邵毅明，陳亞偉，束海波

(1. 重慶交通大學 交通運輸學院，重慶 400074； 2. 重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074)

軌跡跟蹤控制是實現(xiàn)車輛自動駕駛的基礎。目前大多數(shù)自動駕駛汽車的軌跡跟蹤控制算法都是基于假設車輛在低速穩(wěn)定工況下行駛的情況，沒有考慮到高速行駛及地面附著力不足等狀況[1-4]。當高速行駛的車輛在緊急轉向或低附著路面急速轉彎時，輪胎附著力往往達到飽和，側偏力接近附著極限，容易出現(xiàn)前軸側滑失去轉向能力或者后軸側滑而甩尾的險情。如果車輛在滿足側偏、滑移等動力學約束情況下，快速準確的沿期望軌跡行駛，則能避免此類險情的發(fā)生。

筆者針對現(xiàn)有軌跡跟蹤控制器在車速較高時跟蹤效果不理想這一問題，以車輛四自由度車輛動力學模型為基礎，結合輪胎魔術公式和模型預測理論，考慮輪胎側偏角對車輛穩(wěn)定性的影響，設計了線性時變模型預測控制器，并基于該控制器進行了仿真分析。仿真結果表明：該控制器在車速較高時仍能平穩(wěn)準確地跟蹤參考軌跡，具備一定的實際應用價值。

1 車輛動力學及輪胎模型

1.1 車輛動力學模型

在進行軌跡跟蹤控制之前，首先要建立車輛的動力學模型。車輛是一個復雜的非線性系統(tǒng)，在保證模型盡可能準確的同時，要對其進行適當簡化，故在建立模型之前做如下假設[5-8]：

1)假設車輛沒有俯仰和側傾運動；

2)不考慮懸架垂直運動；

3)忽略空氣動力學影響；

4)認為汽車行駛過程中輪胎特性及回正力矩不變。

根據(jù)以上假設，筆者將非線性的車輛動力學模型簡化為能反映縱向速度、橫向速度、橫擺角速度及前輪轉角的四自由度車輛模型，如圖1。

圖1 車輛四自由度模型Fig. 1 Vehicle four-degree-of-freedom model

根據(jù)牛頓第二定律和力矩平衡公式，可得如下方程：

(1)

(2)

F′x2-Fx3+Fx4)

(3)

慣性坐標系OXYZ中質心平面運動方程為：

(4)

(5)

在車輛坐標系中沿x軸和y軸輪胎受到的縱向力Fxi和橫向力Fyi，它們與輪胎側偏力Fci及輪胎縱向力Fli之間存在一定關系，其關系式為

Fxi=Flicosδ-Fcisinδ

(6)

Fyi=Flisinδ+Fcicosδ

(6)

由于輪胎側偏力Fci和輪胎縱向力Fli與輪胎側偏角αi、垂直載荷Fzi、路面摩擦系數(shù)ui、滑移率κi有關，可由多參數(shù)的函數(shù)表示：

Fli=fl(αi,κi,ui,Fzi)

(8)

Fci=fc(αi,κi,ui,Fzi)

(9)

結合式(1)～(9)，即可得車輛非線性動力學模型，其模型由如下微分方程表示為：

(10)

1.2 輪胎模型

地面產生的作用力通過輪胎施加到車輛上，輪胎的力學特性與車輛的操縱穩(wěn)定性有密切聯(lián)系，因此建立一個精準的輪胎模型對研究車輛動力學特性十分必要[9]。

輪胎的側偏特性對車輛操縱穩(wěn)定性及轉向有相當大的影響。在某些極限工況下，如車輛進行高速轉彎或行駛在低附著系數(shù)路面時，由于地面無法提供輪胎所需的附著力，車輛操作穩(wěn)定性會變差甚至出現(xiàn)危險工況，為了保證車輛的穩(wěn)定性，必須研究輪胎力學模型。

輪胎結構較為復雜且具有非線性特征，故筆者引入魔術公式輪胎模型。該模型通過組合三角函數(shù)公式對實驗數(shù)據(jù)進行擬合，只用一套公式就能反映輪胎的橫向力、縱向力、滑移特性和側偏特性[10-13]，如式(11)。

Y=Dsin{Carctan[Bx-E(Bx-arctanBx)]}+Sv

(11)

式中：Y為輪胎側偏力或者縱向力；B為剛度因子；C是曲線形狀因子；Sv為曲線垂直方向漂移；D為峰值因子；x=(κ+Sh)或x=(α+Sh)，Sh為曲線水平方向上的漂移。

因為Carsim也是采用魔術公式構建輪胎模型，由其中的輪胎力數(shù)據(jù)可得輪胎側偏特性，如圖2。

圖2 輪胎的側偏特性Fig. 2 Lateral deviation of the tire

由圖2可見：隨著側偏角不斷變大，側偏力也逐漸增大，最后達到極限值，此后側偏角繼續(xù)增大時，側偏力不會增加，而是有所減小。為確保車輛的穩(wěn)定性，應使側偏角在線性區(qū)內，防止車輛側滑。

2 線性時變MPC控制器設計

2.1 建立預測模型

模型預測控制(MPC)具有滾動的優(yōu)化策略，因而對系統(tǒng)的動態(tài)控制有著良好效果。同時，MPC可對輸出量進行反饋校正，減小輸出誤差，提高系統(tǒng)控制魯棒性[14]。

模型預測控制(MPC)一般分為3個步驟：首先根據(jù)預測模型預測車輛狀態(tài)；然后根據(jù)系統(tǒng)當前狀態(tài)及預測模型在采樣周期內按照控制時域的跟蹤目標，在輸入允許范圍內計算預測輸入，并優(yōu)化目標函數(shù)；最后，將優(yōu)化問題的第一個元素作用于系統(tǒng)上[15-17]。

車輛的非線性動力學模型微分方程如式(12):

(12)

t時刻將式(12)在點[ξ(t),μ(t-1)]處線性化，可得如下線性時變系統(tǒng)如式(13)：

(13)

將式(12)進行離散化處理，得到離散線性時變系統(tǒng)為：

ξk+1=Ak,tξk,t+Bk,tμk,t+dk,t

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

At,t=I+TAt,Bt,t=TBt

(19)

根據(jù)以上線性化過程，式(12)所描述的車輛非線性模型可化為如下離散模型：

ξ(k+1)=f[ξ(k),μ(k)]

(20)

u(k)=μ(k-1)+Δμ(k)

(21)

2.2 目標函數(shù)和約束條件設計

設置目標函數(shù)為：

(22)

2.3 求解目標函數(shù)

在t時刻，車輛當前狀態(tài)量為ξ(t)和μ(t-1)，求解下列優(yōu)化問題：

(23)

為便于計算機編程求解，可將其轉化為如下的標準二次型形式：

(24)

s.t.

(25)

式中：ΔUmin和ΔUmax分別為控制增量的最小值和最大值。

在控制周期內對上述優(yōu)化問題進行求解，得到最優(yōu)解序列：

(26)

將最優(yōu)控制增量序列的第一個控制增量作用于系統(tǒng)，即：

(27)

在每個周期內反復循環(huán)該過程，即可實現(xiàn)軌跡跟蹤控制。

3 仿真分析

為驗證控制器的效果，筆者在20 m/s的速度下分別使用最優(yōu)預瞄控制和MPC控制器對雙移線工況進行仿真。通過對比車輛在行駛過程中的某些參數(shù)，可知道兩種控制器的軌跡跟蹤性能的優(yōu)劣。

3.1 最優(yōu)預瞄跟蹤控制仿真

圖3為實際位置與參考路徑對比結果。由圖3可知：在車速為20 m/s時，最優(yōu)預瞄控制跟蹤雙移線路徑在79 m以后出現(xiàn)了嚴重的偏移，說明在此車速下軌跡跟蹤控制不理想。

圖3 實際位置與參考路徑對比Fig. 3 Comparison of actual position and reference trajectory

圖4為前輪轉角δ隨時間變化趨勢。由圖4可知：5 s以后前輪轉角急速變化，僅僅靠前輪轉動已經無法實現(xiàn)軌跡跟蹤控制。

圖4 前輪轉角δ隨時間變化Fig. 4 Variation of front wheel angle changing with time

圖5 車輛橫擺角速度變化Fig. 5 Variation of vehicle yaw angular velocity

圖6為輪胎側偏角α隨時間變化的情況。由圖6可知：輪胎側偏角變化范圍超過10 deg。表1為最優(yōu)預瞄跟蹤器的輸出值跟蹤誤差。由表1可知：軌跡跟蹤誤差數(shù)值較大。

參 數(shù)數(shù) 值參 數(shù)數(shù) 值x·/(m·s-1)20ΔYmax/m5.16ΔYrms/m2.26Δψmax/deg26.01Δψrms/deg9.52Δψmax/( deg·s-1)28.32Δψrms/( deg·s-1)10.13

綜上所述，在車速為20 m/s時，最優(yōu)預瞄跟蹤控制跟蹤雙移線工況，軌跡跟蹤能力較差，不能很好地沿著期望路徑行駛。

3.2 線性時變MPC控制器仿真

圖7為實際位置與參考軌跡的比較情況。由圖7可知：由于車速的增加使得車輛實際位置與參考軌跡之間出現(xiàn)了一定偏差，但與預瞄跟蹤控制器相比(圖3)，線性時變MPC控制器沒有出現(xiàn)嚴重偏移，仍能較好地完成軌跡跟蹤控制任務。

圖7 實際位置與參考軌跡對比Fig. 7 Comparison of actual position and reference trajectory

圖8為輪胎側偏角隨時間的變化情況。由圖8可知：輪胎側偏角的變化較小，最大輪胎側偏角的數(shù)值不超過3 deg，表明線性時變MPC控制器對輪胎側偏角進行了限制，使其在一個小范圍內波動。

圖8 前輪轉角δ隨時間變化Fig. 8 Variation of front wheel angle changing with time

圖9為車輛橫擺角速度的變化。由圖9可知：雖然實際橫擺角速度與參考值有一定偏差，但與最優(yōu)預瞄控制相比，線性時變MPC控制器跟蹤雙移線工況時，誤差相對較小，整體上的控制效果較好。

圖9 車輛橫擺角速度變化Fig. 9 Variation of vehicle yaw angular velocity

圖10為輪胎側偏角隨時間的變化情況。由圖10可知：在側偏角軟約束限制下，輪胎側偏角保持在±3 deg內，使得輪胎側偏角一直處于線性區(qū)內，保證了車輛的穩(wěn)定性。

圖10 輪胎側偏角α隨時間變化Fig. 10 Variation of tire sideslip angle changing with time

表2為MPC控制器的輸出量跟蹤誤差。

表2 MPC控制器的輸出量跟蹤誤差Table 2 Output value tracking error of MPC controller

綜上所述，與最優(yōu)預瞄控制方法相比，帶有側偏角軟約束的線性時變MPC控制器在跟蹤參考軌跡方面有更好的表現(xiàn)，而且對車速變化、路面附著條件和參考軌跡具有良好的適應性。

4 結 語

筆者建立了車輛四自由度非線性動力學模型，然后基于該模型設計了線性時變MPC軌跡跟蹤控制器，最后在搭建的Simulink/Carsim平臺上對設計的控制器進行仿真驗證。仿真結果表明：筆者設計的帶有側偏角軟約束的線性時變MPC控制器能保證輪胎側偏角處于線性區(qū)，從而防止車輛在轉彎時因前軸側滑而失去軌跡跟蹤能力或者因后軸側滑而出現(xiàn)甩尾等危險工況。對比兩種控制器的跟蹤能力，線性時變MPC控制器的控制能力明顯優(yōu)于最優(yōu)預瞄控制器，而且對車速變化具有良好的適應性，能在保證車輛穩(wěn)定性的前提下實現(xiàn)軌跡跟蹤。