張海燕， 湯 獲， 馬麗娜

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000)

設(shè)C表示復(fù)數(shù)集，A表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內(nèi)單葉解析且具有如下形式

∞

的函數(shù)族．設(shè)P表示單位圓盤D內(nèi)具有如下形式

且滿足條件Re p(z)＞0的解析函數(shù)族．由文獻(xiàn)［1］中的結(jié)論易知，對(duì)于函數(shù)p(z)∈P，則存在Schwarz函數(shù) ω(z)，使得

定義 1［2］設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在單位圓盤D內(nèi)解析．如果存在D內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω(z)，滿足:ω(0)=0，|ω(z)|＜1 且 f(z)=g(ω(z))，則稱 f(z)從屬于g(z)，記為f(z)g(z)．特別地，如果 g(z)在D上是單葉的，則

定義2 設(shè)SL*s(α，μ)表示具有(1)式的形式且滿足下述條件的函數(shù)全體

易知若f∈SL*s(α，μ)，則有

其幾何意義是函數(shù)位于雙紐線γ:(x2+y2)2－2(x2－y2)=0的右半?yún)^(qū)域．Sokól等［3］最早介紹了雙紐線函數(shù)，文獻(xiàn)［4－5］給出了進(jìn)一步的研究．

注意到，若在定義2中分別取μ=0，α=μ=0和α－1=μ=0時(shí)，則可得如下函數(shù)類:

和1976年，Noonan等［6］定義了函數(shù) f的 q階 Hankel行列式

其中 a1=1，n≥1，q≥1．

特別地，有

因?yàn)?f∈A，a1=1，故有特別地，估計(jì)H2(1)即為經(jīng)典的Fekete－Szeg?不等式［7］．

近年來，許多學(xué)者研究了各類解析函數(shù)的三階Hankel行列式H3(1)，得到了其上界估計(jì)，詳見文獻(xiàn)［8－10］．1996 年，Sokól等［3］引入了與貝努利雙紐線有關(guān)的解析函數(shù)類，許多學(xué)者對(duì)上述函數(shù)類進(jìn)行進(jìn)一步研究，如Ali等［4］討論了與貝努利雙紐線有關(guān)的解析函數(shù)類的微分從屬性質(zhì)，Raza等［11］研究了與貝努利雙紐線有關(guān)的一類解析函數(shù)的三階Hankel行列式．受其啟發(fā)，本文研究了一類具有對(duì)稱點(diǎn)且與貝努利雙紐線有關(guān)的廣義解析函數(shù)SL*s(α，μ)的三階 Hankel行列式H3(1)，得到其上界估計(jì)．

2 主要結(jié)果

為了證明本文結(jié)論，需要如下引理．引理 1［8］如果 p(z)∈P，則

|cn|≤ 2， n=1，2，…．

引理 2［9］如果 p(z)∈P，則存在復(fù)數(shù) x、z且|x|≤1，|z|≤1，使得

定理1 若f∈SL*s(α，μ)，則有

證明 設(shè)f∈SL*s(α，μ)，則由定義 1 和(2)式可得

其中 ω(z)是 Schwarz函數(shù)且滿足 ω(0)=0，|ω(z)| ＜1，z∈D．令

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算有分別比較上式中等號(hào)兩邊 z、z2、z3、z4的系數(shù)，易得

故有

定理2 若f∈SL*s(α，μ)，則有|a2a3－ a4|≤

其中

證明 若f∈SL*s(α，μ)，則由定義 1 及(2)式可得

定義

則p(z)∈P且

又

分別比較(12)和(13)式中 z、z2、z3的系數(shù)得

從而可得

其中

令

設(shè)|x|=t，0≤t≤1，c1=c，c∈［0，2)，則由三角不等式及引理1可得

令

則

1) 當(dāng) t≥t*時(shí)，則有≤0，即函數(shù) F(c，t)關(guān)于t單調(diào)遞減，F(xiàn)(c，t)在t=0處取得最大值，即

令

則故有函數(shù)G(c)關(guān)于c單調(diào)遞減，因此函數(shù)G(c)在c=0處取得最大值，從而可得函數(shù)F(c，t)在t=0，c=0處取得最大值，也即

令

則

令G'(c)=0，則可得又因?yàn)镚″(r*)＜0，所以函數(shù) G(c)在 c=r*處取得最大值，從而有函數(shù)F(c，t)在t=1，c=r*處取得最大值，即定理2得證．

定理3 若f∈SL*s(α，μ)，則有證明 由(14)～(16)式可得

設(shè)|x|=t，0≤t≤1，c1=c，c∈［0，2)，則由三角不等式及引理2可得

其中

則有

即函數(shù) F(c，t)關(guān)于 t單調(diào)遞增，F(xiàn)(c，t)在 t=1處取

得最大值，即

令

則

故函數(shù)G(c)單調(diào)遞減，進(jìn)而可得函數(shù)G(c)在c=0處取得最大值．綜上可知，函數(shù)F(c，t)在t=1，c=0處取得最大值，即有

定理3得證．

定理4 若f∈SL*s(α，μ)，則有

證明 由(14)～(16)式可得

設(shè)|x|=t，0≤t≤1，c1=c，c∈［0，2)，則由三角不等式與引理2，可得

其中

設(shè)

則有

令

則因?yàn)閏=0是 G'(c)=0的根，且G″(0)＜0，所以函數(shù)G(c)在c=0處取得最大值．綜上可知，函數(shù)F(c，t)在t=1，c=0處取得最大值，即有

定理4得證．

定理5 設(shè)f∈SL*

s(α，μ)，則

其中

Q1、Q2、M、Q 由(8)～(11)式給出．

證明 因?yàn)?/p>

故由三角不等式可得

將(3)～(6)式、(17)～(18)式代入(19)式，即得定理5．

在定理5中，若分別取μ=0，α=μ=0和α－1=μ=0，則可得如下的一些推論．

推論1 若f∈SL*s(α)，則

其中

M、Q分別是(10)和(11)式中μ=0的情形．

推論2 若f∈SL*s，則

其中

推論3 若f∈SL*s(1)，則

其中

Third Hankel Determinant for a Class of Generalized Analytic Functions Related with Lemniscate of Bernoulli and Symmetric Points

ZHANG Haiyan， TANG Huo， MA Lina

(School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000，Inner Mongolia)

Abstract:In this paper，we introduce a class of generalized analytic functions，denoted by SL*s(α，μ)，which are associated with lemniscate of Bernoulli and symmetric points．We investigate the Hankel determinant H3(1)for these functions and the upper bound of the above determinant is obtained．

Keywords:analytic functions;symmetric points;third Hankel determinant;lemniscate of Bernoulli;upper bound

2010 MSC:30C45;30C55