(郵編：200435 )

上海市嶺南中學(xué)

1 問題提出

圖1

圖2

2 三點探究

2.1 如何證明D、E、F三點共線？

2.2 圖2的輔助線生成點到底在哪里？

既然證明D、E、F三點共線比較棘手，不如反其道而行之，直接延長DE至點F，使EF=BE，連接CF與AF，那么四邊形ABCF為正方形嗎？即△ABD與△FCD全等嗎？遺憾的是依據(jù)該輔助線的作法不易證明．注意到兩三角形確實全等且BD=CD、∠EDC=∠ADB，不妨延長DE后使DF=DA，則△FCD≌△ABD，得FC=AB且∠FCD=∠ABD=90°(即四邊形ABCF為正方形)，易證△BCE≌△FCE得BE=FE，問題迎刃而解．當(dāng)然，圖2的輔助線也可描述為“過點C作CF⊥BC，交DE延長線于點F”，證明也是手到擒來之舉．

綜合分析上述兩種方法可知，輔助線生成點本質(zhì)在于如何把兩條線段BE與ED整合成一條線段DF，從而把三條線段間的比轉(zhuǎn)化為兩條線段間的比．因此，由等腰直角三角形想到補(bǔ)為正方形看似精彩，但卻只是一種表象，屬于特殊條件下的技巧性處理，不具有一般性．

圖3

既然是把線段BE與DE整合成一條線段，那么能否把它們直接整合在射線BE上呢？當(dāng)然直接在BE的延長線上截取EP=ED不易處理，但過點C作BC的垂線BP并截取CP=CD，連接EP、BP(如圖3)，則易證△ABD≌△BCP且△CDE≌△CPE，得∠BPC=∠ADB=∠EDC=∠EPC，即B、E、P三點共線，仿上也可求得比值．

圖4

2.3 求線段比有哪些轉(zhuǎn)化策略？

策略一求值計算轉(zhuǎn)化

圖5

第二、求出所求比的兩條線段與第三條線段間的數(shù)量關(guān)系．

圖6

第三、直接計算兩線段的長度

圖7

策略二利用比例轉(zhuǎn)化．

圖8

例4 (2018年大連市中考第25題)如圖8，△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，點F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延長DC、FE，相交于點G，且∠DGF=∠BDE．

(1)在圖中找出與∠DEF相等的角，并加以證明；

(2)若AB=kDF，猜想線段DE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

說明課前三天筆者就把例1與網(wǎng)友提供的圖2印發(fā)給學(xué)生，同時拋出了上述三個思考問題，并要求學(xué)生對自己研究的結(jié)論或觀點應(yīng)提供配套習(xí)題加以佐證．上面是筆者依據(jù)課堂探究結(jié)果整理而得，其中例2與例4由筆者提供并當(dāng)堂完成，而作為2019年本區(qū)一?？继羁疹}壓軸題的例3并非課堂上的探究題，原題由學(xué)生抄自教輔資料．不過令人欣慰的是，在本次一模測試中筆者所任教班級例3的得分率為0.57，遠(yuǎn)超于區(qū)0.28的平均水平，可見課堂教學(xué)效果發(fā)揮了關(guān)鍵作用．另外，課堂上還處理了學(xué)生課前準(zhǔn)備的兩道證明三點共線題，限于篇幅整理時略去．

3 三點思考

3.1 習(xí)題教學(xué)應(yīng)避免“就題秀法”

“就題論題”現(xiàn)象雖然在日常教學(xué)中依然有一定的“市場”，但畢竟容易遭到詬病，因此在各類展示課與比賽課中已難得一見，取而代之的是“一題多解”“一模多能”或“一圖一課(其實就是一題多變)”等更加開放性的習(xí)題教學(xué)新模式．單就“一題多解”的課堂教學(xué)而言，筆者經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)：其基本流程往往只是不同解法的一一展示，缺少對方法生成的本質(zhì)挖掘，似有“秀”方法之嫌．另外，發(fā)表在各類數(shù)學(xué)雜志上“一題多解”類文章有些也只是把各種解法進(jìn)行簡單羅列，對“為什么會產(chǎn)生一題多解”缺乏深層次挖掘，也有見“法”不見“理”之感，對習(xí)題教學(xué)可能會存在一定的誤導(dǎo)．相反，筆者正是從挖掘輔助線的生成本源入手，揭示了例1中圖2的輔助線并非源于“補(bǔ)形”，而是意在將分子中的兩條線段整合成一條線段(即把三條線段之比轉(zhuǎn)化為兩條線段之比)，進(jìn)而從“截長補(bǔ)短”角度生成出一題多解．然后又從“如何求線段比”入手，打開生成“一題多解”的另一扇窗．特別是思路分析也并非解題過程的簡單呈現(xiàn)，而是從“知識轉(zhuǎn)化”角度詳細(xì)剖析思維生成的來龍去脈，不僅講清“怎樣做”，還著重明析“為什么這樣做”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“怎樣想”，為提升學(xué)生分析問題的轉(zhuǎn)化能力奠定堅實的基礎(chǔ)．

3.2 習(xí)題教學(xué)應(yīng)注重“以題會類”

雖然“題海戰(zhàn)術(shù)”之弊人皆知之，但“反復(fù)刷題”卻又讓不少同仁欲罷不能，其中緣由固然復(fù)雜，但缺乏“以題會類”的教學(xué)意識恐怕也是不容忽視的重要因素之一．課堂上，筆者以追求“以題會類”的習(xí)題教學(xué)最高境界為重，從知識轉(zhuǎn)化角度，借助“知識溯源(回顧初中階段與解題目標(biāo)相關(guān)的知識源)”，針對“如何證明三點共線”歸納了四種常見的處理方法，又通過四道例題詳細(xì)剖析了“如何求線段比”的轉(zhuǎn)化策略，明析處理這兩類問題的主要思考方向，并針對不同題目詳細(xì)分析如何依據(jù)條件而選擇適當(dāng)知識源進(jìn)行轉(zhuǎn)化的策略解讀與示范操作，極大地提升了學(xué)生處理同類問題的遷移與類化能力．

3.3 習(xí)題教學(xué)應(yīng)突出“能力為重”

令人欣慰的是，“以發(fā)展學(xué)生思維能力為重”的習(xí)題教學(xué)觀早已深深植根于廣大同仁的育人理念，不過究竟如何發(fā)展學(xué)生的思維能力還是仁者見仁智者見智．對此，筆者的實踐體會是務(wù)必要堅持三點：第一、完善學(xué)生處理問題的思維方式是發(fā)展思維能力的基礎(chǔ)．與只教“做法”不同，筆者還長期堅持教“想法”，引導(dǎo)學(xué)生用“知識溯源式目標(biāo)分析法”解決問題，從而學(xué)會“怎樣想”．所謂“知識溯源式目標(biāo)分析法”主要分為三步——首先要明確問題的目標(biāo)是什么(如例1的目標(biāo)就是求線段之比)、其次追溯初中階段與目標(biāo)相關(guān)的知識源(如求線段比的知識源主要有計算與比例轉(zhuǎn)化兩大類)、最后依據(jù)題目條件選擇合適的知識源逐步轉(zhuǎn)化(如例1依據(jù)特殊的等腰直角三角形和中點等條件宜選擇通過計算求比值)；第二、豐富學(xué)生處理問題的轉(zhuǎn)化策略是發(fā)展思維能力的關(guān)鍵．解題中思維受阻是無法避免的，這就要求學(xué)生要具備豐富的轉(zhuǎn)化策略，積極調(diào)控受阻思維，突破難點．雖然轉(zhuǎn)化策略在形式上千變?nèi)f化(如化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化繁難為簡易、化一般為特殊、化綜合為單一、化高維為低維等)，但依據(jù)“所有數(shù)學(xué)問題都是運(yùn)用所學(xué)過的知識解決的”可知“知識轉(zhuǎn)化”才是一切轉(zhuǎn)化之源(無論是“求線段之比”還是“證明三點共線”都體現(xiàn)了“知識轉(zhuǎn)化”精髓；即使對于“截長補(bǔ)短”，在把線段不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系再轉(zhuǎn)化三角形全等的轉(zhuǎn)化線路圖中，也凸顯了“知識轉(zhuǎn)化”的主線)．因此，實際教學(xué)中只有堅持以“知識轉(zhuǎn)化”為本，才能真正豐富學(xué)生的轉(zhuǎn)化策略，提升他們的轉(zhuǎn)化能力；第三、發(fā)揮學(xué)生處理問題的能動性是發(fā)展思維能力的保障．毫無疑問，課前拋出問題以留給學(xué)生足夠的思考與探究時間、課堂上放手讓學(xué)生暢談自己的想法與做法、課后鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探究與質(zhì)疑等系列舉措，積極發(fā)揮了學(xué)生參與問題解決的能動性，激活了他們思維的主動性與創(chuàng)造性，全面地提升了他們的思維能力．

當(dāng)然，如何加強(qiáng)對習(xí)題潛在功能的挖掘是一個永恒的開放性主題，也值得大家深度思考與進(jìn)一步探索．