許成謙, 李 鑫

(1. 燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 河北 秦皇島 066004; 2. 燕山大學(xué) 河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室, 河北 秦皇島 066004)

0 引言

跳頻多址通信技術(shù)廣泛應(yīng)用在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中[1]。跳頻擴頻系統(tǒng)的重要問題是在可供跳頻的載頻上的跳頻序列具有好的漢明相關(guān)性。 相對于傳統(tǒng)的周期漢明相關(guān)性，跳頻序列的部分漢明相關(guān)性更具有一般性。對于跳頻序列只含有時延的一維部分漢明相關(guān)性理論界的研究取得了很多成果[2-4]。當通信終端高速移動時，多普勒現(xiàn)象會導(dǎo)致頻移，這樣考慮跳頻序列既有時延又有頻移的二維漢明相關(guān)性具有重要的意義。目前對于跳頻序列的二維漢明相關(guān)性的研究還比較少。文獻[5]給出了無碰撞區(qū)跳頻序列時頻二維周期漢明相關(guān)的理論界。文獻[6]給出了低碰撞區(qū)跳頻序列時頻二維周期漢明相關(guān)的理論界。 文獻[7]構(gòu)造出了滿足時頻二維周期漢明相關(guān)理論界低碰撞區(qū)跳頻序列集。 文獻[8-9]依據(jù)理論界對幾類跳頻序列集的時頻二維周期漢明相關(guān)值進行了分析。

本文著重研究跳頻序列和序列集時頻二維部分漢明相關(guān)理論界，給出了跳頻序列時頻二維部分漢明自相關(guān)、互相關(guān)的概念，證明了跳頻序列集時頻二維部分漢明自相關(guān)、互相關(guān)所滿足的理論界。

1 相關(guān)概念

設(shè)F是頻隙集合，周期為N的序列x=(x0,x1,…,xN-1)，xi∈F，i=0,1,…,N-1，稱為F上的跳頻序列[10]。F上的不同跳頻序列組成的集合稱為跳頻序列集。

設(shè)Zq為q階加法整數(shù)群。 對于Zq上任意兩個周期為N的跳頻序列,x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)，0≤τ≤N-1,ω∈Zq,稱

(1)

為跳頻序列x和y的時頻二維周期漢明互相關(guān)函數(shù)。其中，當xi=yi時，h(xi,yi)=1，當xi≠yi時，h(xi,yi)=0。τ表示相對時延，ω表示頻移,且i+τ≡(i+τ)modN，i=0,1,…,N-1。當x和y相等時，Hxy(τ,ω)被稱為時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)，記為Hxx(τ,ω)。

定義1 設(shè)x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…，yN-1)為Zq上兩個周期為N的跳頻序列，若對于0≤τ,t

(2)

則稱Hxy(τ,ω;t|L)為跳頻序列x和y起點為t、相關(guān)窗長度為L時頻二維部分漢明互相關(guān)函數(shù)。當x和y相等時，Hxy(τ,ω;t|L)為跳頻序列x和y的時頻二維部分漢明自相關(guān)函數(shù)。 若t=0,L=N時，時頻二維部分漢明相關(guān)函數(shù)退化為時頻二維周期漢明互相關(guān)函數(shù)，這時Hxy(τ,ω;t|L)記為Hxy(τ,ω)。

本文中，用

表示跳頻序列集S的最大時頻二維部分漢明自相關(guān)。 用

表示跳頻序列集S的最大時頻二維部分漢明互相關(guān)。當t=0,L=N時，Pa(S)和Pc(S)分別退化為跳頻序列集S的最大時頻二維周期漢明自相關(guān)和最大時頻二維周期漢明互相關(guān)，分別記為Ha(S)和Hc(S)。 在不引起混淆的情況下記Pa(S)=Pa,Pc(S)=Pc。

引理1 設(shè)F為q階加法群頻率集合。S是由F上M個周期為N跳頻序列組成的集合，則跳頻序列集總的時頻二維周期漢明相關(guān)值

證明在文獻[6]的引理6中，取Z1=N-1,Z2=q-1即可以得到結(jié)論。證畢。

2 時頻二維部分漢明相關(guān)性的理論界

給定一個跳頻序列集S，對于任意窗長度L，0

引理2 設(shè)S是頻隙數(shù)為q，序列長度為N的M個跳頻序列組成的序列集S，Pa和Pc分別為跳頻序列集S的最大時頻二維部分漢明自相關(guān)和最大時頻二維部分漢明互相關(guān)，對于任意整數(shù)L，0

P(L)≤ML+M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc。

證明對于x,y∈S，由定義1知，

因此

ML+M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc，證畢。

引理3[11]對于任意正整數(shù)τ，τ=0,1,…,N-1,有

推論1 對于任意正整數(shù)t,τ,L,且t,τ=0,1,…,N-1,L=1,2,…,N,有

證明設(shè)

因為跳頻序列是周期為N的序列,所以bN+τ=bτ,bN+τ+1=bτ+1,…,bN+τ+L-2=bτ+L-2。 這樣有

又因為

證明對于任意i=1,2,…,M,τ=0,1,…,L-1,ω=0,1,…,q-1,t=0,1,…,N-1,L=1,2,…,N,因為

所以

由文獻[11]中引理3的證明可知

所以

證畢。

令函數(shù)

m(bk+τ+ω,fi)，

(3)

證明令

uk=m(bk,fi),vk=m(b(k)+ω,fi),

其中,k=t,t+1,…,t+L-1,0≤t≤N-1,則由式(3)得

引理5 設(shè)頻隙集合F={f0,f1,…,fq-1}，S是由F上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，x∈S,y∈S，對于任意正整數(shù)t，L,0≤t≤N-1,1≤L≤N,則P(L)≥M2NL。

證明由推論3知

由推論1知

再應(yīng)用引理4得

定理1 設(shè)頻隙集合F={f0,f1,…,fq-1}，S是由F上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，Pa是最大時頻二維部分漢明自相關(guān)，Pc是最大時頻二維最大部分漢明互相關(guān)，則對于任意正整數(shù)t，L，0≤t≤N-1,1≤L≤N,有

(Nq-1)Pa+(M-1)NqPc≥MNL-L。

證明由引理2和引理5可得

M2NL≤P(L)≤ML+

M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc,

則(Nq-1)Pa+(M-1)NqPc≥MNL-L，證畢。

3 平均時頻二維部分漢明相關(guān)理論界

設(shè)S是由Zq上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，相關(guān)窗長度為L，起點為t，1≤L≤N,0≤t≤N-1,用

表示跳頻序列集S的總的時頻二維部分漢明自相關(guān)函數(shù)。用

表示跳頻序列集S的總的時頻二維部分漢明互相關(guān)函數(shù)。用

表示跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明自相關(guān)函數(shù)。用

表示跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明互相關(guān)函數(shù)。

定理2設(shè)S是由Zq上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，相關(guān)窗長度為L，起點為t，1≤L≤N,0≤t≤N-1,則有

(4)

證明

Ra(S;L)+2Rc(S;L)=

由引理1知

則

Ra(S;L)+2Rc(S;L)≥N2M2L-MNL，

又因為

所以

使得定理2中不等式(4)成立的跳頻序列集S稱為最優(yōu)平均時頻二維部分漢明相關(guān)性跳頻序列集。

4 低碰撞區(qū)跳頻序列集的平均時頻二維部分漢明相關(guān)性的理論界

用Hxy(τ,ω；t|L)替換文獻[6]定義2中的H(xy)(l,v)得到的區(qū)間[0,LHt]×[0,LHf]、[0,LAHt]×[0,LAHf]、[0,LCHt]×[0,LCHf]分別為跳頻序列集S的時頻二維部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)、時頻二維部分漢明自相關(guān)低碰撞區(qū)、時頻二維部分漢明互相關(guān)低碰撞區(qū)。 對于任意正整數(shù)Z1,Z2，0≤Z1≤LHt，0≤Z2≤LHf,用

表示低碰撞區(qū)跳頻序列集S的時頻二維總部分漢明自相關(guān)函數(shù)。 用

表示低碰撞區(qū)跳頻序列集S的時頻二維總部分漢明互相關(guān)函數(shù)。 用

表示低碰撞區(qū)跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明自相關(guān)函數(shù)。 用

表示低碰撞區(qū)跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明互相關(guān)函數(shù)。

(5)

證明對于0≤Z1≤LHt，0

由文獻[6]中引理6可知

即

所以

整理可以得出結(jié)論中的不等式，證畢。

推論3在定理3條件下，有

(6)

5 結(jié)論

將跳頻序列的一維部分漢明相關(guān)函數(shù)擴展到時頻二維部分漢明相關(guān)函數(shù)，在提出跳頻序列的時頻二維部分漢明自相關(guān)、時頻二維部分漢明互相關(guān)、平均時頻二維部分漢明自相關(guān)、平均時頻二維部分漢明互相關(guān)等概念基礎(chǔ)上，證明了跳頻序列集時頻二維部分漢明相關(guān)、平均時頻二維部分漢明相關(guān)滿足的理論界，證明了低碰撞區(qū)跳頻序列集平均時頻二維部分漢明相關(guān)滿足的理論界。