王賢敏，劉 東，臧仲明，吳 蘭，嚴(yán)天亮，周宇豪，張與鵬

(浙江大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院 現(xiàn)代光學(xué)儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027)

1 引 言

由于干涉儀具有響應(yīng)速度快、測(cè)量精度高等優(yōu)勢(shì)，已被廣泛應(yīng)用于光學(xué)精密檢測(cè)等行業(yè)[1-3]。但實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為了減少低頻噪聲對(duì)測(cè)量精度的影響，通常需要通過(guò)一定的調(diào)制手段，如移相干涉、載波干涉等方法[4]，將待測(cè)信息加載到干涉條紋圖樣中。移相干涉法可以獲得較高的檢測(cè)精度，但需要采集多幅間具有一定相位差的干涉圖。這就要求外界環(huán)境必須非常穩(wěn)定，環(huán)境中存在的機(jī)械振動(dòng)、空氣擾動(dòng)等均會(huì)影響檢測(cè)精度，因此一般不適合現(xiàn)場(chǎng)實(shí)時(shí)檢測(cè)。而將載波干涉法與傅立葉分析技術(shù)相結(jié)合，僅需一幅干涉圖即可獲得被測(cè)信息，對(duì)噪聲的抑制效果較好，比較適合對(duì)時(shí)間響應(yīng)要求較高的應(yīng)用場(chǎng)合。然而載波干涉需要在兩路干涉波前之間加入傾斜或者離焦，當(dāng)被測(cè)波前畸變較大時(shí)，會(huì)引入較大像差，從而影響檢測(cè)精度。近年來(lái)，人們也提出了一些新穎的從干涉圖中準(zhǔn)確恢復(fù)相位的方法，如利用未知相移[5-6]的兩幅干涉圖反復(fù)迭代，也有基于單幅干涉圖的多項(xiàng)式擬合[7]、基于黃氏希爾伯特變換[8]以及窗口傅立葉分析[9]等方法。這些方法有各自的優(yōu)勢(shì)，甚至只需要一幅干涉圖就能恢復(fù)出相位，而且比之前提到的傳統(tǒng)方法局限性更少，但仍然需要進(jìn)一步的解包裹處理，或者只能檢測(cè)小于一個(gè)波長(zhǎng)的相位變化量。

在恢復(fù)單幅閉合條紋干涉圖的相位信息這個(gè)問(wèn)題上，Servin等人提出的二維正則化相位跟隨技術(shù)(Regularized Phase Tracking，RPT)[10]是一種非常有效的方法，具有結(jié)果連續(xù)無(wú)跳變、自動(dòng)去除高頻噪聲等優(yōu)點(diǎn)，但RPT技術(shù)在很多方面都有改進(jìn)的空間，如需要預(yù)處理干涉圖從而去除噪聲并歸一化調(diào)制度、處理時(shí)間長(zhǎng)、恢復(fù)精度不高、在處理鞍點(diǎn)和極值點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)易出錯(cuò)、恢復(fù)效果尚依賴于掃描路徑等。后期，研究者們從不同方面對(duì)RPT技術(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，使得RPT技術(shù)在單幅、閉合條紋干涉圖相位恢復(fù)方面得到了極大應(yīng)用和發(fā)展。劉東等人[11]通過(guò)在第一次求解結(jié)果的基礎(chǔ)上構(gòu)造新的優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)解的二次搜索，顯著地提高了RPT技術(shù)的相位恢復(fù)精度。Tian等人[12]則在鄰域內(nèi)的相位擬合方式上進(jìn)行改進(jìn)，如用二次曲面擬合替代平面擬合，擺脫了對(duì)掃描路徑的依賴性。Li等人[13-14]提出通用RPT技術(shù)，將背景項(xiàng)、調(diào)制度項(xiàng)以及相位均看成是鄰域內(nèi)的平面可擬合項(xiàng)，全部納入到優(yōu)化函數(shù)的優(yōu)化范圍內(nèi)，省去了預(yù)處理中的背景去除和歸一化調(diào)制度過(guò)程，可以直接處理實(shí)際干涉圖。Deepan等人[15-17]通過(guò)提前求得的相位變化率信息，減少了優(yōu)化函數(shù)中的未知數(shù)個(gè)數(shù)，使求解時(shí)間大幅減少。

本文介紹了RPT技術(shù)用于單幅干涉圖相位恢復(fù)的基本原理，總結(jié)了近年來(lái)RPT技術(shù)的相關(guān)改進(jìn)與發(fā)展，例舉了采用RPT技術(shù)進(jìn)行相位恢復(fù)的應(yīng)用場(chǎng)合，并適當(dāng)推測(cè)了RPT技術(shù)的未來(lái)發(fā)展方向。

2 正則化相位跟隨技術(shù)

干涉儀得到的干涉圖可以用式(1)來(lái)表示，

Ix,y=ax,y+bx,ycosφx,y+nx,y,

(1)

其中，I表示記錄的干涉圖的強(qiáng)度，a表示背景光，b表示調(diào)制度，φ表示相位信息，n表示干涉圖中的噪聲，下標(biāo)x,y表示像素坐標(biāo)。

在對(duì)單幅干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)前，需要對(duì)其進(jìn)行去背景、降噪、歸一化調(diào)制度等操作，得到式(2)。

(2)

目前已有的研究[18-23]已經(jīng)可以很好地實(shí)現(xiàn)從式(1)到式(2)的過(guò)程，利用RPT技術(shù)恢復(fù)相位將在式(2)的基礎(chǔ)上進(jìn)行。一般來(lái)說(shuō)，由于反三角函數(shù)的周期性，很難直接從式(2)恢復(fù)出連續(xù)無(wú)需解包裹的相位信息，而RPT技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)。

2.1 基本原理

利用RPT技術(shù)恢復(fù)單幅干涉圖的相位基于兩點(diǎn)先驗(yàn)假設(shè)：

(1)恢復(fù)后的相位對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度信息與干涉圖一致；

(2)待恢復(fù)的相位在空間上連續(xù)變化。

利用這兩點(diǎn)先驗(yàn)假設(shè)，可以構(gòu)造一個(gè)優(yōu)化函數(shù)式(3)，表示恢復(fù)出的相位與先驗(yàn)假設(shè)之間的差異，優(yōu)化過(guò)程則是不斷縮小這個(gè)差異的過(guò)程。

λ[φ0(ε,η)-φe(ε,η)]2m(ε,η)} ,

(3)

式(3)中，(ε,η)表示點(diǎn)(x,y)周圍鄰域Nx,y內(nèi)的像素坐標(biāo)；φe(ε,η)為恢復(fù)該點(diǎn)相位過(guò)程中鄰域內(nèi)各點(diǎn)的相位計(jì)算值；φ0(ε,η)為該點(diǎn)恢復(fù)出來(lái)的相位；m(ε,η)為該點(diǎn)相位信息是否已被恢復(fù)的標(biāo)志，為1時(shí)表示已恢復(fù)，為0時(shí)表示未恢復(fù)；λ為正則化系數(shù)。每一點(diǎn)(x,y)上的待恢復(fù)相位信息需在其鄰域Nx,y內(nèi)使式(3)中的代價(jià)函數(shù)Ux,y達(dá)到全局最小。在鄰域Nx,y內(nèi)，每一點(diǎn)(ε,η)的相位計(jì)算值φe(ε,η)是通過(guò)線性相位模型式(4)進(jìn)行計(jì)算得到的。

φe(ε,η)=φ0+ωx(ε-x)+ωy(η-y) ,

(4)

從式(3)和式(4)來(lái)看，點(diǎn)(x,y)在其鄰域內(nèi)的優(yōu)化函數(shù)Ux,y是關(guān)于φ0、ωx和ωy的函數(shù)，φ0、ωx和ωy則可以表示對(duì)鄰域Nx,y中相位的估計(jì)情況。Ux,y與φ0、ωx和ωy的關(guān)系，可以用式(5)來(lái)表示。

Ux,y=Ux,y(φ0,ωx,ωy) .

(5)

梯度下降算法是求解凹函數(shù)極小值的有效搜索算法，針對(duì)式(5)，可以采用式(6)的梯度下降算法迭代求解使Ux,y為極小值時(shí)的p=[φ0ωxωy]T，式中τ為迭代步長(zhǎng)，k表示第k次迭代。

(6)

利用RPT技術(shù)對(duì)一幅預(yù)處理后的干涉圖的相位進(jìn)行恢復(fù)時(shí)，一般遵循下面的過(guò)程：

步驟2：選擇點(diǎn)(x,y)，首先檢查該點(diǎn)的相位信息是否已經(jīng)恢復(fù)，若未恢復(fù)，進(jìn)入步驟3；若已恢復(fù)，重新選點(diǎn)；

步驟3：搜索鄰域Nx,y是否有相位信息已經(jīng)恢復(fù)的點(diǎn)，即找到m(ε,η;x,y)=1的點(diǎn)，若有，進(jìn)入步驟4；若無(wú)，跳回步驟2；

步驟4：根據(jù)找到的m(ε,η;x,y)=1位置的相位信息[φ0ωxωy]T，將點(diǎn)(x,y)處的相位初始值設(shè)為φe(ε,η)=φ0+ωx(ε-x)+ωy(η-y)，利用式(6)迭代求解完成后，設(shè)置m(x,y)=1，進(jìn)入步驟2，直至干涉圖上所有點(diǎn)的相位都已被恢復(fù)。

2.2 技術(shù)分析

Servin等人認(rèn)為利用RPT技術(shù)對(duì)單幅干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)時(shí)需要先對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，如圖1所示，將條紋強(qiáng)度數(shù)據(jù)歸一化到-1～1之間。由于受到環(huán)境噪聲、背景不均勻、調(diào)制度變化等因素的影響，探測(cè)器實(shí)際得到的干涉圖，其圖像

圖1 干涉圖灰度歸一化處理 Fig.1 Interferogram grayscale normalization

強(qiáng)度數(shù)據(jù)往往復(fù)雜不規(guī)范，需要通過(guò)預(yù)處理將圖像強(qiáng)度數(shù)據(jù)歸一化。目前已有多種方法可以很好地歸一化實(shí)際干涉圖[18-23]，便于利用RPT技術(shù)恢復(fù)單幅干涉圖的相位。

實(shí)際干涉圖歸一化后，在求解起始點(diǎn)的相位時(shí)，其鄰域內(nèi)并不存在已經(jīng)恢復(fù)相位信息的點(diǎn)。此時(shí)的優(yōu)化函數(shù)并不是一個(gè)嚴(yán)格的凹函數(shù)，利用梯度下降法搜索最優(yōu)解時(shí)會(huì)陷入局部最小值。因此，一般在恢復(fù)起始點(diǎn)的相位信息時(shí)采用全局搜索的方式。而在后續(xù)點(diǎn)的相位恢復(fù)中，鄰域內(nèi)相位信息已經(jīng)恢復(fù)的點(diǎn)的約束作用使優(yōu)化函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閲?yán)格的凹函數(shù)，梯度下降法搜索到的極值點(diǎn)即為全局最優(yōu)。由于斜率相反的兩個(gè)相位平面可以有相同的強(qiáng)度分布，所以在對(duì)起始點(diǎn)求解時(shí)往往會(huì)找到兩個(gè)全局最小值點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位平面具有相反的斜率，如果一開(kāi)始選擇了錯(cuò)誤的斜率方向，那么整個(gè)干涉圖恢復(fù)出來(lái)的相位結(jié)果就會(huì)和實(shí)際結(jié)果相反。應(yīng)用線性擬合方式擬合鄰域內(nèi)各點(diǎn)相位時(shí)，是無(wú)法避免這個(gè)問(wèn)題的。由于相同的原因，在后續(xù)遇到相位變化率為零處的鞍點(diǎn)時(shí)，很容易出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤，此時(shí)后果更加嚴(yán)重。起始點(diǎn)最小值點(diǎn)選錯(cuò)，會(huì)使整個(gè)相位顛倒，但不影響整體判斷，而鞍點(diǎn)處判斷錯(cuò)方向會(huì)則使相位整體變形。在恢復(fù)鞍點(diǎn)處的相位時(shí)，如果鄰域內(nèi)存在較多已被正確恢復(fù)相位信息的點(diǎn)，那么由于這些點(diǎn)的約束作用，優(yōu)化過(guò)程會(huì)自動(dòng)往正確方向進(jìn)行。預(yù)先設(shè)計(jì)好掃描路徑，將鞍點(diǎn)有意識(shí)地放在最后并被大部分已經(jīng)恢復(fù)相位的點(diǎn)包圍，可以有效避免錯(cuò)誤的發(fā)生。

利用RPT技術(shù)從單幅干涉圖中恢復(fù)相位的過(guò)程本質(zhì)上是從φ0、ωx和ωy3個(gè)參數(shù)出發(fā)，利用優(yōu)化算法搜索使Ux,y達(dá)到全局最小的點(diǎn)的過(guò)程。應(yīng)用梯度下降法搜索時(shí)，較多的未知數(shù)會(huì)使搜索過(guò)程曲折，達(dá)到最優(yōu)解位置的時(shí)間變長(zhǎng)。從2.1部分可以看出，式(6)中的步長(zhǎng)τ會(huì)影響RPT技術(shù)從單幅干涉圖中恢復(fù)出相位的速度。步長(zhǎng)τ設(shè)置得大，能較快到達(dá)最優(yōu)解的位置，但可能會(huì)在最優(yōu)解附近陷入振蕩；而步長(zhǎng)τ設(shè)置得小，則需要經(jīng)歷更多次迭代才能到達(dá)最優(yōu)解位置。程序中往往比較兩次連續(xù)迭代結(jié)果的差值，如果差值小于閾值tol，則可以認(rèn)為此時(shí)的φ0、ωx和ωy為最優(yōu)解的位置。閾值tol的大小限制了理論精度，如果需要較高的精度，必須設(shè)置較小的步長(zhǎng)τ和閾值tol，這意味著計(jì)算時(shí)間的增加。而RPT技術(shù)的精度有限，過(guò)小的步長(zhǎng)τ和閾值tol除了增加計(jì)算時(shí)間外并不能顯著地提高精度，因此沒(méi)有必要選擇非常小的參數(shù)。影響RPT技術(shù)求解相位快慢的因素除了步長(zhǎng)τ和閾值tol，還有鄰域Nx,y的大小，較大的Nx,y也會(huì)使計(jì)算時(shí)間增加，但適當(dāng)增大鄰域范圍可以加強(qiáng)相位恢復(fù)過(guò)程中的約束作用，使后續(xù)恢復(fù)過(guò)程更穩(wěn)定。

3 正則化相位跟隨技術(shù)的發(fā)展

利用RPT技術(shù)從單幅干涉圖中恢復(fù)相位信息的主要局限如2.2部分所述。針對(duì)這些局限，學(xué)者們主要從預(yù)處理和優(yōu)化函數(shù)模型兩個(gè)方面對(duì)RPT技術(shù)進(jìn)行改進(jìn)。

3.1 預(yù)處理與掃描路徑

預(yù)處理的目的是從式(1)獲得式(2)，實(shí)驗(yàn)中CCD采集到的干涉圖中往往具有各種噪聲，強(qiáng)度數(shù)據(jù)如同圖1(a)所示。而RPT技術(shù)的實(shí)現(xiàn)是假設(shè)去除了噪聲以及背景調(diào)制度的影響。因此為了對(duì)實(shí)際干涉圖進(jìn)行RPT處理，需要先進(jìn)行一些預(yù)處理步驟，一般包括簡(jiǎn)單去噪、背景去除。其中簡(jiǎn)單去噪指中值濾波、均值濾波、高斯濾波等等；背景去除比較復(fù)雜，需要在干涉圖對(duì)應(yīng)的頻域空間進(jìn)行一系列操作。對(duì)干涉圖的預(yù)處理過(guò)程一直也是研究熱點(diǎn)，人們一直致力于對(duì)其進(jìn)行高效降噪，現(xiàn)有的方法已經(jīng)足以滿足RPT技術(shù)需求，故其不作為本文重點(diǎn)，因此不做過(guò)多介紹。Quiroga等人在2001年提出的采用兩個(gè)正交的帶通濾波器共同作用的方法取得了很好的效果[19]。除此以外，Bernini等人將經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馀cHilbert-Huang變換應(yīng)用于條紋預(yù)處理中[20]，也得到了很好的濾波效果。

如2.2部分所述，合適的路徑引導(dǎo)可以降低鞍點(diǎn)、極值點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)的選擇錯(cuò)誤概率，Servin等人提出利用條紋跟隨(Fringe-follower RPT,FFRPT)[24]的方式規(guī)劃掃描路徑，引導(dǎo)相位恢復(fù)過(guò)程。FFRPT并沒(méi)有在相位恢復(fù)過(guò)程中修改算法，只是指出有效的掃描路徑規(guī)劃，從而避免了相位恢復(fù)過(guò)程中的錯(cuò)誤，并提出了基于條紋分布特點(diǎn)規(guī)劃掃描路徑的思想。FFRPT應(yīng)用合理的掃描路徑規(guī)劃方式，有效地減小了關(guān)鍵點(diǎn)處的錯(cuò)誤概率，可以從一幅復(fù)雜的干涉條紋中較好地恢復(fù)出相位信息。如圖2所示，2(a)為計(jì)算機(jī)仿真生成的256 pixel×256 pixel的復(fù)雜條紋分布，2(b)為根據(jù)條紋分割出來(lái)的分布結(jié)果，2(c)為利用FFRPT技術(shù)從干涉圖中恢復(fù)出來(lái)的相位分布。

圖2 FFRPT解調(diào)結(jié)果，單位：波長(zhǎng) Fig.2 Results with FFRPT, Unit: Wavelength

3.2 優(yōu)化函數(shù)模型

RPT技術(shù)的最主要特征就是在當(dāng)前點(diǎn)某一鄰域內(nèi)通過(guò)構(gòu)建優(yōu)化函數(shù)，搜索當(dāng)前點(diǎn)的相位信息，故優(yōu)化函數(shù)模型的差異將直接影響其搜索效果。于是，很多研究人員都針對(duì)優(yōu)化函數(shù)模型開(kāi)展深入研究。

3.2.1 增加相移項(xiàng)

Servin等人提出，在經(jīng)典RPT技術(shù)優(yōu)化模型中，增加一個(gè)相移項(xiàng)[10](相移α一般在0.1π到0.3π之間)，可以加速優(yōu)化函數(shù)收斂，如式(7)所示。應(yīng)用式(7)進(jìn)行求解時(shí)，一般是在第一次相位求解時(shí)設(shè)置一個(gè)不等于零的α，得到比較接近于真實(shí)情況的相位信息，再利用這些相位信息作為初始條件，并將α設(shè)置為零后進(jìn)行第二次求解。

λ[φ0(ε,η)-φe(ε,η)]2m(ε,η)} .

(7)

圖3 干涉圖與利用恢復(fù)相位反求的干涉圖 Fig.3 Interferograms before and after reversed phase recovery

干涉圖與利用恢復(fù)相位反求的干涉圖如圖3所示，圖3(a)為條紋圖，圖3(b)、3(c)和3(d)是α分別為0、0.1π和0.2π時(shí)，利用從干涉圖3(a)中初次恢復(fù)出來(lái)的相位反求的條紋圖，圖3(e)為它們?cè)谕晃恢?直線標(biāo)記)上的截面視角。

由圖3可以看出，α=0時(shí)，恢復(fù)出來(lái)的相位對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布與原圖高度重合，而α=0.1π和α=0.2π時(shí)則出現(xiàn)了明顯的不一致，這也是再次設(shè)置α=0進(jìn)行二次求解的原因。

3.2.2 增加調(diào)制度項(xiàng)

經(jīng)典RPT技術(shù)的一個(gè)局限是需要對(duì)條紋強(qiáng)度進(jìn)行歸一化處理，即要應(yīng)用RPT技術(shù)求解相位必須先得到式(2)，而此過(guò)程所引入的誤差必定會(huì)影響后續(xù)的相位恢復(fù)。Ricardo等人[25-26]將干涉圖的調(diào)制度bx,y也作為一項(xiàng)未知數(shù)，并利用式(8)作為調(diào)制度擬合方程，將優(yōu)化函數(shù)修正為式(9)。式中IB表示實(shí)際強(qiáng)度，Be表示迭代過(guò)程中的調(diào)制度值，B0、βx和βy則分別表示某點(diǎn)的調(diào)制度大小、調(diào)制度沿x方向的變化速率和沿y方向的變化速率，μ與λ表示正則化系數(shù)，為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，部分坐標(biāo)(ε,η)已省略。

Be=B0+βx(x-ε)+βy(y-η) ,

(8)

{IB-Becos[φe+α]}2+

λ[φ0-φe]2m(ε,η)+

μ[B0-Be]2m(ε,η)} .

(9)

在這個(gè)模型中，Ricardo等人將調(diào)制度納入求解過(guò)程，假設(shè)調(diào)制度變化連續(xù)且在一定區(qū)域內(nèi)可看成平面。這樣做不需要在預(yù)處理過(guò)程中歸一化調(diào)制度，但缺點(diǎn)也很明顯，即令求解更加復(fù)雜，因?yàn)榻庀蛄孔優(yōu)閜=[φ0ωxωyB0βxβy]T，未知數(shù)個(gè)數(shù)增加了1倍，計(jì)算一幅干涉圖的相位需要更長(zhǎng)的時(shí)間。Ricardo等人為了解決計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題，將優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行了修正，減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，并利用高斯-賽德?tīng)柕椒ㄟM(jìn)行最優(yōu)值搜索[25]。

圖4 對(duì)未歸一化調(diào)制度干涉圖的相位恢復(fù)(已包裹) Fig.4 Phase recovery of unnormalized interferogram(rewrapped)

如圖4所示，干涉圖整體的調(diào)制度(圖4(b))呈現(xiàn)不均勻分布，通過(guò)該方法恢復(fù)出來(lái)的相位結(jié)果如圖4(c)所示，處理時(shí)間只需原來(lái)的五分之一。

3.2.3 路徑無(wú)關(guān)正則化相位跟隨

在處理類似于圖5中B點(diǎn)那樣的極值點(diǎn)時(shí)，利用傳統(tǒng)RPT技術(shù)求解相位信息時(shí)會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，原因如2.2所述，即利用RPT技術(shù)進(jìn)行單幅干涉圖的相位恢復(fù)時(shí)，對(duì)于鞍點(diǎn)、極值點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)，線性擬合不具有判斷相位變化方向的能力。路徑無(wú)關(guān)正則化相位跟隨(Path-Independent Regularized Phase Tracker[12],PIRPT)技術(shù)中將式(4)的線性擬合修改為式(10)所示的二階擬合，即利用小曲面代替平面，并修正了相應(yīng)的優(yōu)化函數(shù)式(11)，式中的ωxx(·)、ωxy(·)和ωyy(·)表示曲面方程的二次項(xiàng)。利用曲面的二階擬合，在鞍點(diǎn)、極值點(diǎn)處也可以判斷出相位的變化方向，即可不需要單獨(dú)設(shè)計(jì)掃描路線將關(guān)鍵點(diǎn)放到最后去處理，因此其相位恢復(fù)效果與掃描路徑無(wú)關(guān)。圖5(a)中的相位極值點(diǎn)處，二階擬合方式比一階擬合適應(yīng)性更好。由于其能夠判斷相位變化的方向，PIRPT技術(shù)應(yīng)用于單幅干涉圖相位恢復(fù)中具有處理復(fù)雜干涉條紋的能力，算法穩(wěn)定性較經(jīng)典RPT技術(shù)也有了較大提高。但缺點(diǎn)是在計(jì)算過(guò)程中涉及到6個(gè)未知數(shù)的迭代優(yōu)化，計(jì)算變得更加復(fù)雜，相應(yīng)地，處理一幅干涉圖所需的時(shí)間也大大增加。

圖5 路徑無(wú)關(guān)原理示意圖 Fig.5 Path independent principle diagram

(10)

(11)

3.2.4 廣義正則化相位跟隨

Li等人[13-14]提出廣義正則化相位跟隨(Generalized Regularized Phase Tracker,GRPT)，即將式(1)中的背景a和調(diào)制度b均看成是鄰域內(nèi)的線性平面調(diào)制，將相位φ看成是二次曲面調(diào)制，如式(12)所示。優(yōu)化函數(shù)則調(diào)整為式(13)，其中w(ε,η;x,y)是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯權(quán)重窗口，Li將窗口大小即鄰域設(shè)為W×W，此時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差σ=W/4，式中已省略坐標(biāo)(ε,η)。

(12)

λ[φ0-φe]2m} ,

(13)

(14)

這樣做，可以直接對(duì)CCD記錄得到的干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)，省略了背景歸一化過(guò)程，但這樣做的缺點(diǎn)也非常明顯，優(yōu)化過(guò)程中未知數(shù)個(gè)數(shù)達(dá)到了12個(gè)，計(jì)算時(shí)間變得冗長(zhǎng)。Li等人利用了Levenberg-Marquardt(LM)和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)方法優(yōu)化了搜索最優(yōu)解過(guò)程[14]。GRPT對(duì)干涉圖的相位恢復(fù)結(jié)果如圖6所示，圖6(a)為實(shí)際的干涉條紋，圖6(b)為利用GRPT恢復(fù)的相位，圖6(c)為恢復(fù)過(guò)程中各點(diǎn)的迭代次數(shù)。雖然GRPT技術(shù)已成功應(yīng)用于多種干涉圖的相位恢復(fù)，但在面對(duì)較為稀松的條紋圖時(shí)處理效果一般較差。Li等人后期又將高斯窗口的大小修正為自適應(yīng)調(diào)整模式，并在優(yōu)化函數(shù)中增加了背景正則項(xiàng)和調(diào)制度正則項(xiàng)[13]，從而解決了這個(gè)問(wèn)題。

圖6 GRPT對(duì)干涉圖的相位恢復(fù)(已包裹) Fig.6 Phase retrieval of interferogram with GRPT(rewrapped)

3.2.5 正則化穩(wěn)頻器

Tian等人[27]將穩(wěn)頻器(Regularized Frequency Stablizer, RFS)的概念引入到RPT技術(shù)中，充分利用鄰域內(nèi)恢復(fù)區(qū)域的信息，結(jié)果如圖7所示。

圖7 RFS與RPT對(duì)同一幅干涉圖解調(diào)結(jié)果 Fig.7 Demodulation results of RFS and RPT in the same interferogram

RFS的恢復(fù)過(guò)程可以分為粗恢復(fù)和細(xì)化兩個(gè)過(guò)程，粗恢復(fù)的結(jié)果比較粗糙，在此基礎(chǔ)上細(xì)化可進(jìn)一步去除噪聲，達(dá)到較好的結(jié)果。

(15)

(16)

(17)

(18)

從式(15)～(18)可以看出，優(yōu)化函數(shù)只有一個(gè)未知數(shù)，計(jì)算時(shí)間縮短。優(yōu)化過(guò)程中減少的未知數(shù)即降低了計(jì)算復(fù)雜度，又使計(jì)算更穩(wěn)定。

3.2.6 簡(jiǎn)易正則化相位跟隨

Deepan等人[16-17]提出一種簡(jiǎn)易正則化相位跟隨(Simplified Regularized Phase Tracker,SRPT)方法，其通過(guò)圖像處理手段得到干涉圖中的條紋密度和方向信息，從條紋密度和條紋方向出發(fā)推導(dǎo)對(duì)應(yīng)相位在x和y方向的變化頻率，利用推導(dǎo)出來(lái)的頻率信息代替式(4)中的ωx和ωy有，

(19)

式中，N為條紋密度信息，θ(·)為條紋的方向。

圖8 SRPT對(duì)單幅實(shí)際干涉圖的相位恢復(fù)效果 Fig.8 Phase retrieval results of interferogram with SRPT

3.2.7 二次優(yōu)化模型(RPT&GS)

RPT技術(shù)的一個(gè)局限在于它所恢復(fù)的結(jié)果精度不高，無(wú)法與移相法相比擬，這是由其基于數(shù)值分析的本質(zhì)決定的。劉東等人[11]利用第一次恢復(fù)的結(jié)果作為初始條件，重新構(gòu)造優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，將相位恢復(fù)精度提高到可與移相干涉儀相當(dāng)?shù)乃?。劉東等人提出，在獲取初次優(yōu)化結(jié)果后，可以再構(gòu)造一優(yōu)化函數(shù)，如式(20)所示。 用其進(jìn)行二次優(yōu)化[11]。

(20)

在優(yōu)化函數(shù)式(3)中，鄰域內(nèi)點(diǎn)的約束作用可以使相位朝著連續(xù)變化的方向進(jìn)行求解，但也影響了求解精度。二次優(yōu)化法的基本思想即，在第一次求解的基礎(chǔ)上，利用優(yōu)化函數(shù)式(20)，通過(guò)二次優(yōu)化過(guò)程搜索出最優(yōu)解。RPT&GS與RPT的效果對(duì)比如圖9所示?？梢?jiàn)RPT&GS的二次優(yōu)化結(jié)果誤差要比RPT低一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖9 RPT&GS與RPT精度對(duì)比 Fig.9 Precision comparison of retrieval results by RPT&GS and RPT

4 正則化相位跟隨技術(shù)的應(yīng)用

RPT技術(shù)主要是針對(duì)無(wú)法進(jìn)行調(diào)制的干涉圖的相位提取問(wèn)題提出的，故其精度始終無(wú)法與移相法等相媲美。但由于其僅需要一幅干涉條紋圖即可恢復(fù)其中的相位信息，而無(wú)需任何附加調(diào)制，使得其應(yīng)用也十分廣泛。

4.1 應(yīng)用于條紋偏折圖的分析

莫爾條紋常用于分析光線偏折，分析的對(duì)象往往是偏折的帶深度信息的條紋圖，一般利用移相算法或傅立葉分析法來(lái)提取莫爾條紋偏折圖的信息。但上述兩種方法抗噪性均較差，從恢復(fù)出來(lái)的相位結(jié)果中確定梯度區(qū)域非常困難。Quiroga等人[28]將修正的RPT技術(shù)應(yīng)用于莫爾條紋圖分析過(guò)程中，以確定眼科鏡片表面能量分布，具有較好的抗噪性。Villa等[29]在測(cè)量物體3-D形狀輪廓時(shí)，提出了相位跟蹤輪廓儀的概念，并應(yīng)用了RPT相位恢復(fù)技術(shù)。

4.2 應(yīng)用于Hartmann檢驗(yàn)

Hartmann檢驗(yàn)常用于檢驗(yàn)大型望遠(yuǎn)鏡，通過(guò)在瞳面放置均勻排布的陣列傳感器對(duì)波前進(jìn)行采樣分析得到其像差分布。由于陣列各個(gè)面心與理想無(wú)像差成像時(shí)的偏離量理論上跟各面心所在位置的非球面波前曲率成正比，故通過(guò)分析記錄得到的條紋分布情況與面心陣列理論情況相比較，即可得到光學(xué)系統(tǒng)引入的像差。Servin等人[30]將RPT相位恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于Hartmann陣列圖，來(lái)計(jì)算橫向像差，即將得到的Hartmann陣列圖作為干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)，推測(cè)橫向像差分布情況。Servin等人將這種新的方法與人工計(jì)算以及傅立葉分析法進(jìn)行比較，認(rèn)為RPT技術(shù)在該場(chǎng)合中的應(yīng)用具有優(yōu)越性。

4.3 應(yīng)用于方形光柵條紋圖分析

方形光柵可以把兩個(gè)正交方向的表面偏差信息相乘于一幅圖像中，從而不需要旋轉(zhuǎn)光柵。RPT技術(shù)由于良好的抗噪特性被應(yīng)用到恢復(fù)方形光柵條紋圖的相位分布，Villa等人[31]在分析方形光柵條紋圖時(shí)將優(yōu)化算法修改為擬牛頓優(yōu)化算法，并在掃描路徑上利用基于條紋質(zhì)量引導(dǎo)的算法進(jìn)行有效規(guī)劃，得到了較好的結(jié)果。

4.4 應(yīng)用于光測(cè)彈性儀分析

光測(cè)彈性應(yīng)力分析是分析透明物體應(yīng)力與應(yīng)變的重要實(shí)驗(yàn)技術(shù)，具有悠長(zhǎng)的發(fā)展歷史[32-33]，常被用于大型高架橋梁等大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的自重效應(yīng)分析中。應(yīng)力與應(yīng)變條件下透明材料內(nèi)部的雙折射率發(fā)生變化，在光照下有不同的條紋分布。通過(guò)分析條紋的形狀，間接可以得到物體應(yīng)力與應(yīng)變信息。光測(cè)彈性分析有等傾線與等色線之分，前者指試樣上主應(yīng)力方向相同的點(diǎn)組成的軌跡，后者則是指試樣上兩個(gè)主應(yīng)力差值相同的點(diǎn)的軌跡即最大切應(yīng)力相同的點(diǎn)的軌跡。RPT技術(shù)應(yīng)用于分析光彈性條紋[34]，尤其是應(yīng)用于分析等傾線與等色線處[35]的相位信息，在光測(cè)彈性分析中發(fā)揮了重要的作用。

5 結(jié)束語(yǔ)

將RPT技術(shù)應(yīng)用于單幅干涉圖的相位恢復(fù)，可以得到連續(xù)的相位分布，省去解包裹處理過(guò)程，潛在的濾波作用使其對(duì)干涉圖的噪聲也有很強(qiáng)的適應(yīng)能力。從其首次被成功應(yīng)用于單幅干涉圖相位恢復(fù)以來(lái)，研究者們?cè)诖嘶A(chǔ)上做出了許多改進(jìn)，這些改進(jìn)使RPT技術(shù)在單幅干涉圖相位恢復(fù)上保存自己原有優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，也漸漸擺脫了一些弊端，適用性越來(lái)越強(qiáng)，甚至可以利用RPT技術(shù)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)觀測(cè)。RPT技術(shù)可以從單幅干涉圖中恢復(fù)出連續(xù)相位的特有優(yōu)勢(shì)一直吸引著研究者們進(jìn)行更深入的研究。其大致可以分為兩種：一種是構(gòu)建更加準(zhǔn)確同時(shí)也更加復(fù)雜的相位優(yōu)化函數(shù)，在優(yōu)化過(guò)程中進(jìn)行修正，這是早期大多數(shù)研究努力的方向；另一種則是放棄了復(fù)雜化的相位優(yōu)化函數(shù)，盡量利用圖像處理方法得到更多的相位衍生信息，求解相位時(shí)則充分利用這些信息簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，使整體過(guò)程趨于簡(jiǎn)短高效，是近些年來(lái)趨于主流的方法。從現(xiàn)有的基礎(chǔ)及趨勢(shì)來(lái)看，將單幅干涉圖相位恢復(fù)中的RPT技術(shù)納入到圖像處理以至圖像分析甚至圖像理解中更為合適。最開(kāi)始，RPT技術(shù)更多被看做是一種數(shù)學(xué)方法，利用建模和優(yōu)化的思想找到最優(yōu)解，從而恢復(fù)相位。而在現(xiàn)在，我們更多地會(huì)去考慮條紋分布與相位分布合理性的問(wèn)題，這已經(jīng)從單純的數(shù)學(xué)約束問(wèn)題跨入了廣義上圖像理解的領(lǐng)域。在圖像理解上，機(jī)器學(xué)習(xí)方法正被視作解決問(wèn)題的好方法，并成為研究的熱門方向，相關(guān)的理論與硬件基礎(chǔ)都已達(dá)到一個(gè)歷史高點(diǎn)。借助機(jī)器學(xué)習(xí)的理論與工具，處理圖像問(wèn)題會(huì)更加得心應(yīng)手，將它們應(yīng)用于干涉條紋相位恢復(fù)的應(yīng)用研究中，對(duì)于掃描路徑規(guī)劃、相位變化率及方向判斷、相位恢復(fù)結(jié)果評(píng)價(jià)等方面都有很大的意義，是目前尚未有太多人涉足但非常具有潛力的研究方向。