韓 宇，樊 煒，曹 濤

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·上?！?01109；3.上海衛(wèi)星工程研究所·上?！?01109)

0 引 言

姿態(tài)容錯(cuò)控制是指在航天器發(fā)生故障的情況下仍能保持航天器姿態(tài)穩(wěn)定的控制方法，其對(duì)于在復(fù)雜環(huán)境下工作的航天器[1]而言具有重要意義，亦有眾多學(xué)者在這一領(lǐng)域開展了研究。例如，文獻(xiàn)[2]針對(duì)飛輪故障的情況，基于線性變參數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒容錯(cuò)控制方法；文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了PID迭代學(xué)習(xí)容錯(cuò)控制律，可以解決連續(xù)時(shí)變的故障系統(tǒng)；文獻(xiàn)[4]針對(duì)使用單框架控制力矩陀螺群的剛性航天器被動(dòng)容錯(cuò)控制問題開展了研究，基于滑?？刂评碚摻鉀Q了這一問題；文獻(xiàn)[5]同樣采用積分滑模的控制策略，解決了執(zhí)行器故障的剛體航天器的姿態(tài)穩(wěn)定問題；文獻(xiàn)[6]對(duì)近年來的航天器姿態(tài)容錯(cuò)控制方法進(jìn)行了總結(jié)，主要包括基于自適應(yīng)理論的容錯(cuò)控制方法[7-11]，基于滑模理論的容錯(cuò)控制方法[12-14]，以及基于控制分配的容錯(cuò)控制方法[15-17]。目前而言，航天器的容錯(cuò)控制方法已具有針對(duì)外界干擾、參數(shù)不確定性、執(zhí)行器故障等情況開展的分析及解決方案，但較少考慮了執(zhí)行器安裝誤差等情況，且仍需進(jìn)一步解決航天器在故障突發(fā)情況下的姿態(tài)快速回轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)能力，以及保持航天器高指向精度的問題。

Lyapunov方程一直是設(shè)計(jì)姿態(tài)控制律時(shí)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要手段，而如何選取一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)一直是控制領(lǐng)域一個(gè)重要的討論內(nèi)容[18-19]。利用系統(tǒng)機(jī)械能的變化來定義Lyapunov函數(shù)，從而進(jìn)一步得到全局穩(wěn)定的控制律的方法，首先由Koditschek在文獻(xiàn)[19]中提出。Lyapunov方程應(yīng)包括系統(tǒng)的動(dòng)能部分(與航天器角速度變化相關(guān))及勢(shì)能部分(與航天器姿態(tài)變化相關(guān))，其中勢(shì)能部分可以基于誤差空間的幾何關(guān)系或剛體系統(tǒng)的能量損耗而求得。例如，文獻(xiàn)[20]就是基于勢(shì)能的最大值設(shè)計(jì)了全局穩(wěn)定的反饋?zhàn)藨B(tài)控制律。文獻(xiàn)[18]考慮了一種基于幾何學(xué)的姿態(tài)控制方法，利用基于姿態(tài)四元數(shù)誤差的二范數(shù)求得了系統(tǒng)勢(shì)能的變化。然而，這兩種方法都不是幾何方法中最短路徑的選擇。本文通過誤差空間拓?fù)渌玫恼`差函數(shù)來描述勢(shì)能誤差，從幾何層面上看，這是描述勢(shì)能誤差的最短路徑選擇。因此，在航天器發(fā)生故障的情況下，本文所提出的控制方法可以迅速調(diào)整增益，使得系統(tǒng)姿態(tài)誤差迅速收斂至零，從而有效提高航天器在故障突發(fā)情況下的姿態(tài)快速回轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)能力。

1 航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于工作姿態(tài)為對(duì)地定向的三軸穩(wěn)定航天器(假設(shè)其數(shù)學(xué)模型為剛體)而言，通常以軌道坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，航天器的絕對(duì)角速度矢量ω∈R3。當(dāng)取航天器質(zhì)心C為參考點(diǎn)時(shí)，J為航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，則航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(1)

式(1)中，τ∈Rn為所有執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的執(zhí)行力矩，n為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的個(gè)數(shù)，D∈R3×n為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝矩陣，Td∈R3表示航天器所受外部干擾力矩。

以四元數(shù)來描述姿態(tài)，則航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表述為

(2)

1.2 飛輪安裝偏差模型

本文采用三正裝一斜裝的反作用飛輪組作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)[21]，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的個(gè)數(shù)n=4，D∈R3×4?？紤]到反作用飛輪制造與裝配過程中機(jī)械精度、物理工藝技術(shù)的約束，發(fā)射過程中強(qiáng)沖擊與振動(dòng)，以及環(huán)境干擾力矩的影響，其安裝構(gòu)型往往與標(biāo)稱構(gòu)型存在一定偏差，如圖1所示。

(a)標(biāo)稱執(zhí)行機(jī)構(gòu)配置

(b)存在安裝偏差的執(zhí)行機(jī)構(gòu)配置圖1 執(zhí)行機(jī)構(gòu)配置結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Configuration of actuators in spacecraft

基于此，對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差進(jìn)行建模，則有如下形式

(3)

定義ΔD∈R3×4為安裝矩陣的偏差或不確定性項(xiàng)。由于αi(i=1,2,3,4)、βi(i=1,2,3,4)均為小量，可以近似為cosαi≈1、cosβi≈1、sinαi≈αi及sinβi≈βi，則航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝矩陣可寫為

D=D0+ΔD

(4)

式(4)中，

(5)

ΔD=

(6)

1.3 飛輪故障模型

在衛(wèi)星作業(yè)過程中，飛輪的消耗極大，其不僅需要長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)，而且還會(huì)受到摩擦力矩和空間環(huán)境等眾多因素的影響。常見的反作用飛輪故障有以下4種：①反作用力矩降低；②對(duì)控制信號(hào)無響應(yīng)；③輸出力矩疊加偏差；④反作用力矩不確定。根據(jù)以上4種故障形式，可以對(duì)反作用飛輪進(jìn)行建模，單個(gè)飛輪的輸出力矩可寫為

(7)

綜上，根據(jù)飛輪安裝偏差模型和飛輪故障模型，能夠得出飛輪的實(shí)際輸出力矩模型為

(8)

e3e4}表示4個(gè)飛輪的乘性故障。

1.4 問題描述

結(jié)合飛輪的安裝偏差及故障模型，航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(9)

式(9)中，g(t)為航天器執(zhí)行器實(shí)際力矩的乘性系數(shù)，后文用Tg表示；f(t)為航天器執(zhí)行器實(shí)際力矩的加性偏差，后文用Tf表示。乘性系數(shù)矩陣可表示為

(10)

2 反步容錯(cuò)控制方法

2.1 航天器反步容錯(cuò)控制方法

由上文，航天器的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可簡(jiǎn)寫為

(11)

(12)

(13)

式(12)和式(13)中，c1>0、c2>0均為給定正實(shí)數(shù)，H(q0)為與q0相關(guān)的函數(shù)，且滿足

證明：控制器設(shè)計(jì)分為兩步完成。

定義如下變量

z1=q

(14)

z2=ω-ua

(15)

式(15)中，ua為待設(shè)計(jì)的虛擬控制律，其定義將在后文給出。

第一步：選取與q0相關(guān)的Lyapunov函數(shù)

V1=2c1H(q0)

(16)

(17)

此時(shí)，選取相應(yīng)的虛擬控制律ua為

(18)

則式(17)變?yōu)?/p>

(19)

第二步，對(duì)于定義變量z2的微分，有

(20)

選取新的Lyapunov函數(shù)為

(21)

對(duì)V2求導(dǎo)有

(22)

當(dāng)考慮容錯(cuò)控制策略為

(23)

式(23)中，c2為正實(shí)數(shù)，e為正實(shí)數(shù)，且滿足0

(24)

將式(24)代入式(22)中，可得

(25)

式(25)中，矩陣R1可寫為

(26)

由不等式可得

(27)

式(27)中，κ=min{1,c1}。

假設(shè)1：由于干擾力矩Td是有界的，則可以合理地推測(cè)存在正常數(shù)dmax，滿足

(28)

式(28)中，參數(shù)ρ≥1為給定正常數(shù)。

代入式(27)，則可知Lyapunov函數(shù)V2的導(dǎo)數(shù)有界如式

≤0

(29)

則閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

備注：定理1所給出的控制方法存在與q0相關(guān)的函數(shù)H(q0)尚未給出，但不影響對(duì)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的論證。換言之，只要函數(shù)H(q0)滿足條件(1)、(2)、(3)，則該閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。對(duì)H(q0)的論證將在下一節(jié)給出。

2.2 基于誤差空間定義H(q0)函數(shù)

表1 文獻(xiàn)中常用的H(q0)的選取方法

由表 1可以看出，很多方法是基于誤差空間函數(shù)的衍生來描述勢(shì)能損耗的。例如，編號(hào)(1)就考慮了一種基于幾何學(xué)的姿態(tài)控制方法，其勢(shì)能部分的構(gòu)造是基于姿態(tài)四元數(shù)誤差的二范數(shù)；編號(hào)(4)則直接基于四元數(shù)誤差矢量求得。然而，這兩種構(gòu)造方法都不是幾何構(gòu)型中路徑最短的選擇?？臻g誤差的消除方法主要為平衡誤差方法，從幾何層面上看，方向余弦矩陣是描述航天器姿態(tài)最直接的手段，可以快速地平衡和消除空間誤差。通過對(duì)方向余弦矩陣進(jìn)行變體考慮，虛擬控制律為

(30)

則有

(31)

對(duì)式(31)進(jìn)行積分，可得

(32)

等價(jià)于

(33)

也等價(jià)于

(34)

式(34)中，符號(hào)函數(shù)sgn的定義為

(35)

(a)H(q0)的曲線

(b) 的曲線圖2 H(q0)的曲線及其對(duì)q0的導(dǎo)數(shù)Fig.2 Function H(q0) and its derivative to q0

(36)

將其對(duì)q0求導(dǎo)可得

(37)

H(q0)函數(shù)(36)及其導(dǎo)數(shù)的圖像如圖 3中所

(a)H(q0)的曲線

(b) 的曲線圖3 H(q0)的曲線及其對(duì)q0的導(dǎo)數(shù)Fig.3 Function H(q0) and its derivative to q0

(38)

(39)

式(39)中，c1>0、c2>0均為給定正實(shí)數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定。

已由前文證畢。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證該方法對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差及故障的處理能力，假設(shè)飛輪的故障及安裝偏差為：

①X軸飛輪在5s后輸出力矩降低，e1(t)=0.6，安裝偏差α1=10°，β1=12°；

②Y軸飛輪在4～20s之間輸出力矩降低，e2(t)=0.5，安裝偏差α2=8°，β2=15°；

分別采用控制律如定理二(即式(38)和式(39)，下稱控制方法一)、控制律如定理一(即式(12)和(13)，其中H(q0)=1-q0，下稱控制方法二)以及PD控制(下稱控制方法三)3種控制方法對(duì)上文的衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，以比較說明本文所提出的控制方法對(duì)存在飛輪偏差及故障的衛(wèi)星的姿態(tài)控制能力，以及不同的H(q0)對(duì)控制方法的影響。

(a)由控制方法一仿真所得的角速度曲線

(b)由控制方法二仿真所得的角速度曲線

(c)由控制方法三仿真所得的角速度曲線圖4 由三種控制方法仿真所得的角速度曲線Fig.4 Angular velocity of three control methods

(a)由控制方法一仿真所得的四元數(shù)曲線

(b)由控制方法二仿真所得的四元數(shù)曲線

(c)由控制方法三仿真所得的四元數(shù)曲線圖5 由三種控制方法仿真所得的四元數(shù)曲線Fig.5 Quaternion of three control methods

(a)由控制方法一仿真所得的飛輪輸出力矩曲線

(b)由控制方法二仿真所得的飛輪輸出力矩曲線

(c)由控制方法三仿真所得的飛輪輸出力矩曲線圖6 由三種控制方法仿真所得的飛輪輸出力矩曲線Fig.6 Control torque of three control methods

由仿真結(jié)果可以看出，在考慮飛輪存在安裝誤差及故障的情況下，傳統(tǒng)的PID控制難以維持航天器系統(tǒng)姿態(tài)的穩(wěn)定。本文所提出的反步容錯(cuò)控制方法如定理一(即式(12)和(13))，無關(guān)于H(q0)，在飛輪存在安裝誤差及故障的情況下能夠有效實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)控制，確保航天器姿態(tài)的穩(wěn)定性。選擇不同的H(q0)，對(duì)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間會(huì)有較大影響，這是由誤差空間中勢(shì)能損耗的平衡路徑?jīng)Q定的。當(dāng)用基于方向余弦的矩陣來描述航天器勢(shì)能損耗(即選擇H(q0)如式(36)所示)時(shí)，系統(tǒng)僅需6s即可達(dá)到穩(wěn)定，而用基于四元數(shù)誤差的二范數(shù)描述勢(shì)能(即H(q0)=1-q0)時(shí)，系統(tǒng)需要12s才可達(dá)到穩(wěn)定。在相同條件下，基于方向余弦矩陣所建立的控制方法的調(diào)節(jié)時(shí)間快了1倍。提高控制方法的調(diào)節(jié)時(shí)間，可以確保航天器在突發(fā)故障的情況下具備快速機(jī)動(dòng)能力，從而提高系統(tǒng)的安全性。

4 結(jié) 論

(1)本文提出了一種航天器姿態(tài)反步容錯(cuò)控制方法，以飛輪作為航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)，在考慮飛輪存在安裝偏差及存在反作用力矩降低、對(duì)控制信號(hào)無響應(yīng)、輸出力矩疊加偏差、反作用力矩等不確定故障的情況下，仍能夠保證航天器姿態(tài)的穩(wěn)定性，具有良好的容錯(cuò)能力和魯棒性；

(2)針對(duì)反步容錯(cuò)控制方法的誤差空間收斂能力開展了進(jìn)一步討論，基于方向余弦矩陣來描述航天器勢(shì)能損耗，能夠提高控制方法誤差收斂的效率，從而保證航天器在存在較大初始姿態(tài)偏差或突發(fā)性故障的情況下，具備姿態(tài)快速回轉(zhuǎn)的機(jī)動(dòng)能力，進(jìn)而提高系統(tǒng)的安全性。