王立振 袁清雯

筆者在講評一道期末聯(lián)考題時，做了一些嘗試和探索，同學們的課堂表現(xiàn)積極活躍，現(xiàn)整理成文，與大家交流.

1.考題展示

本題主要考查向量的數(shù)量積，其主要解決方法有：（l）建立坐標系利用向量坐標運算來求解;（2）線性轉(zhuǎn)化，用向量數(shù)量積的定義來求解，

大部分同學遇到的主要困難在于：若用坐標運算求解，如何用一個變量刻畫兩個動點;若用數(shù)量積的定義，AE與AF的模和夾角都在變化，

通過下面的課堂交流，同學們和我都是頗有受益.

2.課堂討論實錄

老師：本節(jié)課我們來一起交流此題的解決方案，請同學們暢所欲言.

同學1：老師，向量AE與AF都在變化，如何求解它們的數(shù)量積呢？

老師：同學2解答得非常好！他通過設(shè)出一個變量，利用向量之間的相互關(guān)系，用一個變量表示多個變量，進而找到一個關(guān)于這個變量的函數(shù)，將一個向量數(shù)量積的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個變量的函數(shù)值域問題.那么有沒有其他不同的想法？

同學3：老師，我知道向量數(shù)量積的問題可以建系用坐標來求解：以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立如圖1所示的坐標系，

同學4：建系容易，但是如何用變量來刻畫兩個動點呢？

同學5：E，F(xiàn)在邊BC上運動，且BC上

老師：同學們回答得很好，值得表揚.利用建系設(shè)坐標的方法來求解向量的數(shù)量積，關(guān)鍵在于如何用變量來表示兩個動點，同學們注意到了兩個動點的橫坐標與縱坐標之間的關(guān)系以及兩點間的距離關(guān)系，進而用一個變量來表示AE.AF，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解，但要注意自變量的取值范圍，那么，還有沒有同學有不同的想法？

同學8：老師，向量的數(shù)量積還可以用定義法來解決，但是AE和AF的模在變，而且夾角也在變，這怎么求呀？

老師：回答得太完美了！將多個動點問題轉(zhuǎn)化為一個動點問題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，再運用一些基本方法和基本解題思路，進而解決問題.同學們還有沒有其他方法要補充？

同學10：老師，考試的時候，我雖然得到了正確結(jié)果，但是我是猜的.

老師：你是怎么猜的？

同學10：因為E，F(xiàn)在線段BC上運動，肯定有一些特殊情況，我就將這些特殊情況都計算一下，然后再比較一下，最后得到AE.AF的取值范圍.

老師：你計算哪些特殊情況下的AE.AF的值？

老師：同學們認為這樣做可以嗎？

同學11：我認為不可以，假如AE.AF的取值范圍不在這幾種特殊情況中，而是在一個非特殊點處取得最大值或者最小值，那么同學10的做法就不能得到AE.AF準確的取值范圍了.

老師：雖然這種做法存在一些缺陷，但這種解題思路（特殊與一般的解題思想）是需要引起我們關(guān)注的.這種方法不推薦，但需要我們了解，以備不時之需.

3.課后檢驗

老師：請同學們對這節(jié)課的所思所學進行回顧總結(jié)，題2、題3作為補充練習，

題2 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的任意動點，求AE·AF的取值范圍.

（答案：[0，25].解決題2的思路是利用特殊與一般的方法，考查AE·AF的幾種特殊情況.）