨率，但他們都不可避免地提高了成像時間，因此，如何保證成像分辨率較高的前提下縮短成像時間對于穿墻應(yīng)用十分重要。

有鑒于此，本文提出一種基于交替迭代框架的墻后目標(biāo)成像快速算法，首先利用貝葉斯框架建構(gòu)起穿墻信號的稀疏表示模型，并利用最大后驗估計準(zhǔn)則得到包含參數(shù)與目標(biāo)散射矢量的目標(biāo)函數(shù)，然后在優(yōu)化最小化(Majorization-Minimization，MM)框架下構(gòu)造此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的穩(wěn)健優(yōu)化函數(shù)，最后對聯(lián)合概率密度函數(shù)的目標(biāo)散射系數(shù)、噪聲功率以超參數(shù)依次進行交替迭代優(yōu)化。與現(xiàn)有的成像方法對比，本文方法在信噪比較低時能實現(xiàn)墻后目標(biāo)清晰成像的同時，也大幅提升了成像速度。

1 信號模型

使用收發(fā)天線共置的雷達系統(tǒng)沿著平行于前墻的方向?qū)竽繕?biāo)進行J點的合成孔徑探測，同時將感興趣場景(SOI)在距離向和方位向上劃分為N=Nx×Nz個像素網(wǎng)格，定義xn表示第n像素點的目標(biāo)反射系數(shù)，n=1,2,…,N，則第j個探測位置接收到的目標(biāo)回波信號表示為

j=1,2,…,J

(1)

對式(1)的sj(t)進行K點采樣，采樣后的數(shù)據(jù)可以表示成

ej(kTs)，k=1,2,…,K

(2)

式中，Ts表示采樣周期。將式(2)寫成矢量形式表示為

rj=PjDjx+ej

(3)

式中，rj=[rj(0),rj(1),…,rj(K-1)]T表示第j個測量位置處的回波信號矢量，x=[x1,x2,…,xN]T表示散射系數(shù)矢量的值，Dj是由距離衰減系數(shù)組成的對角矩陣，表示為Dj=diag(αj1,αj2,…,αjN)，Pj為一個K×N的矩陣，其中元素表示為脈沖信號相應(yīng)平移，具體為

(4)

考慮到所有J個孔徑接收到的回波數(shù)據(jù)，可以得到以下線性關(guān)系:

r=Ψx+e

(5)

y=Φ(Ψx+e)=Αx+n

(6)

式中，Φ表示一個維度是M×JK的測量矩陣，矩陣Α=ΦΨ表示從Ψ中隨機抽取行和列構(gòu)成新的字典。

2 優(yōu)化最小化框架的遞歸迭代成像算法

2.1 算法描述

假設(shè)穿墻回波信號y滿足貝葉斯模型

p(y|x,η)=N(Ax,ηI)

(7)

式中，η為高斯白噪聲的方差，且該數(shù)值即為噪聲的功率，其取值范圍η∈[0,+)，因而可以合理假設(shè)其先驗概率密度函數(shù)為

p(η)∝1

(8)

另外，假設(shè)目標(biāo)散射系數(shù)x中的元素為獨立同分布，并服從未知參數(shù)為λ的拉普拉斯分布，所以散射系數(shù)矢量的概率密度函數(shù)表示為

(9)

本文利用最大后驗估計(MAP)準(zhǔn)則來重構(gòu)目標(biāo)散射系數(shù)矢量，先給出目標(biāo)散射系數(shù)的聯(lián)合后驗概率分布函數(shù)p(x|y,λ,η)：

p(x|y,λ,η)∝p(y|x,η)p(x|λ)p(η)=

(10)

根據(jù)MAP準(zhǔn)則，需要通過最大化聯(lián)合后驗概率密度函數(shù)p(x|y,λ,η)，進行實現(xiàn)對多變量目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化求解。為方便描述，將式(10)取對數(shù)后表示為

(11)

通過最大化目標(biāo)函數(shù)ln(p(x|y,λ,η))，同時忽略ln(p(x|y,λ,η))中的常數(shù)項，可以求解未知的散射系數(shù)矢量x、噪聲功率η以及超參數(shù)λ的MAP估計值，即

(12)

在尋找散射系數(shù)矢量x最優(yōu)解過程中，隨著迭代次數(shù)增加，目標(biāo)函數(shù)G(x,λ,η)是一個遞減的趨勢[13]，第l+1次迭代得到的x(l+1)均比前一次的x(l)要小，因此，目標(biāo)函數(shù)G(x,λ,η)存在以下不等式成立：

(13)

(14)

(15)

([Ax]m)2≤qk(x,x(l))

(16)

(18)

結(jié)合式(17)和式(18)，G(x(l),λ(l),η(l))在當(dāng)前散射系數(shù)估計x(l)下的最優(yōu)函數(shù)可表示為

(19)

且Q(x,λ(l),η(l)；x(l))滿足

G(x,λ(l),η(l))≤Q(x,λ(l),η(l);x(l))

l=1,2,…,L

(20)

充分借助大數(shù)據(jù)等計算技術(shù)，基于課程關(guān)鍵字、學(xué)員信息等數(shù)據(jù)的分析，為學(xué)員提供個性化資源推薦。依靠技術(shù)記錄學(xué)員學(xué)習(xí)時間、終端系統(tǒng)等，形成用戶行為數(shù)據(jù)，通過自動匯總分析系統(tǒng)將結(jié)果反饋給學(xué)員及干部網(wǎng)絡(luò)教育決策人員。

n=1,2,…,N

(21)

在第2步中，固定散射系數(shù)矢量x和超參數(shù)λ，對噪聲方差η進行優(yōu)化，此時的目標(biāo)函數(shù)表示為

(22)

將G(η,λ(l),x(l))對η求偏導(dǎo)，并令其為0，可得

(23)

最后，固定噪聲方差η和散射系數(shù)矢量x去估計超參數(shù)λ，此時的目標(biāo)函數(shù)G(λ,x(l),η(l))表示為

(24)

計算G(λ,x(l),η(l))對λ的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，可得

(25)

考慮到l1范數(shù)在零點處不可導(dǎo)，此處可以對向量范數(shù)進行平滑近似[12]，

(26)

此時的λ(l+1)可以改寫為

(27)

式中，ε表示平滑因子，其值采用逐漸遞減參數(shù)的方法，即ε(l)=ε(l-1)/10，直到滿足迭代終止條件為止。

2.2 算法實現(xiàn)

本文算法在估計散射系數(shù)矢量x的步驟中，利用優(yōu)化最小化框架避免了直接利用封閉形式求解帶來的求逆運算，有效提高了算法運算效率。算法流程如表1所示。在構(gòu)建字典矩陣、測量矩陣、測量值向量和初始參數(shù)后，進入式(21)、式(23)和式(27)的循環(huán)迭代過程，直到滿足條件后退出循環(huán)。

表1 算法流程

3 仿真與實驗結(jié)果與分析

3.1 仿真結(jié)果分析

利用電磁仿真軟件GprMax仿真墻后目標(biāo)成像得到仿真數(shù)據(jù)。前墻體長為3 m，墻體的厚度為0.2 m，相對介電常數(shù)為6.4，電導(dǎo)率為0.01 S/m。由31個收發(fā)共置的天線單元構(gòu)成線性陣列均勻分布在橫軸0.9～2.1 m、縱軸0.5 m處，陣元間隔0.04 m，線陣距離墻體0.5 m。發(fā)射脈沖寬度為1 ns高斯脈沖信號，GprMax的網(wǎng)格單元為0.01 m，時間步長為23 ps，采樣時間窗為25 ns，仿真中成像區(qū)域的方位向與距離向網(wǎng)格大小均設(shè)置為0.05 m，為模擬真實情況，仿真中引入高斯白噪聲。

圖1給出了GprMax仿真模型，為模擬不同形態(tài)的墻后目標(biāo)成像場景，設(shè)置混合目標(biāo)并存的仿真場景，圖1(a)為兩個目標(biāo)仿真示意圖，圖中擴展目標(biāo)長寬分別為0.3 m和0.2 m，且兩個目標(biāo)彼此之間以及與前墻體的距離分別為0.6 m和1.3 m，圖1(b)為點目標(biāo)與擴展目標(biāo)混合仿真示意圖，擴展目標(biāo)尺寸和距離與圖1(a)一致，點目標(biāo)分別位于(1.05,2)和(1.35,2.25)處。

(a) 兩目標(biāo)

(b) 混合目標(biāo)圖1 GprMax仿真模型

由于采用稀疏成像，本文選擇全部31個天線單元，每個接收天線的數(shù)據(jù)隨機選擇200個采樣點。圖2和圖3分別給出了兩目標(biāo)體和混合目標(biāo)體的成像結(jié)果，圖中的虛線框表示目標(biāo)真實位置。圖2(a)和圖3(a)的BP成像方法，可以看出BP算法得到的旁瓣雜波較多，目標(biāo)之間雜波干擾導(dǎo)致分辨率急劇下降，并且在目標(biāo)真實位置的后面產(chǎn)生了嚴(yán)重的虛假像，難以識別出目標(biāo)位置；圖2(b)和圖3(b)采用文獻[4]的成像方法，成像結(jié)果相對BP算法分辨率提高，但仍然無法消除目標(biāo)之間旁瓣影響，目標(biāo)體之間輪廓特性不明顯；而圖2(c)和圖3(c)是采用本文方法成像結(jié)果，相比較前兩種成像結(jié)果，本文方法得到的擴展目標(biāo)輪廓連貫，點目標(biāo)成像聚焦性較高，而且目標(biāo)與目標(biāo)之間的旁瓣影響被抑制，圖像較為清晰，同時本文的優(yōu)化方法提高了計算速度。

(a) BP成像

(b) 文獻[4]方法

(c) 本文方法圖2 兩目標(biāo)成像結(jié)果

(a) BP成像

(b) 文獻[4]方法

(c) 本文方法圖3 混合目標(biāo)成像結(jié)果

為了對比算法的成像性能，圖4給出了兩種成像場景下目標(biāo)雜波比(Target-to-Clutter Ratio, TCR)與信噪比之間的關(guān)系圖，從圖4(a)可以看出，隨著信噪比提升TCR數(shù)值也呈現(xiàn)上升趨勢，且在相同信噪比下，本文算法的TCR值都高于文獻[4]算法和BP算法，說明本文得到的目標(biāo)像聚焦性能優(yōu)于這兩種算法；考慮到圖4(b)中成像場景是點目標(biāo)與擴展目標(biāo)共存，成像環(huán)境較為復(fù)雜，因而成像結(jié)果雜波較多，TCR數(shù)值相較于純擴展目標(biāo)場景要小，但本文算法的目標(biāo)雜波比值仍略高于兩種對比算法成像結(jié)果，進一步說明本文方法在復(fù)雜環(huán)境中也能得到較好的聚焦性能。

(a) 兩目標(biāo)成像

(b) 混合目標(biāo)成像圖4 不同成像場景性能對比

為了看出本文算法在成像效率上的改進，將本文算法與對比算法進行對比，需要說明的是，由于本文算法進行的是稀疏信號恢復(fù)進而成像，所以這里僅是對比稀疏算法之間的效率問題，因此，可以根據(jù)稀疏成像所需數(shù)據(jù)量來對比程序運行時間，利用程序運行時間(Program Running Time, PRT)來對表征各算法效率，其值越小效率越高。表2分別給出了兩種成像場景下的數(shù)據(jù)量與PRT之間的關(guān)系，從表中可以看出，在數(shù)據(jù)量比例相同時，本文方法回復(fù)信號所需時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻[4]的成像結(jié)果，說明本文算法有效改進了成像效率。

表2 兩種成像場景下的數(shù)據(jù)量與PRT之間的關(guān)系

3.2 實驗結(jié)果分析

使用美國GSSI公司的探地雷達SIR-20搭建實驗場景，實驗墻體為實心磚墻，厚度為0.2 m，相對介電常數(shù)為6.4，天線距離墻體0.2 m，選用1 GHz的喇叭天線架高1.2 m，從-0.6 m到0.6 m以間距0.04 m水平移動掃描距前墻體1.8 m處的柜子，柜子長寬分別是0.9 m和0.3 m，共計測量31道，每道采樣點數(shù)為1 024。將SIR-20系統(tǒng)收集的回波數(shù)據(jù)經(jīng)取平均、去噪、雜波相消和自動增益控制等信號處理得到墻體回波，使用全部31個天線單元位置，每個接收天線隨機選擇200個采樣點進行成像。

圖5給出了實驗場景的示意圖，圖6給出了BP算法、文獻[4]方法以及本文方法的實驗場景數(shù)據(jù)的成像結(jié)果，虛線框表示擴展目標(biāo)的真實位置。可以看出，實驗數(shù)據(jù)處理中BP方法成像圖像旁瓣雜波較多，目標(biāo)邊緣輪廓無法識別，整體圖像分辨率較低，聚焦性較差；由于實測數(shù)據(jù)的信噪比不高，文獻[4]算法方法對此較為敏感，直接導(dǎo)致目標(biāo)成像結(jié)果散焦嚴(yán)重，幾乎無法分辨目標(biāo)像。相比之下，本文方法由于在稀疏信號貝葉斯建模時充分利用分層模型的特點，使信號進一步稀疏，因此目標(biāo)圖像的邊緣輪廓較為明顯，圖像旁瓣得到有效抑制，圖像分辨率較高，同時該算法還結(jié)合MM優(yōu)化框架，以較快速度形成成像結(jié)果。

(a) 實驗設(shè)備

(b) 實驗場景圖5 成像場景

(a) BP成像

(b) 文獻[4]方法

(c) 本文方法圖6 實測數(shù)據(jù)成像結(jié)果

4 結(jié)束語

本文提出一種基于交替迭代框架的墻后目標(biāo)成像算法，利用稀疏信號貝葉斯模型的最大后驗估計準(zhǔn)則得到包含參數(shù)與目標(biāo)散射矢量的目標(biāo)函數(shù)，然后在優(yōu)化最小化(MM)框架下利用目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的優(yōu)化函數(shù)對目標(biāo)散射系數(shù)、噪聲功率和超參數(shù)進行交替迭代求解，貝葉斯分層模型保證了成像結(jié)果的分辨率，而基于優(yōu)化最小化準(zhǔn)則的交替迭代方式有效改善了該方法的成像效率。仿真數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)的處理結(jié)果表明，擴展目標(biāo)輪廓邊緣清晰，點目標(biāo)成像聚焦度明顯，同時成像速度得以較大提高。在下一步的工作中，將繼續(xù)對該方法進行完善使其能應(yīng)用到更復(fù)雜的場景中。