唐小蕾 王培 尚曉 玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

1 引言

在當(dāng)今信息技術(shù)飛速的時(shí)代，計(jì)算機(jī)在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.矩陣在高等代數(shù)和線性帶數(shù)中占有十分重要的地位，矩陣的一般計(jì)算是研究矩陣的重要途徑之一.矩陣的一般計(jì)算人們計(jì)算起來有時(shí)會比較麻煩，步驟繁多，且容易出錯(cuò).那么計(jì)算機(jī)能否幫助我們呢？

Matlab 是處理數(shù)學(xué)問題的重要工具，用于研究矩陣問題是否可行呢？Matlab 在矩陣研究中可運(yùn)用在那些方面呢？是否可實(shí)現(xiàn)矩陣的一般運(yùn)算？本文將對以上問題進(jìn)行探討。

2 矩陣的計(jì)算

2.1 矩陣的一般計(jì)算

矩陣的加法與減法是指兩個(gè)同型矩陣對應(yīng)位置上元的和與差。

2.2 矩陣的乘積

即矩陣A 與矩陣B 的乘積矩陣C 的第i 行第j 列的元素等于第一個(gè)矩陣A 的第i 行與第二個(gè)矩陣B 的第j 列的對應(yīng)元素乘積的和.

注：在矩陣的乘積定義中，我們要求第一個(gè)矩陣的列數(shù)要等于第二個(gè)矩陣的行數(shù).

2.3 矩陣的逆與正交

2.3.1 矩陣的逆

設(shè)A 是n 級可逆方陣，若n 級方陣B 滿足AB=BA=E，則B 稱為A 的逆矩陣，記為A-1.其中E 是n 級單位矩陣.

2.3.2 正交矩陣

對于n 階實(shí)矩陣A，如果實(shí)矩陣A 滿足AAT=E 或ATA=E，那么矩陣A 稱為正交矩陣.其中E 為單位矩陣，AT為矩陣A 的轉(zhuǎn)置.

2.3.3 矩陣正交化

①判定某個(gè)矩陣A是不是屬于正交矩陣：若 A =±1，則矩陣 A 為正交矩陣。

2.4 對角矩陣

對于任意一個(gè)n 級對稱矩陣A，都存在一個(gè)n 級正交矩陣T 使成對角形.

矩陣可對角化判定：

①實(shí)對稱矩陣可對角化，且可正交對角化；

②求特征值，所有特征值都不相等，絕對可以對角化；

③有等根，只需要等根（也就是重特征值）對應(yīng)的那幾個(gè)特征向量是線性無關(guān)的，那么也可以對角化，如果不是，那么就不能.

3 Matlab 在矩陣中的一般應(yīng)用

圖3.1 Matlab 程序截圖Fig 3.1 screenshot of MATLAB program

(2)將矩陣進(jìn)行正交化、對角化.

②再求實(shí)數(shù)矩陣C 的特征值、特征向量及將矩陣進(jìn)行對角化，輸入命令：，按回車鍵.

圖3.2 Matlab 程序截圖Fig 3.2 screenshot of MATLAB program

其中V 為矩陣C 的特征向量，D 為矩陣C 特征值的對角陣，對角陣的主對角線的值為矩陣C 的特征值.

圖3.3 Matlab 程序截圖Fig 3.3 screenshot of MATLAB program

(2）將矩陣進(jìn)行正交化、對角化.

②再求實(shí)數(shù)矩陣B 的特征值、特征向量及將矩陣進(jìn)行對角化，輸入命令：，按回車鍵.

例4 某廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，已知制成一噸產(chǎn)品甲需資源A3 噸，資源B4m3；制成一噸產(chǎn)品乙需資源 A2 噸，資源B6m3；資源C7 個(gè)單位.若一噸產(chǎn)品甲和乙的經(jīng)濟(jì)價(jià)值分別為7 萬元和5 萬元，三種資源的限制量分別為90 噸、200m3和210 個(gè)單位，試決定應(yīng)生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各多少噸才能使創(chuàng)造的總經(jīng)濟(jì)價(jià)值最高？

解：令生產(chǎn)產(chǎn)品甲的數(shù)量為x1，生產(chǎn)產(chǎn)品甲的數(shù)量為x2.由題意可以建立下面的數(shù)學(xué)模型：

該模型中要求目標(biāo)函數(shù)最大化，需要按照Matlab 的要求進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即目標(biāo)函數(shù)為

輸入命令：

圖3 .4 Matlab 程序截圖Fig 3.2 screenshot of MATLAB program