(空軍預警學院，湖北武漢 430019)

0 引 言

在雷達目標識別、反隱身及雷達系統(tǒng)設計等應用場合中，分析目標寬帶電磁散射特性有著十分重要的意義。計算導體目標雷達散射截面(Radar Cross Section，RCS)，通常建立表面積分方程(Surface Integral Equation，SIE)，采用矩量法(Method of Moments，MoM)來進行求解。在傳統(tǒng)的MoM中，選用定義在三角面片上的RWG(Rao-Wilton-Glisson)函數(shù)[1]可把SIE離散成矩陣方程。當入射電磁波為單一頻率時，RCS可通過求解矩陣方程得到的感應電流來計算。此時若需要獲得一個感興趣頻段內的RCS頻率響應特性，傳統(tǒng)的MoM就需要在不同的頻率點重復求解矩陣方程，由于MoM中的阻抗矩陣為稠密矩陣，故重復求解將花費大量的時間。

為了解決這個問題，漸近波形估計(Asymptotic Waveform Evaluation，AWE)技術[2]通過插值矩陣方程的解，以節(jié)約在不同頻率點重新構建阻抗矩陣及求解矩陣方程的時間；阻抗矩陣插值方法則通過插值阻抗矩陣，以避免重復構建不同頻率點的阻抗矩陣。然而這些方法都不能降低MoM中稠密矩陣的階數(shù)。

特征基函數(shù)法[3](Characteristic Basis Function Method，CBFM)是快速求解MoM矩陣方程的一種有效方法,其基于區(qū)域分解概念提取的特征基函數(shù)(Characteristic Basis Function，CBF)能有效降低傳統(tǒng)矩量法生成的全局矩陣階數(shù)，從而可以直接求解矩陣方程，避免迭代求解可能帶來的迭代緩慢或不收斂問題。雖然采用CBFM可以有效提高單個頻率點的求解速度，但在計算寬帶RCS頻率響應時，由于CBF與頻率有關，不同頻率點的CBF是需要重新計算的，故不能有效減少頻率掃描時的計算時間。文獻[4]基于CBFM提出了超寬帶特征基函數(shù)法(Ultra-Wide Band Characteristic Basis Function Method，UCBFM)。該方法利用較高頻率點提取的CBF能夠反映較低頻率點感應電流特征的特性，在待分析的頻段最高點，提取定義為超寬帶特征基函數(shù)(UCBF)后，用以代替該頻段其他頻率點的CBF，由此減少逐個頻點重復計算CBF的時間，達到快速頻率掃描的目的。近年來，學者對該方法開展研究，并將該方法、改進算法或結合其他快速算法成功地應用于散射等電磁問題求解中，并且已有文獻大多針對單個導體目標算例，驗證了該方法的準確性和有效性[5-8]。

本文在闡述UCBFM的快速頻率掃描原理后，將其應用于由單個導體目標擴展而得的多導體目標寬帶電磁散射問題，通過數(shù)值仿真驗證該方法在這類問題求解中的準確性、有效性。

1 超寬帶特征基函數(shù)法

采用傳統(tǒng)的矩量法分析導體目標散射問題時，利用RWG基函數(shù)離散電場積分方程后，得到如下形式的矩陣方程：

Z(f)I(f)=V(f)

(1)

式中，Z為N×N維阻抗矩陣，V為N×1維激勵矩陣，I為未知的N×1維感應電流系數(shù)矩陣，其中，N為待求解的未知數(shù)個數(shù)，f為頻率。

采用傳統(tǒng)的CBFM求解式(1)時，包括3個基本步驟：1)將求解區(qū)域劃分為M塊子域，從每塊(子域)提取特征基函數(shù)；2)運用Galerkin方法構建降階矩陣；3)求解矩陣方程。

計算寬帶RCS時，上述傳統(tǒng)的CBFM方法需要在頻段的各個頻率點重復計算CBF，相比傳統(tǒng)的CBFM方法，UCBFM包含3個關鍵步驟：1)在最高頻率點提取生成UCBF；2)在各個低頻率點重復應用UCBF；3)用UCBF構建每個頻率點的降階矩陣并求解。由此避免重復計算，以實現(xiàn)快速頻率掃描。

1.1 提取超寬帶特征基函數(shù)

在最高頻率點處，運用平面波法產(chǎn)生超寬帶特征基函數(shù)(UCBF)。平面波從不同方向激勵每個獨立的子域i后，求解下式可以得初始UCBF：

(2)

從各個子域提取出UCBF后，可生成整個求解區(qū)域的UCBF：

(3)

式中，Uii為Ni×Ki維從第i塊子域中提取的UCBF,U為N×K維整個求解區(qū)域的UCBF，其中，K為整個求解區(qū)域的UCBF個數(shù)，是各子域的UCBF個數(shù)之和。頻率掃描時，該U被用在各個低頻率點，而不需要在低頻率點再重復提取相應的CBF。

1.2 產(chǎn)生降階矩陣方程并求解

此時，式(1)的解可用UCBF表示為如下形式：

(4)

式中，αi為第i塊子域上待求解的Ki×1維UCBF系數(shù)矩陣。

為構建低頻率點的降階矩陣，將式(4)代入式(1)，可得

ZCα=VC

(5)

式中，ZC=UTZU，VC=UTV，α=[α1，α2，…，αM]為K×1維待求解的對應于頻率點f的UCBF系數(shù)矩陣。從式(1)和式(3)可見，UCBF確定后，從原來需要求解I的N個未知數(shù)轉化成只需求解α的K個未知數(shù)，通常K要小于未知數(shù)個數(shù)N。

最后，求解式(5)得系數(shù)矩陣α后，代入式(4)可求出導體目標在頻率點f時的感應電流系數(shù)I，繼而可利用場方程求解相關電磁散射問題，如計算目標在該頻率點的RCS等。

2 數(shù)值算例與結果

對由單個導體目標擴展而得的多導體目標，為驗證采用UCBFM分析其寬帶電磁散射特性的有效性，分別以2×2導體球和3×1立方導體為例，計算其寬帶RCS頻率響應。仿真均在Intel Core i7-3520M CPU，2.90 GHz，8 GB RAM的PC機上完成。仿真時，入射波為θ極化方向的平面波且從θ=75°，φ=0°入射，采用三角形面片剖分擴展導體目標，計算時考慮VV極化情況。

算例一 半徑為0.6 cm的2×2導體球，兩兩中心間距為3 cm，放置于xoy平面。采用UCBFM，分別計算頻率為9，6，3 GHz時的雙站RCS，計算結果如圖1所示。其中，提取UCBF的頻率點選擇為10 GHz，奇異值分解(SVD)后，每個導體球提取的UCBF個數(shù)為308。

作為對比，采用傳統(tǒng)CBFM和MoM(商業(yè)FEKO軟件)計算的結果也如圖1所示。其中，傳統(tǒng)CBFM分別在9, 6, 3 GHz頻率點處提取CBF，SVD后，每個導體球上提取的CBF個數(shù)分別為236, 126, 48。

圖1顯示了3種結果的一致性很好，這也進一步表明，將最高頻點處提取的UCBF用于低頻點的計算過程中，不會帶來精度損失。

(a) f=9 GHz

(b) f=6 GHz

(c) f=3 GHz圖1 2×2導體球雙站RCS(f=9, 6, 3 GHz，VV極化)

算例二 計算上述2×2導體球的寬帶單站RCS。頻率帶寬為8～10 GHz，計算時選擇50個頻率點。作為比較，采用兩種頻率掃描的方法：一種是UCBFM，在最高頻率點提取UCBF后，在每個頻率點重復運用；另一種是傳統(tǒng)的CBFM，在每個頻率點重復提取CBF。

兩種方法的計算結果如圖2所示。其中，UCBF在最高頻率點10 GHz提取，SVD分解后，單個導體球提取的UCBF個數(shù)為308，該方法的CPU計算時間為1 170.470 s；CBF分別在50個頻率點提取，相應的CPU計算時間為4 418.552 s。圖2的結果表明兩者的一致性很好，且采用UCBFM進行頻率掃描，可節(jié)約73.51%的計算時間。

圖2 2×2導體球單站RCS(f=8～10 GHz，VV極化)

算例三 3×1立方導體，邊長為0.9 cm，兩兩中心間距為3 cm，沿X軸放置。計算其在8～10 GHz的單站RCS，計算時選擇50個頻率點。計算結果如圖3所示，其中，UCBF在最高頻率點10 GHz提取，SVD分解后每個立方體提取的UCBF個數(shù)為426；當重復利用UCBF進行頻率掃描時，CPU計算時間為2 083.752 s；相應地，重復計算CBF進行頻率掃描時，為5 435.187 s。

圖3的結果表明兩者的一致性很好，且采用UCBFM可節(jié)約61.66%的計算時間。

圖3 3×1立方導體單站RCS(f=8～10 GHz，VV極化)

3 結束語

重復利用在最高頻率點處提取的UCBF實現(xiàn)快速頻率掃描的方法，即UCBFM，被用于計算擴展導體目標的寬帶RCS頻率響應。該方法在計算單個頻點的RCS時，保留了傳統(tǒng)CBFM中對MoM矩陣方程加速求解的優(yōu)勢；在計算寬帶RCS頻率響應時，相比傳統(tǒng)CBFM，因不需要在每個頻率點重復計算CBF，減少了計算時間。數(shù)值仿真驗證了此頻率掃描方法的有效性，可用于擴展目標的寬帶RCS快速頻率掃描中。數(shù)值結果驗證，該方法為快速分析擴展導體目標寬帶電磁散射特性提供了一種可能的解決途徑。如果進一步研究寬帶特征基函數(shù)快速提取，并結合其他快速算法求解矩陣方程，將進一步減少計算時間上的花費，拓展UCBFM在目標散射問題上的應用空間。此外，將UCBFM用于擴展目標時，其適用的頻率掃描范圍相對單目標會更加嚴格，其與目標個數(shù)、結構形狀等的關系有待下一步深入研究。