吳啟豪，吳新躍，魏 維

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有壽命長(zhǎng)、傳動(dòng)比恒定、效率高、運(yùn)行平穩(wěn)、結(jié)構(gòu)緊湊等諸多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛運(yùn)用于航天航空、車(chē)輛工程、船舶運(yùn)輸、風(fēng)電等領(lǐng)域，是現(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)中的重要組成部分，其可靠性將直接影響到機(jī)械設(shè)備的穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)。其中，作為評(píng)價(jià)齒輪系統(tǒng)的關(guān)鍵因素之一，系統(tǒng)的振動(dòng)特性一直受到人們的廣泛關(guān)注和研究。在傳動(dòng)過(guò)程中，齒輪系統(tǒng)不僅將受到來(lái)自原動(dòng)機(jī)與負(fù)載帶來(lái)的外部激勵(lì)，還存在由時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙、軸承剛度及間隙等因素引起的內(nèi)部激勵(lì)。一直以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者就齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)做了大量研究[1-4]。張建云等[5]建立了斜齒輪傳動(dòng)的多平行軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，模型綜合考慮了彎扭耦合、陀螺力矩、滑動(dòng)軸承支承剛度及阻尼因素的影響。唐進(jìn)元等[6]利用有限元法研究了螺旋錐齒輪剛度的計(jì)算方法，得到了單齒嚙合和多齒綜合嚙合剛度，分析了載荷影響下剛度曲線(xiàn)的變化。馬輝等[7]對(duì)斜齒輪傳動(dòng)進(jìn)行精確建模，研究了斜齒輪傳動(dòng)的模態(tài)特性和響應(yīng)。徐向陽(yáng)等[8]利用有限元法分析了某大型船用齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)，通過(guò)分析表明齒輪箱系統(tǒng)轉(zhuǎn)頻、嚙合頻率遠(yuǎn)低于固有頻率，不存在共振現(xiàn)象。陳小安等[9]建立了多間隙耦合齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型，在考慮齒側(cè)間隙、軸承間隙、齒面摩擦影響的基礎(chǔ)上，首次利用有限元法分析了支撐狀態(tài)下齒輪耦合系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性。相對(duì)于數(shù)值仿真法與解析法，有限單元法與復(fù)雜的實(shí)際情況更為貼合，可以處理多種任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)，求解過(guò)程簡(jiǎn)便，求解精度高。本文以某多級(jí)斜齒輪傳動(dòng)對(duì)為研究對(duì)象，通過(guò)大型通用有限元分析軟件Ansys 建立耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析耦合與非耦合情況下多級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)特性，并研究了不同齒輪嚙合剛度與支撐軸承剛度對(duì)系統(tǒng)模態(tài)特性的影響規(guī)律。

1 齒輪-軸承耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

利用線(xiàn)性彈簧單元對(duì)齒輪副嚙合過(guò)程進(jìn)行模擬，在此過(guò)程中，首先要計(jì)算彈簧剛度。考慮到齒輪傳動(dòng)過(guò)程中剛度是個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，以平均嚙合剛度代替時(shí)變嚙合剛度。

1.1 齒輪嚙合剛度及軸承剛度

對(duì)于斜齒輪而言，其當(dāng)量齒數(shù)為：

同時(shí)，由于齒輪傳動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，輪齒接觸對(duì)數(shù)隨時(shí)間改變，剛性外嚙合齒輪平均嚙合剛度與單對(duì)嚙合剛度關(guān)系表達(dá)式為：

在斜齒輪中，其重合度關(guān)系如下式：

由于斜齒輪傳動(dòng)中會(huì)產(chǎn)生軸向力，因此采用角接觸滾動(dòng)軸承，在手冊(cè)[11]中根據(jù)相應(yīng)準(zhǔn)則確定軸承剛度，如表1 所示

1.2 有限元模型的建立

在三維CAD 軟件UG 中建立齒輪傳動(dòng)對(duì)模型，后將幾何模型導(dǎo)入Hypermesh 進(jìn)行前處理。網(wǎng)格劃分過(guò)程中，首先對(duì)齒輪與軸進(jìn)行切割，齒輪平面建立二維網(wǎng)格后進(jìn)行拉伸，齒輪軸與齒輪采用共節(jié)點(diǎn)連接方式。為了定義傳動(dòng)系統(tǒng)中角接觸軸承受到的力，在定義邊界條件時(shí)將其簡(jiǎn)化成x，y，z 三個(gè)方向上的彈簧單元。就齒輪之間嚙合關(guān)系而言，同樣利用彈簧單元來(lái)模擬齒面之間的嚙合力，彈簧剛度由前文計(jì)算的齒輪嚙合剛度確定。由于齒輪對(duì)的齒數(shù)相同，故傳動(dòng)比為1:1，剛度值也相同，取。齒輪采用20CrMnMo，軸采用材料為40Cr，密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.3，彈性模量為206 GPa，齒輪幾何參數(shù)如表2 所示。在Hypermesh 中共得到417 962 個(gè)單元（其中五面體24 284 個(gè)，六面體393 448 個(gè)，彈簧單元230 個(gè)），共466 528 個(gè)節(jié)點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)斜齒輪副的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，需對(duì)其進(jìn)行自由度約束，對(duì)主動(dòng)輪及從動(dòng)輪的X,Y,Z 的移動(dòng)自由度，繞軸X,Y 的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度都建立約束。齒輪嚙合對(duì)的有限元模型如圖1 中所示。

表 1 滾動(dòng)軸承剛度Tab. 1 Stiffness of rolling bearing

表 2 斜齒輪幾何參數(shù)Tab. 2 Geometric parameters of helical gear

圖 1 齒輪嚙合對(duì)有限元模型Fig. 1 Finite element model of gear meshing

2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)特性分析

對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，先對(duì)單對(duì)嚙合齒輪進(jìn)行模態(tài)特性分析，然后分析耦合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的模態(tài)特性，通過(guò)比較，得到單對(duì)嚙合傳動(dòng)與耦合傳動(dòng)模態(tài)上的區(qū)別和聯(lián)系。

2.1 單對(duì)嚙合齒輪-軸模態(tài)特性分析

由于2 對(duì)齒輪幾何、材料參數(shù)均相同，因此結(jié)果對(duì)稱(chēng)，只需要1 對(duì)齒輪嚙合對(duì)即可，前10 階模態(tài)參數(shù)如表2 所示，其中第1 階為剛體模態(tài)，振型為齒輪的繞軸扭轉(zhuǎn)。

表 3 單對(duì)齒輪嚙合對(duì)的前10 階模態(tài)頻率及振型描述Tab. 3 Description of the first ten order modal frequencies and modes of gear meshing pairs

除第7 和第8 階模態(tài)振型不同外其他的階數(shù)都相同，圖2 和圖3 為第8 階輸入、輸出端齒輪振型圖。

可以看出，由于齒輪軸幾何材料參數(shù)相同，且對(duì)稱(chēng)分布，兩軸在Y 方向和Z 方向的彎曲和擺動(dòng)模態(tài)對(duì)稱(chēng)，除去前1 階和2 階模態(tài)外，相鄰階模態(tài)都存在振型和頻率值接近的情況。

2.2 耦合齒輪-軸系統(tǒng)模態(tài)特性分析

圖 2 輸入軸第8 階振型圖Fig. 2 Eighth order mode diagram of the input shaft

圖 3 輸出軸第8 階振型圖Fig. 3 Eighth order mode diagram of the output shaft

利用建立好的有限元模型，綜合考慮耦合情況下，2 對(duì)齒輪嚙合對(duì)，分析其模態(tài)頻率特征和振型。

根據(jù)單對(duì)嚙合齒輪模態(tài)特性，比較耦合模態(tài)特性數(shù)據(jù)，得到以下結(jié)論：

1）在耦合情況下，除了第19 階和20 階模態(tài)為輸出軸端的振動(dòng)外，其他情況下都存在1 對(duì)或多對(duì)的對(duì)稱(chēng)頻率。

表 4 耦合系統(tǒng)的模態(tài)頻率及振型描述Tab. 4 Modal frequency and mode description

2）單對(duì)齒輪傳動(dòng)振動(dòng)模態(tài)在耦合中得以保留存在，例如，如在耦合狀態(tài)下，第15 到18 階模態(tài)與輸入軸的第7 和第8 階模態(tài)頻率接近，振型對(duì)應(yīng)，耦合系統(tǒng)下模態(tài)可看作是單體模態(tài)的疊加。

3）當(dāng)系統(tǒng)耦合振動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生了振型描述為三軸耦合扭轉(zhuǎn)的新模態(tài)，頻率為249.23 Hz。而對(duì)于單個(gè)軸而言，第1 階模態(tài)頻率幾乎為0，前后振型均為齒輪扭轉(zhuǎn)，但模態(tài)頻率變化很大。

3 剛度對(duì)系統(tǒng)模態(tài)的影響

3.1 齒輪嚙合剛度對(duì)模態(tài)的影響

分別考慮不同齒輪嚙合剛度影響下，單對(duì)嚙合齒輪模態(tài)特性的變化。保持模型其他參數(shù)不變，分別取嚙 合 剛 度 為，代入模型計(jì)算后的前20 階模態(tài)頻率如表5 所示。

由表5 及圖8 可得出以下結(jié)論：

圖 4 模型第15 階振型圖Fig. 4 Model fifteenth order mode diagram

圖 5 模型第16 階振型圖Fig. 5 Model sixteenth order mode diagram

圖 6 模型第17 階振型圖Fig. 6 Model seventeenth order mode diagram

圖 7 模型第18 階振型圖Fig. 7 Model eighteenth order mode diagram

1）隨著設(shè)定嚙合剛度的不斷增大，模態(tài)頻率呈上升趨勢(shì)，但當(dāng)剛度值大于時(shí)，后續(xù)的模態(tài)頻率曲線(xiàn)變化幾乎重合，說(shuō)明模態(tài)頻率幾乎不再受剛度影響，逐漸趨于穩(wěn)定。

表 5 不同嚙合剛度下模態(tài)頻率Tab. 5 Modal frequency of different meshing stiffness

圖 8 不同嚙合剛度下模態(tài)頻率變化曲線(xiàn)Fig. 8 Modal frequency variation curve under different meshing stiffness

2）當(dāng)剛度值變化時(shí)，低階模態(tài)頻率受影響程度最大，而對(duì)于14 階的模態(tài)頻率而言，剛度的變化對(duì)其影響有限，敏感程度遠(yuǎn)低于低階頻率。

3） 結(jié)合耦合狀態(tài)下的模態(tài)頻率可知，嚙合剛度的變化對(duì)于耦合模態(tài)影響較大，而對(duì)于非耦合情況，影響較小。

3.2 軸承支撐剛度對(duì)模態(tài)的影響

保持齒輪的嚙合剛度不變，通過(guò)改變軸承支撐剛度的數(shù)量級(jí)107，108，109，1010來(lái)考慮不同軸承剛度。

由表6 及圖9 可得出以下結(jié)論：

表 6 不同軸承剛度下系統(tǒng)的模態(tài)頻率Tab. 6 Modal frequency under different bearing stiffness

圖 9 不同軸承剛度影響下模態(tài)頻率變化曲線(xiàn)Fig. 9 Modal frequency variation curve under theinfluence of different bearing stiffness

1）當(dāng)嚙合剛度不變時(shí)，提高軸承剛度，系統(tǒng)的模態(tài)頻率逐漸增大，不同軸承剛度下頻率數(shù)值變化大，因此，在選取滾動(dòng)軸承時(shí)就要綜合考慮軸承對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響，選取合適軸承規(guī)格，避免因不恰當(dāng)?shù)妮S承剛度使系統(tǒng)處于共振頻率。

2）結(jié)合振型圖可知，系統(tǒng)前14 階為耦合振動(dòng)狀態(tài)，后6 階為單軸振動(dòng)模態(tài)，因此，軸承剛度的大小變化不影響齒輪傳動(dòng)的耦合狀態(tài)。

4 結(jié) 語(yǔ)

1）建立了傳動(dòng)系統(tǒng)多級(jí)耦合傳動(dòng)模型，在考慮耦合情況下，齒輪對(duì)的模態(tài)會(huì)在單齒嚙合疊加模態(tài)的基礎(chǔ)上成對(duì)出現(xiàn)，并會(huì)產(chǎn)生新的模態(tài)。

2）齒輪對(duì)的模態(tài)頻率會(huì)隨著齒輪嚙合剛度的增大而增大，當(dāng)嚙合剛度增大到一定程度時(shí)，嚙合剛度將不再影響傳動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)。

3）當(dāng)嚙合剛度不變時(shí)，提高軸承剛度，系統(tǒng)的模態(tài)頻率逐漸增大，不同軸承剛度下同階模態(tài)數(shù)值變化大。軸承剛度的大小并不影響齒輪傳動(dòng)的耦合狀態(tài)。