☉安徽省銅陵市第八中學(xué) 潘楷佳
當(dāng)前,如何通過課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),是各地教師學(xué)習(xí)與研究的首要任務(wù).羅增儒說:“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思想中的DNA”.也就是說,數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式,它們都具有持續(xù)性、可遷移性,對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有導(dǎo)向性作用.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中,專門用一個自然段表述了數(shù)學(xué)中的分類思想,強(qiáng)調(diào)對事物共同特性的抽象、分類思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)積累.各地對分類討論思想的研究一直沒有停止過,在分類意識、分類標(biāo)準(zhǔn)、分類原則方法、教學(xué)建議等方面都有理論上的思考,但缺少課堂案例研究的文獻(xiàn).本文從新知學(xué)習(xí)、習(xí)題教學(xué)、專題教學(xué)課堂實(shí)踐的幾個片段出發(fā),談?wù)劮诸愑懻摂?shù)學(xué)思想方法的一些教學(xué)策略,供研討.
分類思想體現(xiàn)在一個事物的幾個方面,分類后要求對有著共性的這幾個方面進(jìn)行討論.學(xué)生對分類思想要慢慢感悟才能領(lǐng)會,要靠教師在課堂教學(xué)中不斷滲透,才會有經(jīng)驗(yàn)積累,直至自覺運(yùn)用.這與人類認(rèn)識事物的規(guī)律是一致的.
案例1:人教版數(shù)學(xué)教材第27.2節(jié)第1課時“平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論”.
師:大家先分成4個大組,分別探究下列4個問題,再合作交流.探究如下:
探究:如圖1,任意畫兩條直線a、b,再畫三條與a、b都相交的平行線l1、l2、l3.分別度量l1、l2、l3在直線a上截得的線段AB、BC的長度和在直線b上截得的線段DE、EF的長度,各組分別借助計算器求下列比值:.它們相等嗎?平移直線l3的位置,它們還相等嗎?
在學(xué)生分組驗(yàn)證合作交流后,知道直線a、b上被截下的4條線段,只要它們的位置是對應(yīng)的,就都成比例.但這還不足以突出這個基本事實(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,又因該結(jié)論的證明較難,所以要再次驗(yàn)證,以抓住本質(zhì).
圖1
師:這4條對應(yīng)線段成比例的本質(zhì)條件是什么?如何探究?請看幾何畫板.
追問1:如果改變這些平行線之間的距離,它們的比值還相等嗎?
追問2:如果改變直線a、b的位置,它們的比值還相等嗎?
追 問3:如果使l1、l2、l3不平行,它們的比值還相等嗎?
生1:我發(fā)現(xiàn),對應(yīng)線段成比例,與直線a、b的位置無關(guān).
生2:我發(fā)現(xiàn),對應(yīng)線段成比例,與平行線l1、l2、l3之間的距離無關(guān).
生3:我發(fā)現(xiàn),只要保持l1∥l2∥l3這一關(guān)系,對應(yīng)線段就都成比例.
師:很好!事實(shí)上,三條平行線之間的對應(yīng)線段成比例的本質(zhì)條件就是這組直線的平行關(guān)系.如何歸納這個事實(shí)呢?
生4:兩條直線被三條平行線所截,所得對應(yīng)線段成比例.
師:這個結(jié)論叫“平行線分線段成比例的基本事實(shí)”.這里用幾何畫板驗(yàn)證時以改變不同直線位置關(guān)系為標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)行了分類探究,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的分類思想.
反思:本案例用幾何畫板的功能觀察對應(yīng)線段比值大小與直線的位置、平行線之間的距離、直線的平行關(guān)系中哪些有本質(zhì)聯(lián)系,這就是分類討論;學(xué)生分組探究不同對應(yīng)線段的比值關(guān)系也是分類討論,都滲透著分類思想.事實(shí)上,人教版初中數(shù)學(xué)教材中比較典型的分類問題有100多個,如一個數(shù)的平方根、特殊到一般地獲得拋物線的性質(zhì)、圓周角定理的證明等.同時,學(xué)生的課堂活動也充滿了分類.學(xué)生在做數(shù)學(xué)時具有偶然性、特殊性,分別代表了不同的類,需要教師幫助學(xué)生歸類和分類,獲得數(shù)學(xué)知識.因此,教師借助多媒體工具,引導(dǎo)學(xué)生在探究新知的過程中進(jìn)行滲透與顯化是數(shù)學(xué)思想教學(xué)的一種有效策略,能促進(jìn)學(xué)生感悟分類等數(shù)學(xué)思想.精心設(shè)計問題,引導(dǎo)學(xué)生合理分類討論,有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,可以促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知形成,積累分類等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).
在遇到分類的問題時,要把一個問題分為幾類,并進(jìn)行比較和反思,再分門別類地一一討論.所以比較是分類討論的前提,有比較才有鑒別.
案例2:比較a與的大小.
師:很好!在大小比較的問題中,先判斷相等的條件是關(guān)鍵.當(dāng)a≠±1時,a與就不相等了,此時按照a的值的大小應(yīng)當(dāng)分為幾類呢?
生2:可以借助數(shù)軸發(fā)現(xiàn),分為4類:a<-1,-1<a<0,0<a<1,a>1.
生3:不對,漏了a=±1這類了,應(yīng)分為5類.
生4:我分別根據(jù)a的大小范圍取值驗(yàn)算過,分為4類:①當(dāng)a=0時,不存在;②當(dāng)a=±1時,相等;③當(dāng)-1<a<0和a>1時,;④當(dāng)a<-1和0<a<1時,
師:這名同學(xué)考慮到不同的結(jié)果,把a(bǔ)的取值分為4類,其中a=0這類要不要?
生5:要,因?yàn)閱栴}中沒有說明a≠0.
師:對.在沒有任何說明的情況下,字母a的取值要有連續(xù)性,保證分類不重、不漏,所以分出a=0這類是分類的需要,而當(dāng)a=0時不能比大小是分類后討論的結(jié)果.
說明:這個案例是筆者進(jìn)行“分類討論數(shù)學(xué)思想方法掌握情況的質(zhì)量跟蹤調(diào)查”之后,反饋到課堂上的問題之一,是數(shù)與代數(shù)知識的一類調(diào)查,蘊(yùn)含分類思想、字母表示數(shù)的思想和特殊與一般的辨證關(guān)系,是數(shù)學(xué)中最抽象的問題之一.從調(diào)查的結(jié)果看,初一學(xué)生的正確率是29%,初二學(xué)生的正確率是42%,初三學(xué)生的正確率是81%.初三學(xué)生的數(shù)感、符號意識明顯好于低年級學(xué)生.
反思:從本例調(diào)查和課堂討論中可以發(fā)現(xiàn):學(xué)生對分類討論數(shù)學(xué)思想的感悟與其數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知基礎(chǔ)、思維能力正相關(guān),與教師的滲透、點(diǎn)撥、有意識引導(dǎo)密切相關(guān).教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生制定合理的分類標(biāo)準(zhǔn),比較分類過程中的連續(xù)性,排除分類過程中的等價類和無效類.如本題中a=0就是無效類;拋物線的頂點(diǎn)不在自變量取值范圍內(nèi)時,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就不是最值,要排除;螞蟻從正方體一個頂點(diǎn)沿著表面爬行到其對角頂點(diǎn)去,雖有6條路徑,但屬于等價類,最短路徑只有一種.所以分類時的比較是很有必要的,通過比較,可促進(jìn)學(xué)生形成反思意識,提升學(xué)生的抽象思維能力,培養(yǎng)思維的縝密性和批評性,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).
分類思想的上位思想是集合與對應(yīng)思想(不重、不漏)、辨證思想、轉(zhuǎn)換與化歸思想.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,分類思想又往往與其他思想方法共存,且分類后的討論是問題求解的過程,與其他知識的關(guān)聯(lián)度大.因此需要分類討論的問題一般有一定的綜合性,需要教師在課堂交流中點(diǎn)撥.在一次專題復(fù)習(xí)課上,筆者選用了一道中考題進(jìn)行分類思想的教學(xué),課堂上引發(fā)了許多積極的思考和爭論.
案例3:(2018年安徽)如圖2,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上,滿足△PBE△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為___________.
師:請同學(xué)們仔細(xì)審題與思考,題目說點(diǎn)P在矩形內(nèi),圖形中點(diǎn)P在對角線BD上,能否確定點(diǎn)P的位置?
師:很好!如果這一步不寫,那么后面的推理就不符合邏輯了.根據(jù)已知長度,可以求出哪些線段的長度?又怎么求PE的長度?
生2:可得出BD=10.再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)知道,要先求出BP或PD的長度才行.
師:接下來,要用“△APD是等腰三角形”這個條件了,可哪兩邊是相等的腰呢?
生3:因?yàn)檫@個等腰三角形的腰和底邊不明確,所以要分類,根據(jù)邊長關(guān)系可分為兩類:①AD=DP;②AP=DP.再分別求解.
師:分類時要考慮到各種情況,不重、不漏地分類.AP=AD也是一類,為什么沒有呢?
生3:AP不可能等于AD.
師:為什么?怎么解釋?
生4:根據(jù)垂線段最短得知:斜線段越來越長,所以AP<AD.
生5:在Rt△ABD中,BD是斜邊,最大,所以AP<AD.(師單獨(dú)畫出Rt△ABD和AP)
生6:我覺得他們的解釋不對.如圖3,作AO⊥BD于點(diǎn)O,點(diǎn)P在OD上,根據(jù)勾股定理得.又OP<OD,所以AP<AD.
師:很好!能夠想到勾股定理進(jìn)行計算分析,大家聽明白了嗎?
生7:如果點(diǎn)P在OB上,怎么知道OP<OD的?
至此,學(xué)生陷入了一片茫然,都不知道怎么解釋AP<AD,需要點(diǎn)撥.
師:既然點(diǎn)P可能在OD上,也可能在OB上,也就是說,點(diǎn)P的位置不確定,請大家思考,當(dāng)我們遇到不確定的問題時,要怎么辦?
生8:分類.
師:對.分類后怎么討論OP和OD的大小呢?
師:同學(xué)們可在課外進(jìn)一步思考“如何說明AP與AD的大小”.這里要注意的是,根據(jù)分類不重、不漏的原則,AP=AD也是一類,要寫出來.因?yàn)檫@種情況不成立,所以只需要說明一下再否定它,不必證明.接下來請大家分別求出PE的長度.
生10:老師,當(dāng)AP=PD時,AP是不是等于5?。?/p>
師:這個問題還是交給大家討論吧!
生11:矩形中,只有對角線互相平分才有AP=PD,所以AP=5.
生12:不對.可以作PF⊥AD于點(diǎn)F,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),PF是△ABD的中位線,所以點(diǎn)P是BD的中點(diǎn),AP=5,進(jìn)一步可得
生13:還可以換一種解釋:當(dāng)AP=PD時,∠PAD=∠PDA,根據(jù)互余關(guān)系,可得∠PAB=∠PBA,再根據(jù)等角對等邊得AP=BP=PD=5,所以PE=3或PE=1.2.
師:同學(xué)們能夠大膽說出自己的不同思考,難能可貴!今后如果遇到不確定的問題時,要學(xué)會分類討論,這是這個題目帶給我們的經(jīng)驗(yàn).
反思:沒想到這個中考題的教學(xué)牽涉出這么多知識點(diǎn)的復(fù)習(xí),調(diào)動了全班學(xué)生數(shù)學(xué)探究的積極性,關(guān)注到分類誘因、分類方法的理解.雖然耗時較長,但促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).其中說明點(diǎn)P在BD上是前提,學(xué)生容易忽略這步推理,分類時不寫AP=AD是易錯點(diǎn),思考AP<AD是難點(diǎn),課堂交流與點(diǎn)撥是突破難點(diǎn)的一種策略.事實(shí)上,點(diǎn)P是BD上的動點(diǎn),AB=6,AD=8,又因?yàn)辄c(diǎn)P在矩形內(nèi),所以點(diǎn)P在以A為圓心、AB為半徑和AD為半徑的圓環(huán)之間,一定有AB<AP<AD.
大多數(shù)學(xué)生容易形式化地審題,如有學(xué)生說點(diǎn)P在OD上,遇到分類問題時嫌麻煩,而且分類后綜合解決問題的能力也不足.因此在課堂交流中適當(dāng)點(diǎn)撥和及時鼓勵,可提升學(xué)生解答分類討論題的興趣,有效關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識,強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).
從這幾個案例中,可以看到分類思想的教學(xué)策略取決于教學(xué)材料,不能千篇一律,內(nèi)容決定形式,且分類時要注意不重、不漏的原則.由于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟有一個螺旋上升的過程,所以分類思想的教學(xué)也要遵循教學(xué)規(guī)律,教學(xué)生學(xué)會思考是目標(biāo).其中:
案例1中直線位置與比值大小關(guān)系具有隱蔽性.案例2中字母a的值到底要分為幾類具有抽象性.因此課堂教學(xué)中要借助多媒體工具,用探究、比較和點(diǎn)撥等策略,幫助學(xué)生逐步感悟和領(lǐng)會分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.其中針對學(xué)生情況設(shè)置有效的問題驅(qū)動是引導(dǎo)的關(guān)鍵,要防止思維定式.還要積極引導(dǎo)學(xué)生識別、歸納常見分類問題等.
如案例3中AP與AD的大小比較、AP=PD時的值都是分類中必須考慮的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算問題.教師要注意積極評價和鼓勵,既提升興趣,又解決問題,有利于學(xué)生對思想的領(lǐng)悟和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).
一般一個學(xué)期安排兩節(jié)復(fù)習(xí)課.專題復(fù)習(xí)課的材料可選中考題、教材題,也可選開放題、改編題,還可選學(xué)生的錯例和生活趣題等.例題教學(xué)要循序漸進(jìn),難題會讓學(xué)生望而生畏的.還要有梯度的課后訓(xùn)練,讓學(xué)生用相同或相近的方法做事,是深刻理解數(shù)學(xué)思想方法,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的有效途徑.必須注意專題教學(xué)在于專,要專于分類,專于討論.