常文武

大家平日里解函數(shù)方程的題，常感無從下手.要想撥開迷霧，必須認(rèn)清關(guān)鍵條件！那就是如標(biāo)題所言，“牽牛要牽牛鼻子”.

來看一道題目：

定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù)f（x）滿足：f（-1）=1/4，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x，y），求f=（-2019）的值.

顯然第二個(gè)條件內(nèi)涵更豐富，它雖然只是一個(gè)等式，但是可以一當(dāng)十，甚至當(dāng)百當(dāng)千當(dāng)萬.因?yàn)橹灰∫恍┨厥獾膞，y代人它，就能得到函數(shù)在一些點(diǎn)上的特殊值.

可是取什么值呢？

一定要取到與第一個(gè)條件有關(guān)的值，讓我們?cè)囋噚=一1，y=0吧？效果不錯(cuò)啊，我們得到了f（0）=1/2！

你會(huì)問，這一對(duì)特殊值怎么想到的?。?/p>

無非是聯(lián)系到第一個(gè)已知條件以及在第二個(gè)條件中，等式右邊取y=0時(shí)會(huì)歸于統(tǒng)一.

當(dāng)然也可由其它途徑.比如你也可能這么算：令x=y=0，得到4f（0）²=2f（0）.約去一個(gè)f（0）就得到同一個(gè)答案、f（o）=1/2.不過可得當(dāng)心，萬一約去的是個(gè)O呢？所以穩(wěn)妥起見還是采用前一個(gè)方法.

現(xiàn)在讓我們來擴(kuò)大戰(zhàn)果吧.

如果只令x=0，會(huì)怎樣呢？這次我們得到f（y）=f（-y）.哈哈，原來這是個(gè)偶函數(shù)??！f（1）=f（-l）=1/4

仍然會(huì)有人問，為何想到令x=0呢？

其實(shí)這個(gè)想法也是很白然的，因?yàn)閒（O）經(jīng)過探索已知其值了嘛！

有了以上的摸索成果，我們可以向目標(biāo)發(fā)起猛攻了！

如何能找到f（-2019）的值呢？

首先利用奇偶性，f（-2 019）=f（2019）.接下來大概遞推可以奏效吧？取y=一1，得到f（x）=f（x+1）+f（x- 1）.這可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)遞推式：f（ x） -f（x-1）=f（x+1）.也就是說，前兩項(xiàng)的差等于第三項(xiàng).這樣的話，我們總算看到了希望.滿足以上遞推式的f在整格點(diǎn)上是個(gè)周期的數(shù)列：a，b， b-a， -a， - b， a-b，a，b，b-a，-a，-b，a-b，a，…，它的周期為6.所求的（2019）（3） =f（3） =一f（0）=-1/2.

好問的你義會(huì)問，怎么想到用遞推來解題呢？

其實(shí)第二個(gè)條件中x+y和x-y都是在x的基礎(chǔ)上平移了y.提示我們將y取為-1來得出一個(gè)遞推式.

問題解完了，可是我們?nèi)匀徊恢篮瘮?shù)f的真面目.好奇的你也許還會(huì)問，這個(gè)f可有解析式？

我們想到了數(shù)值模擬.請(qǐng)看下圖，把一系列的f（n）在Excel中畫出直方圖，發(fā)現(xiàn)很像是余弦函數(shù)的圖象.于是令f（x）=Acos（ωx）.將f（0）=1/2，周期T=6代人得：f（x） =0.5cos（πx/5）. 驗(yàn)證一下題設(shè)的兩個(gè)條件，第一個(gè)顯然對(duì)了.第二個(gè)條件：左邊一右邊.哈哈哈！我們完全猜出來了這個(gè)函數(shù)的廬山真面目！不過是否還有其他表現(xiàn)形式呢？我們還是不敢打包票！留給讀者繼續(xù)探索吧！

總結(jié)以上，我們發(fā)現(xiàn)嘗試對(duì)問題進(jìn)行求解的過程充滿了艱辛.運(yùn)氣好的時(shí)候，我們可以勢(shì)如破竹地前進(jìn).運(yùn)氣不好的時(shí)候，也就只能屢敗屢試下去了.只有當(dāng)你順利牽到了題目的牛鼻子，題目才能迎刃而解。