☉湖北省姊歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

☉湖北省姊歸縣歸州鎮(zhèn)初級中學(xué) 葉先玖

2018年中考數(shù)學(xué)宜昌卷第24題，整合了初中階段的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，守住《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的底線，題不超標(biāo)，解卻有道，直擊數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂.解答這道題，會(huì)自覺地對題中蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行吸收和內(nèi)化，會(huì)獲得真正受益終身的寶貴財(cái)富.下面就此題的解法探究、筆者的思考和獲得的啟示等方面做一全面分析，以期得到專家和學(xué)者的指點(diǎn)和幫助.

一、原題呈現(xiàn)

圖1

題目：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OADB的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（0，4），過點(diǎn)C（-6，1）的雙曲線y=（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點(diǎn)E.

（1）填空：OA=___________，k=___________，點(diǎn)E的坐標(biāo)為___________.

③當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)P隨著t的變化同時(shí)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍，并求在運(yùn)動(dòng)過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積.

二、試題賞析

試題聚焦核心素養(yǎng)，注重通性、通法，立意新穎、巧妙，富含數(shù)學(xué)思維，解法思路多樣，具有一定的創(chuàng)新性、前瞻性和導(dǎo)向性，導(dǎo)向明確，思維求活，育人求實(shí).

在考查方向上，注重體現(xiàn)核心基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的特點(diǎn)，突出對數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的考查.

在考查內(nèi)容上，傳承本地對含參函數(shù)問題的研究，延續(xù)定軸動(dòng)區(qū)間或動(dòng)軸定區(qū)間函數(shù)命題風(fēng)格，側(cè)重于在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)綜合考慮點(diǎn)、直線、雙曲線、拋物線的運(yùn)動(dòng)變化及相對位置關(guān)系，考慮特定情形下的公共點(diǎn)、臨界點(diǎn)及面積情況，再充分借助幾何直觀，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).

在命題技術(shù)上，隱去不必要的圖形，設(shè)置合理坡度以搭建“腳手架”，體現(xiàn)命題者對考生的人文關(guān)懷，關(guān)聯(lián)通法與巧法，求實(shí)而不失科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，有層次地考查學(xué)生應(yīng)對復(fù)雜情境中工作的要求并成功開展工作的綜合能力及關(guān)鍵能力.

三、解法展示

1.命題教師給出的參考答案，以下簡稱“解法1”

解：（1）填空：OA=6，k=-6，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（2）①設(shè)直線MN：y=k1x+b1.

當(dāng)1≤t≤6時(shí)，yp隨著t的增大而增大，此時(shí)，當(dāng)1≤t≤6時(shí)，隨著t的增大，點(diǎn)P在直線x=-1上向上運(yùn)動(dòng).

當(dāng)1≤t≤4時(shí)，yF隨著t的增大而增大，此時(shí)，隨著t的增大點(diǎn)F沿著y軸向上運(yùn)動(dòng)，則1≤t≤4.

當(dāng)t=1時(shí)，直線MN：y=x+3與x軸交于點(diǎn)F（-3，0），與y軸交于點(diǎn)G（0，3）.

命題組發(fā)布試題評述時(shí)這樣表述道：“第24題側(cè)重于在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)綜合考慮點(diǎn)、直線、雙曲線、拋物線的運(yùn)動(dòng)變化及相對位置關(guān)系，考慮特定情形下的公共點(diǎn)、臨界點(diǎn)及面積情況，在充分借助幾何直觀的理解下，綜合考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).”不難發(fā)現(xiàn)，命題組給出的參考答案，解法簡潔，力求多思少算，倡導(dǎo)多想少寫，不失人文關(guān)懷.但是，筆者在自行解答后，再與答案比對時(shí)，發(fā)現(xiàn)參考答案第（2）問②和③留下的思考空間似乎大了點(diǎn).

2.參考答案中的部分困惑

對于第（2）問的②，參考答案借助運(yùn)動(dòng)變化觀念，進(jìn)行直觀推理，臨界分析得出或時(shí)，拋物線與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn).這個(gè)解答的結(jié)論完全正確，但筆者困惑的是：這種解法是否嚴(yán)謹(jǐn)？特定情形下的臨界分析，特情處理能否取代邏輯推理？要不要在解后進(jìn)行驗(yàn)算去進(jìn)一步推理？有沒有基于課標(biāo)要求學(xué)生能進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理的解法？

對于第（2）問的③“當(dāng)t=1時(shí)，直線MN：y=x+3與x軸交于點(diǎn)F（-3，0），與y軸交于點(diǎn)G（0，3），當(dāng)t=4-時(shí)，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為”，顯然是在運(yùn)動(dòng)變化觀念下的臨界分析，但這里，如果不自行解答，為什么會(huì)出現(xiàn)？對于直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積，其臨界點(diǎn)在什么地方，以及為什么會(huì)在這個(gè)地方？基于幾何直觀和割補(bǔ)法求MN掃過的面積，還有沒有其他不同的解法？

3.解法再探

圖2

下面呈現(xiàn)筆者一部分粗淺的思路，以期能解決上述解答困惑.

解法2：（2）①分別過點(diǎn)M、N作坐標(biāo)軸的平行線，如圖2.由k的幾何意義及縱橫比，得再把點(diǎn)M或N的坐標(biāo)代入y=x+b1，求出直線的解析式從而避開繁雜運(yùn)算，后邊解答過程同解法1.

情形1：當(dāng)拋物線過點(diǎn)B時(shí)，由對稱性知拋物線與BD有另一個(gè)交點(diǎn)（-2，4），則，解得.拋物線此時(shí)必與AD相交于點(diǎn)M.又點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-6，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為0，此時(shí)點(diǎn)M在DA的延長線上.此時(shí)，令y=0，得x+4，解得x=2或x=-4，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（2，0）或（-4，0），故此時(shí)拋物線與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，如圖3，即點(diǎn)B（0，4）（-2，4）及（-4，0），故符合題意.

圖3

圖4

情形2：當(dāng)P不過點(diǎn)B時(shí)，要使拋物線與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，則必定有點(diǎn)P在DB上，如圖4.由拋物線的對稱性，可知：拋物線右側(cè)必與線段BO相交，其左側(cè)必與線段AD相交或有一個(gè)交點(diǎn)在線段AO上，則=4，解得當(dāng)時(shí)，有，拋物線與線段OB交于點(diǎn)，與線段DB交于點(diǎn)（-1，4），與線段AD交于點(diǎn)）.此時(shí)，令y=0，得，解，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，但這兩個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)在線段AO上，故此時(shí)拋物線得與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，即故符合題意.

③與解法1過程相同，可求得1≤t≤4.

對于直線MN掃過的面積，筆者猜測考生可能會(huì)得到以下五種不同解法：

解法1：當(dāng)t=1時(shí)，直線MN的解析式為y=x+3，它與x軸交于點(diǎn)F（-3，0），與y軸交于點(diǎn)G（0，3）.

圖5

解法2：過點(diǎn)A且平行于直線MN的直線的解析式為y=x+6，設(shè)它與BD的交點(diǎn)為Q（-2，4），S=S梯形AOBQ-S△AEQ-

解法3：連接AB，同解法1證明時(shí)，直線MN落在四邊形AOBE外，所以當(dāng)1≤t≤4時(shí)，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積

解法4：連接EF.

解法5：

四、教學(xué)啟示

筆者認(rèn)為，面對思維跨度大的參考答案，或者面對那些要求直接寫出答案的中考壓軸題，命題者應(yīng)當(dāng)智慧地帶來以下兩點(diǎn)教學(xué)啟示：

1.必須明確數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)容

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，說到底是立德樹人的落實(shí)，即利用數(shù)學(xué)文化、知識(shí)等素材，在傳承中發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能和價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生良好的品質(zhì)和習(xí)慣等；通過數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)素養(yǎng)的學(xué)習(xí)與提升，形成用數(shù)學(xué)眼光處理問題的方法策略的素養(yǎng)和能力，學(xué)會(huì)交流、學(xué)會(huì)遵守規(guī)則、學(xué)會(huì)表達(dá)與合作，即“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”.

從以上解答分析可看出，跨度較大的解答背后，卻指向本地今后函數(shù)題的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)在數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等方面用足力量，落細(xì)、落實(shí)初中生應(yīng)當(dāng)具備的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2.必須明確掌握必要的數(shù)學(xué)技巧

一是要學(xué)會(huì)畫一畫.要在解題過程中學(xué)會(huì)畫草圖.學(xué)會(huì)畫圖，可以給學(xué)生想象的空間，感悟解決問題的方法，厘清解決問題的思路，這從解法1、解法2中可以看出，補(bǔ)畫草圖，觀察直線MN與拋物線的運(yùn)動(dòng)變化趨勢，聯(lián)立解析式，著眼交軌法，從而采用臨界分析，進(jìn)行特情處理，而這種解法正好是命題人文關(guān)懷給予答題者的暗示，與命題意圖相吻合.思維與嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)學(xué)科必備的核心素養(yǎng)之一，也是本題給出的教學(xué)導(dǎo)向.教學(xué)時(shí)，直觀和想象不能取代計(jì)算與推理，推理與計(jì)算必須同行，補(bǔ)圖與驗(yàn)算必須同進(jìn)，直觀與想象必須并列，合情與嚴(yán)謹(jǐn)必須并存.否則，以形表數(shù)時(shí)，當(dāng)出現(xiàn)思維定式導(dǎo)致畫圖分析不全面時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解.

“邏輯推理是數(shù)學(xué)的命根子”“數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功”.推理與計(jì)算是初中數(shù)學(xué)的硬功.數(shù)學(xué)教學(xué)，素養(yǎng)優(yōu)先于模型，核心優(yōu)先于刷題.一味刷題，過度重視模型、套路、技巧而忽視思維是教學(xué)的一種硬傷.平時(shí)教學(xué)或備考，要不斷反復(fù)提示學(xué)生“手中有圖（畫草圖），眼中取勢（動(dòng)態(tài)趨勢），心中明道（數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和眼光），腦中優(yōu)術(shù)（解題方法與策略）”，確?！皩W(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程”.教學(xué)一定要“明確”，謹(jǐn)記在三個(gè)“防范”和三個(gè)“追問”中，尤其是在不脫離課程標(biāo)準(zhǔn)要求的情況下，盡可能做好初、高中數(shù)學(xué)的有效銜接，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展奠基.