☉江蘇省蘇州市相城經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)漕湖學校 倪 勇
數(shù)學作業(yè)是課堂教學的延續(xù),學生通過作業(yè)可以達到鞏固所學知識、提升數(shù)學能力的目的.然而,由于受應試教學的影響,為了提高班級平均分,教師往往給學生布置大量淺層次的數(shù)學作業(yè)題,此舉不但加重了學生的課業(yè)負擔,同時,讓學生對這類作業(yè)產(chǎn)生了抵觸情緒,從而傷害了學生學習數(shù)學的積極性.那么,如何改變這種現(xiàn)象呢?筆者認為,教師應加強初中數(shù)學拓展性作業(yè)的設計,讓學生在別樣的數(shù)學作業(yè)中感受數(shù)學,欣賞數(shù)學,從而促進他們數(shù)學思維的發(fā)展,以達到培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的最終目的.那么,在初中數(shù)學教學中,教師應如何設計拓展性作業(yè)呢?本文結合具體的教學實踐,談談自己的做法與看法,供大家參考.
古人云:興趣是最好的老師.數(shù)學作業(yè)要讓學生自覺、主動地完成,應具有一定的趣味性.尤其是數(shù)學拓展性作業(yè).這類作業(yè),首先,應該是課堂探究的延續(xù),其次,不僅與課本有聯(lián)系,更是源于課本知識,又高于課本知識,對學生具有一定的挑戰(zhàn)性.
比如,在“凸多邊形”的教學中,教師不僅要把握好教材內容,更要把所學的知識內容與實際聯(lián)系起來,設計有關問題讓數(shù)學走進學生的生活.在課堂上,我提出了如下問題:
如何求這個少加的角的度數(shù)?一般情況下,題設應告訴我們已知多邊形的邊數(shù),然后我們可根據(jù)多邊形的內角和定理求出它的所有內角的和,減去除這個角外的其余各角之和就是這個少加的角的度數(shù).然而本題中不知多邊形的邊數(shù),因此無法求出它的內角和.于是我們應該深入、仔細分析,另辟蹊徑,探求解題新思路.我們不妨觀察多邊形的內角和計算公式(n-2)·180°的特點:它是180°的整數(shù)倍,而1125°不是180°的整數(shù)倍,因此我們可用1125°除以180°,看余下的度數(shù)是多少.因為多邊形的每個內角都不會大于或等于180°,所以與“余下的度數(shù)”的差就是張明同學少加的那個內角的度數(shù).求出了這個角的度數(shù),再求多邊形的邊數(shù)就容易了.
這個問題背景新穎,又是從實際中來,學生倍感親切,在教師的引導下,他們很快解決了問題.那么這節(jié)課后,教師該如何布置作業(yè)呢?能否在多邊形內角的角度上做文章呢?于是,我布置了如下拓展題,從“網(wǎng)絡爬蟲”出發(fā),抓住學生的心,以“凸多邊形的內角和”為關鍵詞,幫助學生復習舊知,同時注重數(shù)學文化與能力的拓展,具體如下:
拓展性作業(yè)設計1:網(wǎng)絡爬蟲是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁抓取工具,其算法與數(shù)學的一個重要分支圖論有著密切的聯(lián)系.圖論可以追溯到大數(shù)學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”.圖論中討論的圖是由一些節(jié)點和連接這些節(jié)點的線組成的.請你回答下列問題:
把一個矩形區(qū)域劃分成n個凸多邊形區(qū)域(這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外,沒有公共部分).已知構成這n個凸多邊形的頂點中,恰有6個頂點在矩形內,12個頂點在矩形的邊界上(含矩形的頂點);同時,任何3個頂點不共線(除矩形邊界上的頂點共線外).若圍成這n個凸多邊形的線段中,恰有18條線段在矩形區(qū)域內,則這n個凸多邊形中四邊形個數(shù)的最大值為___________.
解析:設這n個凸多邊形中,有k3個三角形,k4個四邊形,k5個五邊形,…,km個m邊形.則這n個凸多邊形的內角和為
另一方面,矩形內部有6個頂點,對于每個頂點,圍繞它的多邊形的內角和為.矩形邊界線段內(不含矩形頂點)有8個頂點,在每個頂點處,各多邊形在此匯合成一個平角,其和為.在矩形的每個頂點處,各多邊形在此匯合成一個直角,其和為.因此,這n個凸多邊形的內角和為
再考慮這n個凸多邊形的邊數(shù).由于每個凸m邊形有m條邊,因此,這n個凸多邊形的邊數(shù)和為3k3+4k4+5k5+…+mkm.
另一方面,由條件知在矩形內部的18條邊,每條邊都是兩個凸多邊形的公共邊,應計算2次.而在矩形邊界上的12個點,得到12條線段,它們都對應某個凸多邊形的邊.因此,這n個凸多邊形的邊數(shù)和為18×2+12=48.
則3k3+4k4+5k5+…+mkm=48 ②.
聯(lián)立①和②,消去k3,得k4+2k5+…+(m-3)km=9.則k4≤9.
圖1
又如圖1所示的劃分符合要求,此時,k3=4,k4=9.
則k4的最大值為9,即這n個凸多邊形中,最多有9個四邊形.
實踐證明,雖然這類問題具有難度,卻符合學生的心理需求,很受他們歡迎,對學生的智力發(fā)展也具有一定的作用.
為了加強基礎知識、基本運算與基本技能,教師授課應立足于應知應會的內容,但課外作業(yè)要注重學生探究能力的培養(yǎng).數(shù)學拓展性作業(yè),一般應起源于當天所學的知識,是當天課堂內容的延伸與拓展,具有探究性.要讓學生經(jīng)過一定的思考和探究才能找到答案,探究之后要讓學生獲得滿足感和成就感.所以從某個角度看,數(shù)學拓展性作業(yè),探究是“上道”.
例如,在學習一元二次方程的根與系數(shù)的聯(lián)系,即韋達定理后,教師都要通過例題與練習加強學生對所學內容的理解.我給出了如下問題與學生探討:
問題1:已知關于x的方程x2-kx-k=0有不等實根,求實數(shù)k的取值范圍.
問題2:已知關于x的方程x2-kx-k=0的不等實根為x1與x2,且(x1-1)(x2-1)=24,求實數(shù)k的值
問題3:已知關于x的方程x2-kx-k=0有不等實根,求兩個根的平方和的取值范圍.
以上三個問題由淺入深,積極引導學生利用韋達定理,并反映出應用過程中的易錯點.那么這節(jié)課后,如何讓學生的思維能力提高一個層次呢?我給出了如下問題:
拓展性作業(yè)設計2:已知關于x的方程x2-kx-k+9999=0的兩根都是素數(shù),求k的值.
解析:設方程x2-kx-k+9999=0的兩根分別為p、q.
則(p+1)(q+1)=10000=24·54①.
當m=1時,p=9,不是素數(shù),舍去.當m=2時,p=49,不是素數(shù),舍去.當m=3時,p=249,不是素數(shù),舍去.當m=4時,p=1249,是素數(shù).此時,,q=7,也是素數(shù).則p=1249,q=7,k=p+q=1256,符合要求.
則p=19,q=499,k=p+q=518,符合要求.
綜上所述,k=518或k=1256.
這道題從一元二次方程根與系數(shù)的關系入手,最終落腳點卻在討論與的奇偶性,而解答的每一個步驟都體現(xiàn)了解題者的探究精神與解題毅力.誠然,這類問題具有很強的能力要求,會讓部分學生望而卻步,但這類拓展題不僅僅是讓學生會做,更可培養(yǎng)他們的探究精神與思維品質,所以值得嘗試.
數(shù)學教學的最終目的,是發(fā)展學生的思維水平與數(shù)學能力,因此數(shù)學拓展性作業(yè),發(fā)展是“正道”,判斷數(shù)學拓展性作業(yè)是否可行,是否有效,應看它能否促進學生思維的發(fā)展.數(shù)學思維具有批判性、求異性、深刻性和廣闊性的特征,筆者認為,數(shù)學拓展性作業(yè)也應該具有這樣的特征.數(shù)學課堂上,教師通常推崇一題多解,其實一題多解也是數(shù)學拓展性作業(yè)的好素材.由于受課堂教學時間的限制,往往讓“一題多解”探究意猶未盡.筆者認為,教師應該把它繼續(xù)引向數(shù)學拓展性作業(yè).
拓展性作業(yè)設計3:如圖2,G為△ABC的重心,點D在CB的延長線上,且,過點D、G的直線交AC于點E,則
課堂上,教師與學生互相探討,發(fā)現(xiàn)了如下解法:
如圖3,連接AG,并延長交BC于點F.
圖2
圖3
設CM=k,則CE=3k,EM=2k,AE=4k.則AC=7k,故
那么,本題還有其他解法嗎?請大家課后繼續(xù)探究.
減負是一個永久的話題,如何給學生減負?教師可以從數(shù)學拓展性作業(yè)著手.這種作業(yè)雖然量大大減少了,但學生的思維沒有減弱,學生的學習興趣反而加強,在倡導培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的當今教育下,這種作業(yè)方式值得大家一試并推廣.